關于幾種常見的概率分布第1頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三確定性現象：不需要概率論和統計學非確定性現象：統計學研究—隨機現象，無簡單的因果關系，如動物出生的體重.某個樣本推斷總體時推斷錯誤的可能性有多大？置信度有多高？非確定性現象是有規律的。研究偶然現象本身規律的科學稱為概率論.概率論和統計學，是以隨機試驗為研究對象的。第2頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.1概率的的基本概念2.1.1概率的古典定義（略）

例：擲一顆均勻的色子，求“擲出偶數的概率”例:在10尾魚中，有6尾健康魚，4尾病魚。求“從中抽2尾均為病魚”的概率。以等可能為前提（1）隨機試驗中，基本事件的總數n為有限個（2）各基本事件的發生是等可能的（各基本事件等概率）這類隨機現象的概率類型稱為古典概型。則事件A的概率：P（A）=A中包含的基本事件數/基本事件總數=m/n第3頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三表2.1在相同條件下水稻種子發芽試驗結果試驗粒數(n)510501002005001000發芽粒數(a)584491179452901發芽頻率(a/n)1.00.80.880.910.8950.9040.9012.1.2概率的統計定義課本P27表第4頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.1.3概率的基本性質:3、不可能事件（V）的概率等于0,即:P(V)=01、任何事件（A）的概率都在0與1之間

0≤P(A)≤12、必然事件（W）的概率等于1,即:P(W)=1概率是事件在試驗結果中出現可能性大小的定量計量，是事件的固有屬性。概率有以下明顯性質：第5頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

假定在相似條件下重復進行同一類試驗,調查事件A發生的次數m與試驗總次數n的比數稱為頻率(m/n),則在試驗總次數n逐漸增大時,事件A的頻率愈來愈穩定的接近一個定值p，則定義為事件A發生的概率.記為P(A)=p=m/n在實際問題中，由于試驗次數n不可能無限增大，因此，常將n充分大時，事件A發生的頻率作為其概率的近似值。第6頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三1.加法法則任意事件A、B，有：

P(A+B)=P(A)+P(B)

–P（AB）若事件A和B互斥，則：

P(A+B)=P(A)+P(B)

例如在一魚池中，放養草魚鰱魚和鯉魚各100尾。草魚主要吃植物性食料，鰱魚吃浮游生物，而鯉魚則為雜食性，求這一魚池中單食性魚的概率。2.1.4概率的運算第7頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.條件概率在同一個樣本空間Ω中的事件或者子集A與B，如果隨機從Ω中選出的一個元素屬于B，那么下一個隨機選擇的元素屬于A的概率就定義為在B的前提下A的條件概率，記為P（A/B）。

P(A/B)=P（AB）/P(B)

課本P29例2.2，縮小了樣本空間第8頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三3.概率乘法法則:P(AB)=P(A)×P(B/A)P(AB)=P(B)×P(A/B)A和B是兩個獨立事件(事件A的發生并不影響事件B發生的概率),則:P(AB)=P(A)×P(B)

若一批玉米種子發芽率為0.9,發芽后能出土的概率為0.8,求這批種子的出苗率?P(A×B)=P(A)×P(B)=0.9×0.8=0.72第9頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例:

在10尾魚中有3尾雌魚，7尾雄魚。按不放回抽樣從中抽取2尾，每次抽取1尾，求“第一次抽得雄魚，第二次抽得雌魚”的概率。設A表示“第一次抽得雄魚“，B表示”第二次抽得雌魚”，則P（A）=7/10，P（B/A）=3/9P（AB）=7/10*3/9若按放回抽樣從中抽取2尾，每次抽取1尾，求“第一次抽得雄魚，第二次抽得雌魚”的概率。第10頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三4.獨立事件的概率若事件A的發生，并不影響事件B的發生的概率，則稱A與B是獨立事件。事件A的概率為P(A),那么對立事件B的概率為:P(B)=1-P(A)若一批種子發芽率為0.9,則不發芽率的概率為1-0.9=0.1第11頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例:在一魚池中，草魚、鰱魚和鯉魚所占比例分別為50%、30%、20%，其病魚率分別為1%，2%，4%。求從此魚池中任意取出1尾是病魚的概率。計算復雜事件的概率時，常需將它們分解為一些較簡單的事件，再應用概率的法則設A1、A2、A3分別表示“取出魚是草魚”、“取出魚是鰱魚”和“取出魚是鯉魚”，B表示”任意取出一條是病魚”,A之間互斥,和為全樣本.第12頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三P(B/A1)=0.01,P(B/A2)=0.02,P(B/A3)=0.04據全概率公式得:P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3)=0.05*0.01+0.3*0.02+0.2*0.04=0.019第13頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三&2.2隨機變量的概率分布2.2.1離散型隨機變量的概率分布

