高三數(shù)學第二輪專題復習數(shù)列數(shù)列大題和解三角形題輪換出現(xiàn)，在高考中，一般處于全國卷第17或18題位置，這幾年，逐漸有后移跡象，并且在2021年處于第19題位置。試題位置的變化，也提現(xiàn)了數(shù)列大題難易程度的變化。試題考察等差等比數(shù)列定義和性質(zhì)，考察數(shù)列遞推求通項公式和求和，考察計算能力和邏輯推導能力。題目有一定的綜合度，難度適中，側(cè)重考察對通性通法的理解應用。?？碱}型：錯位相消與分組求和，各種裂項求和，利用單調(diào)性和放縮證明不等式，前n項積型求解，數(shù)列恒成立（存在）求參，等差、等比分段數(shù)列型，利用等差等比中項證明是否存在某些項，數(shù)列最值。錯位相消與分組求和例題1、已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，，前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項的和.例題2、已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前2n項和.錯位相消結(jié)構(gòu)圖：1.思維結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖示如下2.分組求和：，其中bn和cn都是容易求和的數(shù)列1.（河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預測理科數(shù)學試題）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列前項和．2.（貴州省貴陽市2023屆高三下學期適應性考試（一）數(shù)學（文）試題）等比數(shù)列的前n項和為，，且成等差數(shù)列．(1)求；(2)若，求數(shù)列前n項和．1.（湖南省名校2023屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試考前演練一數(shù)學試題）已知正項等比數(shù)列的的前n項和為，且滿足：，(1)求數(shù)列的通項；(2)已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.2.（2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學預測卷（四））已知數(shù)列的前n項和為，且，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．1.（2020年新課標1理數(shù)17題）設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．2.（全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（天津卷））設{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn（n∈N*）；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整數(shù)n的值．二、各種類型裂項求和例題1、已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.例題2、已知數(shù)列滿足，，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.對于f（n）是p、q差型；（2）f（n）是分離常數(shù)型；對于形如，可應用直接分裂1.（遼寧省名校聯(lián)盟2023屆高考模擬數(shù)學試題（一））記正項數(shù)列的前n項積為，且．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2n項和．2.設數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和，求的值.1.（湖南省岳陽市2023屆高三上學期教學質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學試題）已知數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和.2.（四川省內(nèi)江市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學（理）試題）數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，為數(shù)列的前項和，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.1.（2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（新課標3卷））設數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．2.(普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（江西卷）正項數(shù)列的前n項和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.三、利用單調(diào)性和放縮證明不等式例題1、已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，證明：.數(shù)列前n項和不等式證明，老高考課標題型就是先求和，然后對前n項和再放縮，或者運用前n項和式子轉(zhuǎn)化為關于n的單調(diào)性的證明，利用單調(diào)性求得最值。1.已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，且數(shù)列的前項和為，求證：．2.已知數(shù)列前n項積為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設，求證：．1.(湖南省長沙市明德中學2022屆高三下學期二模數(shù)學試題)已知數(shù)列前項和為，若，且成等差數(shù)列．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項和為，求證：．2.(河南省南陽市第一中學校2022屆高三下學期第三次模擬考試文科數(shù)學試題)已知數(shù)列{}的前項和為，，(1)求數(shù)列{}的通項公式；(2)設，為數(shù)列的前項和.證明：1.(2022年新高考全國I卷數(shù)學真題)記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．2.(2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題)設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．四、前n項積型已知為正項數(shù)列的前項的乘積，且(1)求數(shù)列的通項公式(2)令，求數(shù)列的前項和.數(shù)列前n項積：1.n=1，得a12.n時，，所以已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設數(shù)列的前n項積為，若，求數(shù)列的通項公式．1.（山東省威海市2022-2023學年高三上學期數(shù)學試題））設為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．(1)求，；(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項公式．2.