一二方的與數系教學時間

課題

21.2.4一二次方程的根與系數關系

課型

新授教學媒體

多媒體教學目標

知識技能過程方法情感態度

1.熟練掌握一元二次方程的根與數關.2.靈活運用一元二次方程的根與數關系解決實際問.3.提高學生綜合運用基礎知識分解決較復雜問題的能學生經歷探索，嘗試發現韋達定理，感受不完全歸納驗證以及演繹證.培養學生觀察，分析和綜合，判斷的能力，激發學生發現規律的積極性，激勵學生勇于探索的精.一元二次方程的根與系數關系教學重點對根與系數關系的理解和推導教學難點教學過程設計教學程序及教學內容一、復習引入導語：一元二次方程的根與系數有著密切的關系，早在16世

師生行為教師出示問題，引

設計意圖創設問題情法國的杰出數學家韋達發現了這一關系，你能發現嗎？出題學生初步了

境，激發學生二、探究新知1.課本思考分析：將x-x）=0化一般形式x-(+x)x+=0與x+px+q=0對,易知p=-(x+x)q=xx即二次項系數是1的元二次方程如果有實根，則一次項系數等于兩根和的相反數，常數項等于兩根之.2.跟蹤練習求下列方程的兩根x、x的和與.x+3x+2=0；x+2x-3=0;-6x+5=0;-6x-15=03.方2x-3x+1=0的根的和積與系數之間有類似的關系嗎？分析：這個方程的二次項系數等于2與上面情形有所不同出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，檢驗上面的結論是否成立，若不成立，新的結論是什么？4.一般的一元二次方程ax（a≠0）中的不一定是1，它的兩根的和、積與系數之間有第題中的關系嗎？分析：利用求根公式，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，得到方程的兩個根x、x和系數a，b，c關系，即韋達定理，也就是任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：兩根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩根之積等于常數項與二次項系數的比.求根公式是在一般形式下推導得到，根與系數的關系由求根公式得到，因此，任何一個一元

解本課所要研究的問題學生通過去括號、合并得到一般形式的一元二次方程，教師適時點撥，分析總結得到結論.學生獨自完成鞏固上訴知識教師出示探究問題，學生通過特殊例子入手，再通過一般形式推導證明，教師引導學生根據求根公式進行探究、交流，嘗試發現結論

好奇心，求知欲通過思考問題，讓學生知道二次項系數為1的一元二次方程的根與系數關系，為后面繼續研究做鋪墊讓學生通過探究問題體會從特殊到一般的認知過程體數學結論的確定性

2222二次方程化為一般形式后根與系數之間都有這一關.5.跟蹤練習求下列方程的兩根x、x的和與.eq\o\ac(○,1)+7x+2=0；3x+7x-2=0;3x-7x+2=0；3x

-7x-2=0；

學生獨立解決，并加對韋達eq\o\ac(○,2)5x-1=4x；5x-1=4x+x6.拓展練習

交流

理的理解，培養學生的應用eq\o\ac(○,1)知一元二次方程

+bx+c=0的個根是1，

意識和能力b=,c=.eq\o\ac(○,2)知關于的方x+kx-2=0一個根是，則另一個根是,k的是.eq\o\ac(○,3)關于的元二次方程x+px+q=0的兩個根互為相反數p=;若個根互為倒數，則q=.分析：方程中含有一個字母系數時利用方程一根的值可求得另一根和這個字母系數；方程中含有兩個字母系數時利用方程的兩根的值可求得這兩個字母系.二次項系數是1時，若方程的兩根互為相反數或互為倒數，利用根與系數的關系可求得方程的一次項系數和常數.eq\o\ac(○,4)個根均為負數的一元二次方程()A.4x+21x+5=0B.6x-13x-5=0-12x+5=0D.2x+15x-8=0eq\o\ac(○,5)兩異號，且正根的絕對值較大的方程是（）A.4x-3=0B.-3x+5x-4=0C.0.5x-4x-3=0D.2x3x-=0eq\o\ac(○,6)若于x的元二次方程-3x+m=0,m時方程有兩個正根；當m時程有兩個負；當時方程有一個正根一個負根，且正根的絕對值較.分析：根據方程的根的正負情況，結合根與系數關系，確定方

