/提綱

1、高斯消去法、全選主元消去法、列選主元消去法、LU分解、對稱矩陣的分解，對稱正定矩陣的分解，三對角陣的追趕法。?2、向量空間距離的概念（向量范數、矩陣范數)、譜半徑?3、解線性方程組的迭代方法:Ｊacｏbi迭代、Gauss-Sｅidｅl迭代方法,及其收斂性

４、求最大(小）特征值的冪法與反冪法要點?１、對于線性方程組?

如果的所有順序主子式，則高斯消去法可以完成。其過程如下?將方程組的第一行乘加到第，消去中除了第一行之外的第一列元素,得到

其中??得到一個等價的方程組?將方程組的第二行乘加到第,消去中除了第一、二行之外的第二列元素，得到

?其中

依此類推,可以得到一般的表達式??如果只滿足,那么就得在消去之前調整元素的大小，將絕對值最大的元素做為消去除法中的分母。即要保證,這樣得到的方法稱為全選主元素方法，為了減小選擇主元過程的運算量,只保證，這樣得到的方法稱為列選主元方法。

２、三角分解,設為階矩陣，如果的順序主子式,則可唯一分解為一個單位下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積,且這種分解是唯一的。即?

其中?

?于是原來的方程組可以寫成??令，則求解原方程組可分兩步完成，首先由求出,這只要

?再從，求出，這只要?

３、對稱正定矩陣的三解分解（也稱Cｈolｅｓky分解）如果為階對稱正定矩陣,則存在一個實的非奇異下三角陣使，當限定的對角元素為正時,這種分解是唯一的.即??其中。于是解線性方程組可以能過以下三個步驟完成?（1）計算,這只要對，計算?

(2)令，對求出，這只要

?（3）對,求出，這只要??４、為了避免上面計算時的開方運算，可以將原來的算法改成

，這種分解對于所有的對稱矩陣都是成立的。顯然對于對稱正定矩陣也是成立的。其過程可以寫為

其中?

方程組求解過程：

?5、追趕法，如果方程組中的是一個三對角陣,即?

則它的ＬU分解為?

其中

原方程的求解過程為:令,??注:這樣的方程有唯一解,且數值穩定的一個充分條件是是對角占優的。

６、向量、矩陣的范數

（１）向量的－范數:

（2)向量的１－范數：

（3）向量的2—范數:

(4）矩陣的算子范數：

(5）矩陣的－范數：，也稱行和范數

（６)矩陣的１－范數:，也稱列和范數?(７）矩陣的２—范數：，為矩陣的最大特征值。

７、譜半徑:;注意譜半徑一些重要結論：?（1)譜半徑,是的任意范數的下界;

（2)若，則

（３)設，則的充分必要條件是

8、將寫成等價的形式，如果則，對，做迭代

得到的向量序列在范數意義下有極限,且，即.選擇不同的等價表達式可以得到不同的迭代格式。其中最簡單的兩種是Ｊａcobi迭代與Gaｕss—Ｓeidel迭代。?9、Jacobｉ迭代?將方程組寫成

?從第ｉ個方程解出，即

?對應的迭代格式為：??寫成矩陣形式就有?

為了得到更直觀的表達式，將寫為??于是?

稱為Ｊａｃobi迭代矩陣，其收斂的充公必要條件是

9、Gaｕsｓ-Seidel迭代?其原理是在Jacｏbi迭代的基礎上改進而來的。其分量形式可以寫為?

寫成矩陣形式為:

?這里的B稱為Gauss—Seｉdel迭代矩陣，其收斂的充分必要條件是。?１0、驗證迭代過程收斂性的兩種重要手段:

因為，雖然可以驗證迭代矩陣的譜半徑與１的大小的關系來判斷迭代過程的收斂性，但由于譜半徑的計算并非一件容易的事情,這里有兩個判斷迭代收斂性的充分但不必要條件：?(1)若迭代矩陣的某種范數小于１,那么迭代是收斂的（注：信息與計算科學專業的學生要求掌握它的證明過程）

（2)若線性方程組系數矩陣是對角占優的,那么Jａcobｉ迭代與Gａuｓs—Seidel迭代都是收斂的。?(３）若線性方程組系數矩陣是弱對角占優，且不可約的，那么Jaｃobｉ迭代與Gausｓ-Seidｅl迭代都是收斂的。(選讀）示例?１、用Ｇauss消去法、全選主元方法、列選主元方法求解方程組

?解:（１）用Gauss消去法求解

第一行乘加到第二行，第一行乘加到第三行,可以得到

?第二行乘6加到第三行，可以得到

從第3行求出，從第二行求出,從第一行求出

(2)用全選主元方法

將方程組寫成矩陣方式有?

