絕密★啟用前試卷類型：A2022年茂名市高三級第一次綜合測試數學試卷（理科）本試題卷分選擇題和非選擇題，共6頁，23小題,全卷滿分150分,考試時時間120分鐘.注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4．選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑.答案寫在答題卡上對應的答題區域內，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.5．考試結束后，請將答題卡上交.第一部分選擇題（共60分）選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若集合，B={?1,0,1,2}，則A∩B=（）A.{?1,0,1,2}B.{x|?1＜x＜3}C.{0,1,2}D.{?1,0,1}2．已知復數z滿足(z-i)i=2+i,i是虛數單位,則|z|=()A.B.C.D.33．已知變量滿足約束條件，則的最大值為（）A.12B.11C.34.設,其正態分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值是（）（注:若，則,）1BACOyx2D1A.1BACOyx2D1C.7028D.65875．數學文化《算法統宗》是明朝程大位所著數學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數為上一層的兩倍，共有381盞燈，則該塔中間一層有（）盞燈.A.24B.48C.6．甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結果以后，甲說：“丙被錄用了”；乙說：“甲被錄用了”；丙說：“我沒被錄用”.若這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結論正確的是（）A.丙被錄用了B.乙被錄用了C.甲被錄用了D.無法確定誰被錄用了1OCxy-1B1Oxy-111OCxy-1B1Oxy-11OAxy-11D1DxOy否否是開始S=2k=0k<2022?>k=k+1輸出S結束8．執行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S值是()A.B.-1C.2022D.29．設P是雙曲線上的點，是其焦點，且，若的面積是1,且，則雙曲線的離心率為（）A..B.C.D.10．已知的三個內角、、的對邊分別為、、，若，且，則的面積的最大值為（）．A.B.C.D.正視圖俯視圖側視圖11正視圖俯視圖側視圖外接球的體積為（）A.B.C.D.12.定義在R上的奇函數滿足條件，當時，，若函數在區間上有4032個零點，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.第二部分非選擇題（共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分（第13-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答）.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，13．已知若，則=____________.14．在的展開式中，的系數是_____________.15．已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是_.16．從拋物線的準線上一點P引拋物線的兩條切線PA、PB，且A、B為切點，若直線AB的傾斜角為,則P點的橫坐標為_.三、17.（本小題滿分12分）設正項等比數列，，且的等差中項為.（I）求數列的通項公式；（II）若，數列的前項和為，數列的前n項和，若恒成立，求的取值范圍.18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，⊥底面，，是以為斜邊的等腰直角三角形，是的中點．（I）求證：平面⊥平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值.19.（本小題滿分12分）交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統一為a元，在下一年續保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發生道路交通事故的情況相聯系，發生交通事故的次數越多，費率就越高，具體浮動情況如下表：交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率上一個年度未發生有責任道路交通事故下浮10%上兩個年度未發生有責任道路交通事故下浮20%上三個及以上年度未發生有責任道路交通事故下浮30%上一個年度發生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%上一個年度發生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%上一個年度發生有責任道路交通死亡事故上浮30%某機構為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了100輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續保時的情況，統計如下表：類型數量201010302010以這100輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（I）按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規定，（元），記為某同學家的一輛該品牌車在第四年續保時的費用，求的分布列與數學期望；（II）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：①若該銷售商購進三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購進100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求該銷售商獲得利潤的期望值．20．（本小題滿分12分）已知橢圓C1：（）的一個焦點為F1，且經過點P.（I）求橢圓C1的標準方程；（II）已知橢圓C2的中心在原點，焦點在y軸上，且長軸和短軸的長分別是橢圓C1的長軸和短軸的長的倍(>1)，過點C(-1,0)的直線l與橢圓C2交于A，B兩個不同的點，若，求△OAB面積取得最大值時直線l的方程.21.（本小題滿分12分）已知函數.（I）討論的單調性；（II）當時，函數在其定義域內有兩個不同的極值點，記作，且，若，證明：.