若隨機變量X只取數軸上有限個或無限個子孤立x1,x2,x3…xn,并且這些值對應的概P1,P2,P3…Pn,則稱X是離散型隨機變量.其概率函數為：

p（x）=P（X=x）或表示為P{X=xi}=pi,i=1,2,…..

其中：p（x）≥0，∑p（x）

=1。大寫字母表示隨機變量，小寫字母表示第i次觀測值隨機變量（randomvariable）就是在隨機試驗中被測定的量。第14頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三將隨機變量X的一切可能值x1，x2，x3….以及取得這些值的概率p1，p2，p3…..排列起來，就構成了離散型隨機變量的概率分布圖。（P31）P(x)x1x2xn第15頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三常用離散型隨機變量的分布:0-1分布；二項分布；泊松分布離散型隨機變量的分布函數是指隨機變量小于等于某一可能值xi的概率。第16頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2連續型隨機變量的概率分布

如隨機變量可取某一（有限或無限）區間內的任何數值，稱為連續型隨機變量。如小麥株高。在研究連續型隨機變量是，實際觀測值只能是落在一定的區間內，落在一定區間內的概率可以不為0，但區間可以很小。隨機變量Y的值落在區間（y,y+?y）內的概率為P（y<Y<y+?y)。當?y→0時，的極限表示隨機變量Y在點y處的概率密度，用f(y)表示，稱f(y)為隨機變量的概率密度函數。第17頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三f(y)為隨機變量的概率密度函數正態分布概率密度函數：第18頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三分布函數（累積分布函數）：是隨機變量Y取得小于y0值的概率，是對概率密度的積分。分布曲線在區間(-∞,y)所夾的面積。第19頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三-3-2-10123t或u0.40.30.20.1f(x)ab概率P（a<X<b)就是區間(a,b)夾的曲線下面積。概率密度的圖形，稱為分布曲線。第20頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三&2.3幾種常見的概率分布&2.3.10-1分布&2.3.2二項分布&2.3.3泊松分布&2.3.4正態分布（P50）第21頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.3.10-1分布若隨機變量X只能取0,1兩個值,且

P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q,(0<P<1),則稱X服從參數為p的0-1分布.

若一隨機試驗只有兩種可能,則稱該試驗為伯努利試驗.μ＝=0q+1p=Pσ2=Σp（x)(x-μ)2=(0-p)2q+(1-p)2p=pq第22頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.3.2

二項分布例1:某養殖場魚爛鰓病的發生率為0.8,求在隨機抽取的10尾魚中,(1)恰有4尾發病的概率;(2)最多有8尾發病的概率;(3)發病的平均尾數與方差.例2.課本P41例3.1第23頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三1.二項分布的概率函數：特點：總體X只能出現非此即彼兩種對立的結果。假定某事件A發生的概率為p,不發生的概率為q，則做n次獨立性試驗(獨立進行n次伯努利試驗)，發生k(0≤k≤n)次的概率為(或參課本P35表示)：則隨機變量X服從參數為n和p的二項分布，記為X～B(n,p).第24頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.二項分布的特點：(1)P(x=k)=Pn(k)≥0(2)二項分布概率之和等于1.(展開式各項是事件A發生n次的概率)第25頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三二項分布由n和P兩個參數決定，其特點是：①當P值較小且n不大時，分布是偏倚的。但隨著n的增大，分布逐漸趨于對稱，如圖3—1所示。③對于固定的n及p，當x增加時，Pn(x)先隨之增加并達到某極大值，以后又下降。②當P值趨于0.5時，分布趨于對稱，圖3—2所示。第26頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三3.服從二項分布的隨機變量的特征數b.二項分布的總體方差:

σ2=npq

表示Ｘ取值的離散度或變異大小

二項分布的總體平均數μ

表示做ｎ次獨立試驗，某事件平均出現的次數為ｎｐ次第27頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三3.二項分布的概率計算應用

例1：有一批芽接苗，其成活率為0.85，今從中隨機抽取6株種植，求（1）正好有5株成活的概率？(2)最少有4株成活的概率？(3)最多有4株成活的概率？(4)平均成活數？(5)平均變異？第28頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三（5）總體方差:σ2=npq=6×0.85×0.15=0.765

表示成活株數平均差異0.87

（4）總體平均數μ＝np=0.85×6=5.1

隨機抽6株，平均5.1株成活。第29頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

泊松分布是一種可以用來描述和分析隨機地發生在單位時間或空間里的稀有事件的概率分布。

例：正常生產線上單位時間生產的不合格產品數，每毫升飲水內大腸桿菌數，意外事故，自然災害等。2.3.3泊松分布第30頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三當某事件出現的概率p很小，而試驗n很大時(n+∞，p-0,np--λ時)，二項分布B(n,p)的極限分布，即泊松分布，記為X～P(λ)。當二項分布在p<0.1和np<5時，可用泊松分布近似。1.泊松分布定義第31頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.特點：在概率函數內的μ,不但是它的平均數,而且是它的方差.μ＝σ2＝λ其概率分布條形圖的形狀決定于λ。用λ=np進行有關計算。3.應用實例(課本P41,例3.5)第32頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.3.4正態分布１、正態分布的密度函數和分布函數-3-2-10123兩頭少，中間多，兩側對稱。數據的這種分配規律稱為正態分布又稱高斯（Gauss)分布,是連續性隨機變量的一種最重要的理論分布，是生物統計學的重要基礎。正態分布曲線:正態分布密度函數的圖像稱為正態曲線。第33頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三(1)正態分布概率密度函數：如果隨機變量X的概率密度函數滿足上式，則稱X服從正態分布，記為第34頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

x:所研究的變數;:x的函數值,稱為概率密度函數;:總體平均數;:總體標準差其中,是兩個常數,正態分布記為N(,),表示具有平均數為,方差為的正態分布。（樣本中的觀察值總合叫變數，變數中每個成員為變）第35頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三（1）單峰曲線（2）左右對稱（X＝μ）（3）在x＝μ±σ處曲線各有一拐點（4）曲線圖形由μ、σ確定。總體標準差σ表示曲線展開程度。（5）X──〉±∞ｆ（ｘ）──〉0（6）曲線與橫坐標所夾的面積等于１（100％）(2)正態分布曲線(正態分布密度函數的圖象)特點：第36頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三密度函數(3)正態分布的分布函數(累積分布函數)：

是隨機變量X取得小于x的值的概率第38頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三概率密度函數：正態分布曲線:

正態分布密度函數的圖像稱為正態曲線。累積分布函數：是隨機變量X取得小于X值的概率，是對概率密度的積分。分布曲線在區間(-∞,y)所夾的面積。第39頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三對于任何正態分布,隨機變量X的值落入任意區間(a,b)的概率為:

密度函數第40頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三-3-2-10123t或u0.40.30.20.1f(x)ab第41頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三第42頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2、正態分布的概率計算

根據正態分布的性質，變量在兩個定值間取值的概率等于曲線與其x軸在該區間圍成的面積。

因此概率的計算即正態分布概率密度函數的定積分計算。

是一個曲線系統。為了一般化的應用，需將正態分布標準化。第43頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