在矩陣中找到絕對值最大者，將交換到所在的位置，可得?

對應用Gauss消去過程，??再做一次消去法,得

?解得?

請同學們自行演算下面兩題?（1）用Gauss全選主元方法求下列方程組的解:

，參考解：

（２)用列選主元法求矩陣?

的行列式。參考答案：?２、用ＬU分解的方法求下列兩個方程組的解

與?解：由于兩個方程組的系數矩陣是一樣的。把上面的兩個線性方程組寫為：??其中?

作的LU分解，有?

其中

?所以

令可以求得??令可以求得??注：LU分解的最大的好處在于求解的方程組序列,只要做一次LU分解，然后多次回代計算即可求解。要注意掌握.?３、求解線性方程組

?解：（1)用Gaｕss消去法可以不用交換行與列,參照前面的例子,自己演算。

(２）把它寫成矩陣的形式有??顯然它是對稱的,容易計算它的三個順序主子式??所以是一個對稱正定的。故可以分解為

用兩個矩陣相乘比較對應元素的方法，可以求得L中的各個元素（具體過程,請同學們自己演算）：

令求得

（３）也可以分解為?容易計算

?由求得?由求得

注：在解答過程中，演算過程要體現。

４、用追趕法求解如下三對角方程組:

解:設?

由兩矩陣乘積比較對應元素，可計算出兩個矩陣的各個元素?

求解

?得

再求解

?得?５、證明用Ｊaｃｏbi迭代求下列方程組必收斂，并取，計算它的前５個近似解

?解：Jaｃobi迭代的矩陣為??由于，故迭代收斂，前五個迭代計算結果如下：?0。2０00０。13０00.46６7?0。２１９３0.13６7０。４867

0．22４70.14250.４97６?0。2２８００．1４470.5032

0.2２96０.１459０。5058?參考真值為：０。2３110.1４７1０.5084?6、利用Gａuss－Sｅｉdeｌ迭代求解下列方程組，并討論收斂性??解：由Gauss—Ｓeiｄel迭代矩陣??因為，所以G－S迭代收斂。迭代公式為

請大家取自行計算它的前五個迭代結果。并與參考真值比較。

7、考察Jacobi迭代與Ｇａusｓ—Ｓeidel迭代求解方程組

?的收斂性?解:對于此方程組，寫成矩陣形式為

對于此方程組,Jaｃｏｂi迭代的迭代矩陣為

?其特征多項式為

?于是它的特征值為。故，說明Ｊacoｂi迭代不收斂。?對于此方程組的Gauss—Ｓｅideｌ迭代矩陣為

?其特征值為,故，所以G－S迭代收斂。

注：要充分理解收斂的判斷條件,在求解線性方程組的時候要充分利用方程組的特征.?８、如果有線性方程組的系數矩陣為??討論用Ｊａcｏbi迭代與Ｇauss-Seidel迭代求解線性方程組的收斂性，選擇收斂速度最快的一種迭代格式。?解題提示:分別求出兩種迭代式的迭代矩陣,計算它們的譜半徑，依據譜半徑的大小判斷收斂性，根據譜半徑的大小，選擇譜半徑最小的.具體過程請同學們自己完成.

9、填空題

(1），則，，?（2)，則，

(３）設,為使可分解為，其中為對角線元素為正的下三角形矩陣，的取值范圍取，則.?（4）已知方程組，則解此方程組的Jａcｏbｉ迭代法收斂。?(5）用G—S迭代法解方程組,其中為實數，方法收