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。22．（本小題滿分10分）（選修4-4：坐標系與參數方程選講）在直角坐標系中，直線傾斜角為，其參數方程為（為參數），在以原點為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中（取相同的長度單位），曲線C的極坐標方程為．（I）若直線與曲線C有公共點，求直線傾斜角的取值范圍；（II）設為曲線C上任意一點，求的取值范圍．23．（本小題滿分10分）（選修4-5：不等式選講）已知函數.（I）求不等式的解集；（II）設函數的最大值為,若不等式有解，求的取值范圍.2022年茂名市高三級第一次綜合測試（答案）數學參考答案（理科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.題號123456789101112答案CABDACCACBAB二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，1314.15.16.部分選擇填空題解析10解析：.又，由余弦定理得：.根據基本不等式得:,即.當且僅當時，等號成立.面積(當且僅當時，等號成立)的面積的最大值11ABCD解析：三棱錐的直觀圖如圖，以ABC所在平面為球的截面，則截面圓的半徑為，球心到ABC所在平面的距離為，則球的半徑為，所以球的體積為.ABCD12解析:滿足條件且為奇函數，函數213-3-2-1yx周期為4，當時，，作213-3-2-1yx函數在區間上有4032個零點，即在有且僅有兩個交點，即15.解析：，∴是函數含原點的遞增區間．又∵函數在上遞增，∴，∴得不等式組，得，又∵，∴，又函數在區間上恰好取得一次最大值，根據正弦函數的性質可知，，即函數在處取得最大值，可得，∴，綜上，可得．16.解析：設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，-1），則,又，∴,∴由，得，∴∴切線PA的方程為y﹣y1=（x﹣x1），切線PB的方程為y﹣y2=（x﹣x2），即切線PA的方程為y﹣=（x﹣x1），即切線PB的方程為y﹣=（x﹣x2），即，，，.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.解：（I）設等比數列的公比為，由題意，得…2分解得…3分所以………………4分（II）由（I）得，………………5分．………………6分∴,…8分∴,……………10分若恒成立，則恒成立，則,所以…12分18.（I）證明：∵⊥底面，底面∴⊥…1分由題意可知，，且是等腰直角三角形∴，…2分∴，即,…3分又∵…4分∴⊥平面…5分平面∴平面⊥平面…6分（II）解法1：由（1）得平面⊥平面,平面平面=作，∴平面……8分所以與平面所成角為…9分在中，，在中，………………10分所以直線與平面所成角的正弦值為………12分解法2：∵⊥底面，則建立如圖所示的直角坐標系,…7分則，,.…8分設平面的法向量為,則即…9分令解得…10分記直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為…12分解法3：⊥底面，作軸垂直于點C，建立如圖所示的直角坐標系,…7分則，,.…8分設平面的法向量為,則即………9分解得…10分設直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為…12分19.解：（I）由題意可知：的可能取值為…1分由統計數據可知：，，，，，.……4分所以的分布列為：X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP……5分所以………6分（II）①由統計數據可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，…………7分三輛車中至多有一輛事故車的概率為…………9分②設為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，的可能取值為-5000,10000Y-500010000P所以的分布列為：…10分……11分所以該銷售商一次購進100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為0000元=55萬元.……12分20.解：(1)解法一:設橢圓C1的另一個焦點為F2,由題意可得,為直角三角形,,…..1分由橢圓的定義得,即,……………..2分又由得,,……………..3分橢圓C1的標準方程……………..4分解法二:設橢圓C1的另一個焦點為F2,由橢圓的定義得,即,……………..2分又由得,,……………..3分橢圓C1的標準方程……………..4分解法三:把點P代入方程得,=1\*GB3①…………..1分又=2\*GB3②…………..2分由=1\*GB3①=2\*GB3②得,,…………..3分橢圓C1的標準方程……………..4分（2）設橢圓C2的方程為，A(x1,y1),B(x2,y2).………………5分∵>1，∴點C(-1，0)在橢圓內部,直線l與橢圓必有兩個不同的交點.當直線l垂直于x軸時，(不是零向量)，不合條件故設直線l方程為y=k(x+1)(A，B，O三點不共線，故k≠0),………………6分由得……..7分∵，而點C(-1，0),∴(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2)，∴y1=-2y2，……8分即y1+y2=-y2…9分△OAB的面積為……………..11分上式取等號的條件是，即k=±時，△OAB的面積取得最大值所以直線l的方程為或……..12分21.解：（I）………………1分方程的判別式=1\*GB3①當時，，，在為增函數………………2分=2\*GB3②當時，，方程的兩根為，當時，，在為增函數………………3分當時，，在為增函數，在為減函數………………4分綜上所述：當時，的增區間為，無減區間當時，的增區間為，減區間………………5分（II）證明：所以因為有兩極值點，所以，………………6分欲證等價于要證：即，………………7分所以，因為，所以原式等價于要證明：.又，，作差得，………………8分所以原式等價于要證明：，………………9分令，上式等價于要證：，，………………10分令，所以，當時，，所以在上單調遞增，因此，在上恒成立，所以原不等式成立。………………12分22．解（I）法一：∵曲線C的極坐標方程為，∴曲線C的直角坐標方程為，………………1分將，代入整理得………………2分∵直線與曲線有公共點，∴………………3分即或，………………4分∵，∴的取值范圍是………………5分法二：由曲線C的極坐標方程得，∴曲線C的直角坐標方程為，即………………1分∴曲線C是圓心為C(2,0)，半徑為2的圓.∵直線l過點P(?2,0)，當l斜率不存在時，l的方程為x=2與曲線C沒有公共點；…………2分