中考數學培優易錯難題(含解析)之反比例函數含答案一、反例函數．在平面直角坐標系內，雙曲線：y=

（＞）別與直OA：和線：﹣x+10，于CD兩點，并且．（）出雙曲的解析式；（）結CD，求四邊形OCDB的積．【答案】（1）解：過點、C、D作x軸的垂線，垂足分別是、、F，AMO=CEO=，直：和線：﹣x+10，AOB=，CEO△DEB

==3，設﹣m，）其中m＞，C，），點C、在曲線上，9m

（﹣）解得：或（去）C3，），k=9，雙線y=

（0）（）：由（1）知D（，）（，，（，）BF=1，

OE=3，，

+Seq\o\ac(△,)+Seq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)S

OCDB

CDFE=×3×3+×1+3）

，四形的積是17【解析】【分析】（）點A、、作x軸垂線，垂足分別是、、，由直線和y=﹣可知ABO=45°，eq\o\ac(△,)，而可知

==3，后設設（﹣，m），其中m＞，從而可知C的坐標為3m，）利用C、在比例函數圖象上列出方程即可求出的．2）分別求eq\o\ac(△,)OCEeq\o\ac(△,)DFB、形CDFE的面積即可求出答案．2．如圖直角坐標系中，矩形ABCD的邊BC在x軸上，點，的坐標分別為B10），（，）．（）C的標_______；（）反比例函數

（的圖象經過直線上點E，點E的標為（，m），求m的及反比例函數的解析式；（）（）中的反比例函數的圖象與CD相于點，連接，在直線AB上一點P，使得

=，求點的標．【答案】（）3，）（）：AB=CD=3，A的坐標為（，），又C（，0），設直線AC的析為y=ax+b則，得：，直AC的解析式為y=﹣x+．點E（，）在直線上

m=﹣×2+=，點E（，）．反例函數y=的圖象經過點，=3，反例函數的解式為y=（）：延長FC至M，CF，連接EM，則eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)EFM=eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)，M，0.5．在y=中，當時，，（1）過點作直線MP交線AB于，則eq\o\ac(△,)．設直線EF的析式為，

，解得，y=﹣x+．設直線PM的解析式為y=x+c，代入M（，0.5，得：，y=﹣．當時，y=0.5，點P（，）同理可得點P（，）點坐標為1，0.5或1，）．

eq\o\ac(△,)EFMeq\o\ac(△,)EFMeq\o\ac(△,)【解析】【解答】解：（）D（，），OC=3C3，）．故答案為（，）；【分析】（）D的坐標為3，得到線段OC=3，可確定出C的標；（）由矩形的對邊相等，得到AB=CD，由的坐標確定出CD的，即為的，再由的標確定出OB的，再由為一象限，確定出A的標，由A與C的標確定出直線AC的解析式，將E坐標代入直線解式中，求出m的，定出E的坐標，代入反比例解析式中求出的值，即可確定出反比例解析式；（3）長FC至，CM=CF，連EM，則

=，（，﹣0.5）求出F（，），過點M作線MPEF交線于P，利用平行線間的距離處處相等相等利用底等高得到eq\o\ac(△,)

．此直線與線PM的率相同，由F的坐標與C橫標相同求出的橫坐標，代入反比例解析式中，確定出坐，由E與F坐確定出直線斜，即為直線的率，再M坐標，確定出直線PM解析式，由P橫坐標與B橫坐標相同，將B橫標代入直線PM解式中求出的，即為P的縱坐標，進而確定出此時P的標．3．如圖，已知一次數與x軸y軸分別交于點，，比例函數y=經過點M．（）M是線段AB上一個動點（不與點、重）．當a=﹣時設點M的橫坐標為m，求k與之的函數關系式．（）一次函y=ax+2的圖象與反比例函數y=的象有唯一公共點M，且，a的值．（）﹣2時將eq\o\ac(△,)在第一限內沿直線

y=x平移

個單位長度得到

eq\o\ac(△,)A′B，圖2，是eq\o\ac(△,)A′B斜上的一個動點，求k的值范圍．【答案】（）：當﹣時﹣，當時，﹣，x=，點M的坐標為m，且M是段AB上一個動點（不與點、重），＜＜，，DANG則