先觀察，嘗試選用合適方法解題，之后交流，比較解法通過學生親自解題的感受與學生嘗試歸納，師經，感受生總結學嚴謹性數學結論的確定性.進一步加強對所學知識程各

項系數的符號，eq\o\ac(○,6)還需考慮m的還得受根的判別式的

學生獨立完成，教的解和掌限制.三、課堂訓練1.完成課本練習2.補充練習：x是程3x-2x-4=0的根，利用根與系數的關系求下列

師巡回檢查，師生握集體訂正各式的值：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)eq\o\ac(○,5)1四、小結歸納

1x2x1x2

；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)xxx21

2

eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,)x12

2

；eq\o\ac(○,4)

學生歸納，總結闡述，體會，反思.

通過歸納進一步理解韋達定理及其本節課應掌握：1.韋定理二次項系數不是1的方程根與系數的關系2.運韋達定理時意含件次項系數不為0eq\o\ac(△,，)≥03.韋達定理的應用常見題型：eq\o\ac(○,1)解方程，判斷兩個數是否是某一個一元二次方程的兩根；eq\o\ac(○,2)知方程和方程的一根，求另一個根和字母系數的值；eq\o\ac(○,3)給出的兩根滿足的條件，確定字母系數的值；

并做出筆記

應用加強教學反思幫助學生養成系統整理知識的學習習慣加深認識深提eq\o\ac(○,4)斷值

兩個根的符號；eq\o\ac(○,5)解方程求含方程的兩根的式子的

高形成學生自己的知識體系.

五、作業設計必做：P17：7選做：補充作業：已知一元二次方程+3x+1=0的兩個根是求教學

反

的值.思分的減教學目標明確分式混合運算的順序，熟練地進行分式的混合運.重點難點1．重點：熟練地進行分式的混運.2．難點：熟練地進行分式的混運.3．認知難點與突破方法教師強調進行分式混合運算時注意運算順序在沒有括號的情況下按從左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加.有括號要按先小括號，再中括號，最后大括號的順.混合運算后的結果分子、分母要進行約分，注意最后的結果要是最簡分式或整.分子或分母的系數是負數時，要把-”提到分式本身的前.教學過程例、習題的意圖分析1．教科書例7、例8是分的合運.分式混合運算要注意運算順序，式與數有相同的混合運算順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結果分子、分母要進行約分，注意最后的結果要是最簡分式或整.2．教科書練習1：寫出教科書問題和問4的計結.這道題與第一節課相呼應，也解決了本節引言中所列分式的計算，完整地解決了應用問題二、課堂引入1．說出分數混合運算的順序.2．教師指出分數的混合運算與式的混合運算的順序相.三、例題講（教科書）例7計算[分析]這道是分式的混合運，要注意運算順序，式與數有相同的混合運算順序：先乘方，再乘，然后加減，最結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要是最簡分式.

（教科書）例8計算[分析]這題是分式的混合運，要注意運算順序，式與數有相同的混合運算順序：先乘方，再乘除，然后加減，注意有括號先算括號內的，最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要是最簡分式.四、隨堂練習計算：(1)

24()2x

（2）

(

a1))aa（3）

(

312))a2a五、課后練習1．計算：(1)

(1

)xy(2)

(

a)aaa2aa(3)

(

11xy)xxy2．計算

14)aaa

，并求出當

a

-1的.六、答案：四）2x（2）

（3）3五、1.(1)

xyxy2

(2)（3）

2.原式=

a2a2

，當

-1時原式=-.13.3.1等三形教學目標（一）教學知識點．等腰三角形的概念．．等腰三角形的性質．．等腰三角形的概念及性質的應用．（二）能力訓練要求．經歷作（畫）出等腰三角形的過程從軸稱的角度去體會等腰三角形的特點．．探索并掌握等腰三角形的性質．