(1)標準正態分布：=0，

=1時的正態分布稱為標準正態分布記作N（0，1）（u）

稱為標準化正態分布密度函數，即第44頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

從表中可以查出Ф(u)的值.其值等于標準正態曲線從-∞到u所夾的曲線下面積。該曲線下的面積表示隨機變量U落入區間（-∞，u）的概率。第45頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三（1）在u=0時，達到最大值（2）左右對稱，（3）在u＝-1和u=1處曲線各有一拐點（4）曲線圖形由μ、σ確定（5）X──〉±∞ｆ（ｘ）──〉0（6）曲線與橫坐標所夾的面積等于１（100％）標準正態分布特點：第46頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三-3-2-10123t或u0.40.30.20.1f(t)或(u)Фu分布t分布(df=1)圖4.3t分布及其與標準正態曲線的比較第47頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三常用標準正態曲線下的面積（概率）積分得[u=－1.96，μ=+1.96]（面積）概率為95％

[u=－2.576，μ=+2.576]（面積）概率為99％在統計學上稱兩尾的概率之和Ｐ＝5％為5％的顯著水準Ｐ＝1％為1％的顯著水準第48頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三第49頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

正態分布表的查法P325附表第50頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三第51頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三第52頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

正態分布表的查法P325附表第53頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三正態分布的單側臨界值附表3正態分布上側臨界值由α查u值由u

查α值附表2附表3查當α=0.05時的u值第54頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三1.645第55頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三第56頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三第57頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三規定:表示α的上側臨界值表示α的下側臨界值表示α的雙側臨界值第58頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

由于正態分布圖形隨μ，σ不同而變，不便比較，將X轉化為u值:即把原正態分布轉化為標準正態分布。（2）正態分布的標準化即新的隨機變量服從標準備正態分布第59頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三從N(,2)到N(0,1),從幾何意義上說，僅僅是將變量x作了橫坐標軸的平移和尺度單位的變化。第60頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三經過標準變換后，X的分布函數第61頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三P54例2.1已知高梁品種“三尺三”的株高Y服從正態分布N（156.2,4.822），求：（1）Y<161cm的概率；（2）Y>164cm的概率；（3）Y在152～162cm的概率。第62頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三第63頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例2.2

250株小麥的高度分布服從正態分布N（63.33，2.882），問：(1)株高在60cm以下的概率？(2)株高在69cm以上的概率？(3)株高在62~64cm之間的概率？(4)株高在多少cm以上的占全體的95%？第64頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例2.3已知某作物株高增量（cm）服從正態分布N（250，1.582）若P（x<l1）=P(x≥l2)=0.05,求l1和l2。表3：P（Y>ua)=a第65頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.3.4中心極限定理X1=光強X2=光質Xi=光質X6=氧氣X5=水X4=NX3=Px1+x2+x3+……….=X已證明,隨機變量和的分布趨于正態分布,故X趨于正態分布當n充分大時(極限的原理和方法)，無論各個Xi的分布是什么，這個部分和的分布是近似正態的.第66頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

假設被研究的隨機變量X,可以表示為許多相互獨立的隨機變量Xi的和。如果Xi的數量很大，而且每一個別的Xi對X所起的作用又很小，則隨機變量X（和）可以被認為服從或近似地服從正態分布。據此定理才能從單個樣本的n個數據所得到的統計量對總體進行估計.1、中心極限定理基本內容第67頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2、中心極限定理重要推理：若已知總體平均數為μ,標準差為σ,那么,不論該總體是否正態分布,對于從該總體所抽取的含量為n的樣本,當n充分大時,其平均數漸近服從正態分布N(μ,σ2/n)---公式推導證明見P57-P58，實例證明見P59例3.11從一個正態總體中抽取的樣本，不論樣本含量的大小，其樣本數均服從正態分布實例證明見P63圖3-15第68頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三總體Y：非正態分布，呈正偏的偏態分布第69頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三n=2n=4n=8n=32n=16樣本平均數的分布：隨樣本含量的增加，逐漸趨于正態分布第70頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例如，設有一個N=4的有限總體，其變量值為2、3、3、4。總體的平均數、方差和標準差第71頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

當以樣本容量n=2進行獨立抽樣，抽取的所有可能樣本數,其平均數、方差和標準差如下表。第72頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三樣本觀察值x2222333333334444234323342334∑x455656675667677823342.02.52.53.02.53.03.03.52.53.03.03.53.03.53.54.00.00.50.52.00.50.00.00.50.50.00.