（陜西省咸陽市2023屆高三下學期一模理科數(shù)學試題）已知數(shù)列的前n項之積為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設公差不為0的等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前n項和．請從①；②這兩個條件中選擇一個條件，補充在上面的問題中并作答注：如果選擇多個條件分別作答，則按照第一個解答計分．（2021年全國乙卷理科數(shù)學19題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．四、數(shù)列恒成立（或存在）求參例題1、已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．例題2、已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列．設其公比為，前項和為，并且滿足，是與的等比中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，是的前項和，求使成立的最大正整數(shù)的值．恒成立，可以考慮參變分離：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有解型，恰好和恒成立結(jié)論中的最大最小相反：③若在上有解，則；④若在上有解，則；已知數(shù)列的前n項和為(1)證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；(2)，求λ的最大值．1.(云南省昆明市第一中學2023屆高三上學期第五次二輪復習檢測數(shù)學試題已知函數(shù)，其中(1)當時，求；(2)設，記數(shù)列的前n項和為，求使得恒成立的m的最小整數(shù).2.(四川省雅安市2023屆高三零診考試數(shù)學（文）試題已知數(shù)列的前n項和為，且，，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．(普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（湖北卷）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖像上．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù).五、等差、等比數(shù)列分段型例題1、已知等差數(shù)列前項和為（），數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，設數(shù)列的前項和為，求.例題2、已知數(shù)列，的前n項和分別為，，，．(1)求及數(shù)列，的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前2n項和．分段函數(shù)，多為每一段等差等比，部分可能為裂項相消結(jié)構(gòu)，所以對于分段函數(shù)，讀懂分段的“跳項、奇偶相間”這個性質(zhì)，分組求和即可。1.（浙江省強基聯(lián)盟2022屆高三下學期6月統(tǒng)測數(shù)學試題二）已知數(shù)列滿足，.(1)記，寫出，，并求出數(shù)列的通項公式；(2)求的前25項和.2.（云南省大理市轄區(qū)2023屆高三畢業(yè)生上學期區(qū)域性規(guī)?；y(tǒng)一檢測數(shù)學試題）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列，求數(shù)列的前項和．1.（山東省臨沂市2022屆高三下學期三模數(shù)學試題）已知數(shù)列的前n項和分別是，若(1)求的通項公式；(2)定義，記，求數(shù)列的前n項和．2.（湖南省長沙市長郡中學2022屆高三下學期二模數(shù)學試題）已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.1..（2019年天津市高考數(shù)學試卷（文科））設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列滿足求.六、利用等差等比中項證明是否存在等差等比項例題、已知數(shù)列的前n項和為，且，，成等比數(shù)列．(1)若為等差數(shù)列，求；(2)令，是否存在正整數(shù)k，使得是與的等比中項？若存n+2在，求出所有滿足條件的和k，若不存在，請說明理由．證明是否構(gòu)成等差或者等比，多用等差等比中項1.等差鐘祥：若A,B,C成等差數(shù)列，則2B=A+C2.等比中項：若A,B,C成等比中項，則B2=AC這類題，在實際推導時，因為數(shù)列各項項數(shù)下標是正整數(shù)，所以還多涉及到不等方程的數(shù)論分析已知正項數(shù)列，其前n項和，滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達式；(2)數(shù)列中是否存在連續(xù)三項，使得構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.1.（湖北省高中名校聯(lián)盟2023屆高三下學期第三次聯(lián)合測試數(shù)學試題）已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)判斷數(shù)列中是否存在成等差數(shù)列的三項，并證明你的結(jié)論．2.（黑龍江省齊齊哈爾市2023屆高三理科數(shù)學試題）在①，②這兩個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答下列題目.設首項為2的數(shù)列的前項和為，前項積為，且___________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列，若存在，請舉例說明，若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.1.（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．2.（普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（福建卷）等差數(shù)列的前項和為．（Ⅰ）求數(shù)列的通項與前項和；（Ⅱ）設，求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．七、數(shù)列最值例題、已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，數(shù)列是否存在最大項，若存在，求出最大項.一般情況下數(shù)列最大最小值，轉(zhuǎn)化為“數(shù)列型函數(shù)”，再借助函數(shù)單調(diào)性求最值。求最值時候要注意“數(shù)列型函數(shù)”是離散型。數(shù)列滿足，點在直線上，設數(shù)列的前n項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)是否存在，使得對任意的，都有．1.（湖北省襄陽市谷城縣第一中學2022-2023學年12月月考數(shù)學試題）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，為的前項和，，且為與的等比中項.(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和；(3)若，判斷數(shù)列是否存在最大項，若存在，求的最大項，若不存在，請說明理由.2.（2022年北京數(shù)學高考真題變式題19-21題）已知是遞增的等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列的通項公