（三）情感與價值觀要求通過學生的操作和思考學生掌握等腰三角形的相關概念在究等腰三角形性質的過程中培養學生認真思考的習慣．重點難點重點：1．等腰三角形的概念及性質．．等腰三角形性質的應用．難點：等腰三角形三線合一的性質的理解及其應用．教學方法探究歸納法．教具準備師：多媒體課件、投儀；生：硬紙、剪刀．教學過程Ⅰ．提出問題，創設情境[師]在前面的學習中，我們認識了軸對稱圖形，探究了軸對稱的性質，并且夠作出一個簡單平面圖形關于某一直線的軸對稱圖形能夠通過軸對稱變換來設計一些美麗的圖案這課我們就是從軸對稱角度來認識一些我們熟悉的幾何圖形研①角形是軸對稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對稱圖形？[生]的三角形是軸對稱圖形，有的三角形不是．[師]什么樣的三角形是軸對稱圖形？[生]滿足軸對稱的條件的三角形就是軸對稱圖形，也就是將三角形沿某一條直線對折后兩部分能夠完全重合的就是軸對稱圖形．[師]好，我們這節課就來認識一種軸對稱圖形三角─等三角形．Ⅱ．導入新課[師]同學們通過自己的思考來做一個腰三角形．AAB

B

CI

I作一條直線L在L上點A，在L外點B，作出點B于直線L的稱點，連接AB、，則可得到一個等腰三角形．[生乙]在甲同學的做法中A點以取直線L上任意一點．[師]，按這種方法我們可以得到一系列的等腰三角形．現在同學們拿出自己準備的硬紙和剪刀，按自己設計的方法，也可以用課本探究中的方法剪一個等腰三角形．……[師]照我們的做法可得到等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形相的兩邊叫做腰，另一叫做底邊腰夾的角叫做頂角底與腰的夾角叫底角．同學們在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底邊、頂角底角．[師]了上述概念，同學們來想一想．（演示課件）．等腰三角形是軸對稱圖形嗎？請找出它的對稱軸．

．等腰三角形的兩底角有什么關系？．頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？．底邊的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎底邊上的高所在的直線呢？[生甲]等腰三角形是軸對稱圖形．的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．因為等腰三角形的兩腰相等所以把這兩條重合對折三角形便知腰三角形是軸對稱圖形它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．[師]學們把自己做的等腰三角形進行折疊找出的對稱軸并看它的兩個底角有什么關系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折后，發現等腰三角形的兩個底角相等．[生丙]我把等腰三角形折疊，使兩重合，這樣頂角平分線兩旁的部分就可以重合，所以可以驗證等腰三角形的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．[生丁]我把等腰三角形沿底邊上的線對折，可以看到它兩旁的部分互相重合，說明底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸．[生戊]老師，我發現底邊上的高所的直線也是等腰三角形的對稱軸．[師]們說的是同一條直線嗎？大家來動手折疊、觀察．[生齊聲]它是同一條直線．[師]好．現在同學們來歸納等腰三角形的性質．[生]沿等腰三角形的頂角的平分線對折，發現它兩旁的部分互相重合，由此可知這個等腰三角形的兩個底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高．[師]好，大家看屏幕．（演示課件）等腰三角形的性質：．等腰三角形的兩個底角相等（簡寫“等邊對等角”．等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線底邊的高互相重合（通常稱作三合一”[師]上面折疊的過程獲得啟發，我們可以通過作出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形而用三角形的等來證明這些性質學們現在就動手來寫出這些證明過程（投影儀演示學生證明過程）[生甲]如右圖，eq\o\ac(△,)中AB=AC，作底邊BC的中線AD，因為

A

,CDAD

B

DC所eq\o\ac(△,)BAD△CAD所以∠∠．[生乙]如右圖，eq\o\ac(△,)中，AB=AC作頂角∠的平分線，因為ACCADAD所eq\o\ac(△,)BAD△CAD