，﹣，當時，﹣

+2m（＜m）（）：由題得：

，ax+2=，k=0，直a）雙曲線y=有一公共點M時=4+4ak=0，ak=﹣，﹣，

則，解得：OM=，

，1

+（）（）

，a=±（）：當a=﹣時y=，點的標為（，），點B的坐標為02，將eq\o\ac(△,)在第一象限內沿直線平

個單位得到eq\o\ac(△,)′O，′（，）B（，），點是eq\o\ac(△,)A′B斜上一動點，當點與′重合時，，當點與B重時k=3，k的值范圍是2≤k【解析】【分析】（）a=﹣時，直線解析式為﹣，出A點橫坐標，由于點M的橫坐標為m且M是線段上的一個動點（不與點AB重合）從而得到m的值范圍，由3x+2=,由X=m得﹣2（＜＜）；2由得ax2+2x﹣k=0直線（）雙曲線y=有一公共點M時eq\o\ac(△,)=4+4ak=0，﹣，勾股定理即可；（3）a=﹣時y=﹣，而求出、兩的坐標由平移的知識知，點坐標，從而得到k的值范圍。4．如圖，矩形OABC的點A、分在xy軸正半軸上，點為BC邊的點，反比例函數y=

（在第一象限內的圖象經過點

（，）AB邊上的點（，）．（）反比例數的表達式和的值；

（）矩形OABC的進行折疊，使點O于D重合，折痕分別與x軸軸半軸交于點F，，求折痕FG所直線的數關系式．【答案】（）：反例函數=2，

（）第象限內的圖象經過點（，）反例函數的表式為y=

．又點（，2）在反比例函數y=

的圖象上，2m=2，解得：（）：設OG=x則﹣，點（，）CD=1．在eq\o\ac(△,Rt)中DCG=90°，CG=2，，，CD+CG=DG，解得：點G（，

，即1+（﹣）=x）．

，過點作FHCB于點，圖所示．由折疊的特性可知：GDF=GOF=90°，，．CDG=90°，，HDF，FHD=90°，GCD△DHF，DF=2GD=

=2，，點的標為（

，）

設折痕FG所直線的函數關系式為y=ax+b，有，解得：．折FG所在直線的函數關系式為y=﹣

x+【解析】【分析】（）點的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出值，再由點B在比例函數圖象上，代入即可求出值2），用勾股定理即可得出關于x的元二次方程，解方程即可求出x值，從而得出點G的標．再點F作FHCB于H，由此可得eq\o\ac(△,出)△DHF，據相似三角形的性質即可求出線段的長度，從而得出點的標，結點G、的標利用待定系數法即可求出結論．5．如，在平面直角坐標系中，平行四邊形點坐為.

的邊，點

坐標為，（）的標________，的標是________（表）；（）雙曲線（）平行四形【答案】（）（）：雙線

過平行四邊形與雙曲線；過點

的頂點和，該雙曲線的表達式；總有公共點，求的取值范圍和點，

點的坐標為

，解得，，點坐標為

，把點的坐標

代入，解得，雙線表達式為

在雙曲線（）：平四邊形當當點在雙曲線的取值范圍

與雙曲線，得到，得到.

，，

總有公共點，【解析】【分析】（）四邊形為平行四邊形，得到A與縱標同，C與D縱坐標相同，橫坐標相差2，出B、坐即可；）根據B與在比例圖象上，得到C與D橫縱坐標乘相等，求出b的確定出B坐，進而求出的，確定出雙曲線解析式；3）住兩個關鍵點，將A坐標代入雙曲線解析式求出b的；將C坐標代入雙曲線解析式求出的值，即可確定出平行四邊形與雙曲線總有公共點時b的圍．6．理數學興趣小組在探究如何求的，經過思考、討論、交流，得到以下思路：思路一如，在eq\o\ac(△,Rt)中，，ABC=30°，長CB至點D，使BD=BA，接．設AC=1，則BD=BA=2，．

．tanD=tan15°==思路二利科普書上的和（差）角正切公式：（α±）α=60°，代差角正切公式：（﹣45°）．=思路三在角為30°的腰三角形中，作腰上高也可…思路四請解決下列問題（上述思路僅供參考）．

=

．假設

（）比：求的；（）用：如2某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米在地平面上有一點，測得AC兩點間距離為60米，從測得電視塔的視角CAD為，這座電視塔CD的度；（）展：如，直線

