平面向量的數目積及其運用1．兩個非零向量夾角的觀點已知非零向量a與b，作OA＝a，OB＝b，則_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫a與b的夾角.特別提示：向量a與向量b要同起點。2．平面向量數目積（內積）的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數目|a||b|cos__叫a與b的數目積，記作ab，即有ab=|a||b|cos特別提示：（1）（０≤θ≤π）.并規定0與任何向量的數目積為0（2）兩個向量的數目積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量1)ea=ae=|a|cos；2)abab=03)當a與b同向時，ab=|a||b|；當a與b反向時，ab=|a||b|特其他aa=|a|2或|a|aa4)cos=ab；|a||b|5)|ab|≤|a||b|3．“投影”的觀點：如圖定義：_____||cos_______叫做向量b在a方向上的投影b特別提示：投影也是一個數目，不是向量；當為銳角時投影為正當；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為|b|；當=180時投影為|b|4．平面向量數目積的運算律互換律：ab=ba數乘聯合律：(a)b=(ab)=a(b)分派律：(a+b)c=ac+bc5．平面兩向量數目積的坐標表示已知兩個非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，設i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，那么ax1iy1j，bx2iy2j因此abx1x2y1y2平面內兩點間的距離公式假如表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，那么：|a|(x1x2)2(y1y2)27.向量垂直的判斷：設a(1,y1)，b(x2,y2)，則ab121y20xxxy8.兩向量夾角的余弦（0）cosabx1x2y1y2=|a||b|x12y12x22y22★重難點打破★要點：掌握平面向量數目積運算規律；能利用數目積的5個重要性質及數目積運算規律解決有關問題；2.難點：掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題重難點：.向量數目積與向量加、減、數乘運算的差別問題1:兩個向量的數目積是一個實數，向量加、減、數乘運算的運算結果是向量。例：規定，a·0=0·a=0(不是零向量0，注意與λ0=0(λ∈R)差別)2）向量數目積與實數有關觀點的差別問題2:表示方法的差別數目積的記號是ab，不可以寫成ab，也不可以寫成ab(因此有時把數目積稱為“點乘”，記號ab此外有定義，稱為“叉乘”)．問題3:有關觀點及運算的差別⑴若a、b為實數，且a·b=0，則有a=0或b=0，但a·b=0卻不可以得出a=0或b=0．因為只需a⊥b就有a·b=0，而不用a=0或b=0．⑵若a、b、c∈R，且a≠0，則由ab=ac可得b=c，但由a·b=a·c及ba≠0卻不可以推出b=c．因若a、b夾角為θ1，a、c夾角為θ2，則由ca·b=a·c得|a|·|b|cosθ1=|a|·|c|cosθ2及|a|≠0，只好獲得θ2θ1a|b|cosθ1=|c|cosθ2，即b、c在a方向上投影相等，而不可以得出b=c(見圖)．若a、b、c∈R，則a(bc)=(ab)c(聯合律)建立，但對于向量a、b、c，則(a·b)·c與a·(b·c)都是無心義的，這是由于a·b與b·c是數目，已不再是向量了，而數目與向量是沒有點乘定義的．同時，(a·b)c≠a(b·c)，這是由于數目a·b與向量c相乘是與c共線的向量，而數目b·c與向量a相乘則是與a共線的向量，因此一般兩者是不等的．這就是說，向量的數目積是不知足聯合律的．⑷若a、b∈R，則|a·b|=|a|·|b|，但對于向量a、b，卻有|a·b|≤|a|·|b|，等號當且僅當a∥b時建立．這是由于|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|而|cosθ|≤1．★熱門考點題型探析★考點一：平面向量數目積的運算題型1.求數目積、求模、求夾角22（1）ab；（2）ab；（3）（2ab）（a3b）；（4）ab：直接用定義或性質計算分析：（1）ababcos120o23(1)3ab：考2慮公式cos=。|a||b|分析：設a與b的夾角為【名師引導】注意公式（2ab）（a25ab2，當知道a,b的模及它們的夾3b）2a3b角可求（x1ax2b）（x3ax4b）的數目積，反之知道（x1ax2b）（x3ax4b）的數目積及a,b的模則可求它們的夾角。題型2。利用數目積解決垂直問題若非零向量、知足，證明:：只須證明0。分析：由得:22()2()2睜開得:0,故在△ABC中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，且△ABC的一個內角為直角，求k值：注意分狀況計論分析：當A=90時，ABAC=0，∴2×1+3×k=03∴k=2當B=90時，ABBC=0，BC=ACAB=(12,k3)=(1,k3)∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=113當C=90時，ACBC=0，∴1+k(k3)=0∴k=3132【名師引導】abab0是一個常用的結論。【新題導練】1．（廣東省普寧市城東中學2009屆高三上學期第三次月考）已知向量A．