B

ADC

所以BD=CD∠BDA=∠CDA=

∠．[師]好，甲、乙兩同學給出了等腰三角形兩個性質的證明，過程也寫得很條理、很規范．下面我們來看大屏幕．（演示課件）[例如圖，eq\o\ac(△,)ABC中AB=ACDAC上BD=BC=AD

A求：ABC各的度數．[師]學們先思考一下，我們再來分析這個題．[生]根據等邊對等角的性質，我們可得到∠∠ABD，∠ABC=∠，

B

DC再由∠∠∠可得到∠∠∠A再由三角形內角和為，就可eq\o\ac(△,)ABC的個內角．[師]位同學分析得很好，對我們以前學過的定理也很熟悉．如果我們在解的過程中把∠A設為x的，那么、∠可以用來表示，這樣過程就更簡捷．（課件演示）[例]為AB=AC，BD=BC=AD所以∠∠C=∠BDC．∠∠ABD（等邊對等角設，則BDC=∠ABD=2x，從而∠∠C=∠BDC=2x于是eq\o\ac(△,)ABC中有∠∠∠，解得x=36°eq\o\ac(△,)ABC，∠A=35°∠ABC=∠C=72°[師]面我們通過練習來鞏固這節課所學的知識．Ⅲ．隨堂練習（一）課本練習、、．練習．如，在下列等三角形中，分別求出它們的底角的度數．36120(1)(2)答案）（22.如圖eq\o\ac(△,)ABC是腰直角三角AB=AC，∠BAC=90°是邊BC上高，標出∠、∠C∠、∠DAC度數，圖中有哪些相等線段？

ABDC答案：∠∠C=BAD=∠；AB=AC．如圖，eq\o\ac(△,)ABC，，BAD=26°，∠和∠的數．答：∠，∠C=38.5°．（二）閱讀課，然后小結．Ⅳ．課時小結這節課我們主要探討了等腰三角形的性質對質作了簡單的應用腰角形是軸對稱圖形，它的兩個底角相等（等邊對等角三角形的對稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高．我們通過這節課的學習，首先就是要理解并掌握這些性質，并且能夠靈活應用它們．Ⅴ．課后作業（一）習題第、3、4．（二）1．預習課本．．預習提綱：等腰三角形的判定．

AⅥ．活動與探究如圖，eq\o\ac(△,)ABC中過C作BAC的分線AD的線，垂

B

D

C足為D∥AB交AC于E求證：AE=CE

過程：通過分析、討論，讓學生進一步了解全等三角形的性質和判定等腰角形的性質．結果：證明：延長交延長線于，圖，eq\o\ac(△,)ADPeq\o\ac(△,)ADC中,

ADC∴△≌ADC．∴∠．又DE∥，∴∠∠．

∴∠4=．∴DE=EC同理可證：AE=DE．∴AE=CE．板書設計一、設計方案作出一個等腰三角形二、等腰三角形性質．等邊對等角．三線合一三、例題分析四、隨堂練習五、課時小結六、課后作業備課資料參考練習．如eq\o\ac(△,果)ABC是軸對稱圖形，則它對稱軸一定是（）A某一條邊上的高B某一條邊上的中線C．分一角和這個角對邊的直線D．某一個角的平分線．等腰三角形的一個外角是100°，的頂角的度數是（）AB．和20°D．或答案：1C．已知等腰三角形的腰長比底邊多2，并且它的周長為cm．求這個等腰三角形的邊長．解：設三角形的底邊長為xcm，則其腰長為（x+2cm根據題意，得（）+x=16解得x=4所以，等腰三角形的三邊長為4cm、和6．15.2.2分的減教學目標明確分式混合運算的順序，熟練地進行分式的混合運.重點難點．重點：熟練地進行分式的混合運．難點：熟練地進行分式的混合運．認知難點與突破方法教師強調進行分式混合運算時注意運算順序在沒有括號的情況下按從左到右的方向，先乘方，再乘除