a(1,1)，b(2,n)，若|ab|ab，則n（）3B．1C．1D．3答案：D分析：9(1n)22n解得n32．執信中學2008-2009學年度高三數學試卷知a，b，c為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，向量m(3，1)，n(cosA，sinA)．若mn，且acosBbcosAcsinC，則角A，B的大小分別為（）A．π，πB．2π，πC．π，πD．π，π63363633答案：C分析：由mn可得mn=0即3cosA-sinA0因此角A3，2且acosBbcosAcsinC及BC可得B36考點2利用數目積辦理夾角的范圍題型1：求夾角范圍已知|a|2|b|0,且對于x的方程x2|a|xab0有實根,則a與b的夾角的取值范圍是()A.B.[,]C.[,2]D.[,]3336：要求兩向量夾角θ的取值范圍,可先求cosθ的取值范圍.分析：由對于x的方程x2|a|xab0有實根，得:|a|24ab≥0ab1|a|2.設向量a,b的夾角為θ，則cosθ=ab,又|a|2|b|0,4|a||b|1|a|21cos4.B.1，∴θ∈[,]223|a|2θ的取值范圍,可先求cosθ的取值范圍.【名師引導】要求兩向量夾角【新題導練】3．設非零向量a=x,2x，b=3x,2，且a，b的夾角為鈍角，求x的取值范圍a，b的夾角為鈍角,abx3x2x23x24x0解得x0或x4(1)又由a,b共線且反向可得x1(2)33由(1),(2)得x的范圍是114,,0,3334．已知a(,2)，b(3,2),假如a與b的夾角為銳角,則的取值范圍是答案：4或0且133分析：a與b的夾角為銳角即cosab0且akb，可得4或013且|a||b|3考點，軌跡問題1．已知M(4,0),N(1,0)，若動點P(x,y)知足MNMP6|NP|，求動點P的軌跡方程.由已知得3(x4)6(1x)2(y)2，化簡得3x24y212,即x2y21,這就是動點P的軌跡方程.43★搶分頻道★基礎穩固訓練1.2009年廣東省廣州市高三調研測試數學（理科）已知向量a=（x，1），b=（3，6），ab，則實數x的值為A．1B．2C．2D．122答案：B分析：3x60,x2（廣東省深圳市2009屆高三九校聯）已知ab122，a4，a和b的夾角為135，則b為（）．．3．6．33A12BCD答案：C分析：ab|a||b|cos1350122，又a4可得b=63．廣東省北江中學2009屆高三上學期12月月考(數學理)△ABC內有一點O,知足OAOBOC0,且OAOBOBOC.則△ABC必定是（）A.鈍角三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形答案：D分析：O為重心，由OAOBOBOC可知△ABC必定是等腰三角形4．廣東省恩城中學2009屆高三模擬考試（數學理）在△ABC中，a,b,c分別為三個內角A,B,C所對的邊，設向量m(bc,ca),n(b,ca)，若mn,則角A的大小為（）A.B.C.D.23236答案：B分析：由mn可得mn0即(bc)b(ca)(ca)0,b2bcc2a20因此角A=35．廣東省華南師范隸屬中學2009屆高三綜合測試己知向量a(cos,sin),b(cos,sin)，a與b的夾角為60°，直線xcosysin0與圓(xcos)2(ysin)21的地點關系是（）2,A．相切B．訂交C．相離D．隨的值而定答案：C分析：a與b的夾角為60°因此圓心(cos,sin)到直線xcosysincoscossinsin10距離為12應選C6已知OA1，OB3，OAOB0，點C在AOB內，且AOC30o，設OCmOAnOB(m,nR)，則m等于（）nA．1B．3C．3D．333答案B∵OA1，OB3，OAOB0∴△ABC為直角三角形，此中AC11AB214131∴OCOAACOAABOA4(OBOA)OAOB3,n1即m444∴m3故此題的答案為B．44n7．廣州市海珠區2009屆高三綜合測試設ABC是邊長為1的正三角形,則CACB=.答案：3分析：CACB=CACB222CACB|CB|2CA綜合拔高訓練8．廣東省揭陽二中2009屆高三上學期期中考試（數學理）已知a＝(－1,3)，b＝(2,－1)，若(ka＋b)⊥(a－2b)，則k＝．答案：

34分析：ka＋b=（