與雙曲線

交于，兩，與y軸于點，將直線繞C旋轉45°后是否仍與雙曲線相交？若能，求出交點的坐標；若不能，請說明理由．【答案】（）：方法一：如圖1在eq\o\ac(△,)ABC中，C=90°，，長至點，BD=BA，接AD設AC=1，則BC=

．===

；方法二：（45°+30°）==（）：如圖，在eq\o\ac(△,)中，==

，sin

，即BAC=30°．DAC=45°，DAB=45°+30°=75°．在eq\o\ac(△,)中，DAB=

，DB=ABDAB=

（）

，DC=DB﹣

=．答：這座電視塔CD的高度為（）

（）：若直線AB繞C逆時針旋轉45°后與雙曲線相交于，圖．點C作x軸，過點P作PECD于，過點A作CD于．解方程組：

，得：

或，點（1）點B（﹣，﹣）對于

，當x=0時，y=﹣，C（﹣）OC=1，CF=4，﹣（﹣）=2，tanACF=

，∴PCE=tan（ACP+）=tan（ACF）==3，即則有：，

=3．點P的標為（，）解得：

或，點的坐標為（1，）或（，）②若線繞C順針旋轉后，與x軸交于點，圖．由①可ACP=45°，（，），則CP．過點P作PHy軸于H，則

GOC=，GCO=90°﹣HCP=，，

．CH=3﹣（﹣），，，

，GO=3，（3，）設線的析式為，則有：，解得：，直CG的解析式為．聯立：，△=

，消去y，得：，理得：，方沒有實數根，點P不存在．綜上所述：直線AB繞旋45°，能與雙曲線相交，交點的坐標為（﹣，﹣4）（，）【解析】【分析】，DAC用邊的比值表示在eq\o\ac(△,)ABC中由勾股定理求出，三角函數得出∠從而得到∠，在eq\o\ac(△,)中可求出，﹣分種情況討論，設點P的坐標為（a，），根據tanPCE和P在圖像上列出含有a，的程組，求出a利用已知證eq\o\ac(△,)CHP根據相似三角形的性質可求出G的標設出直線CG的析式，與反比例函數組成方程組消元eq\o\ac(△,)<0點P不存在.7．如圖，一次函數y=﹣的象與反比例y=（為數，且k≠0）的圖象交于1，a，兩點．（）反比例數的表達式及點B的坐標；（）x軸上找一點P，使的最小，求滿足條件的點P的坐標．【答案】（）：點A（，）一次函數y=﹣的象上，﹣1+3=2，點（，）點（，）反比例（為數，且≠0）圖象上，

k=1×2=2，反例函數的表式為y=．聯立一次函數與反比例函數關系式成方程組，得：，解得：

，，點（2，）（）：作點于x軸對稱點B（，1）連接AB，x軸于點，連接，圖所示．點、關軸對稱，PB=PB．點、P、三點共線，此PA+PB取小值．設直線AB的數表達式為y=mx+n（≠0）將（，）、B（，1）代入y=mx+n，，解得：，直AB的數表達式為y=﹣3x+5．當y=﹣3x+5=0時，x=，滿條件的點的標為（，）【解析】【分析】（）x=1代直線AB的數表達式中即可求出點A的坐標，由點的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數的表達式，聯立兩函數表達式成方程組，通過解方程組即可求出點的坐標；2作B點于x軸的對稱點′（，﹣1）連接AB，交x軸點，連接，由兩點之間線段最短可得出此時PA+PB取最小值，根據點A、的標利用待定系數法可求出直線的數表達，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點的標．8．【閱讀理解】我們知道，當a＞且b0時（（當時等號），

﹣）所以a﹣，從而a+b≥2

121212121212【獲得結論】設函數y=x+（＞，x0），由上述結論可知：當x=即x=

時，函數y有最小值為2（）直接應】若=x（＞）y（＞）則當x=________時，+y取最小值為________．（）變形應】若（＞﹣）與y（+4（＞﹣）則

的最小值是_______（）探索應】在平面直角坐標系中，點A（3，）點（0，2，點P是數y=在第一象限內圖象上的一個動點，過P點作PCx軸于點，y軸于點D，點P的坐為x四邊形ABCD的積為S①求S與x之的函數關系式；②求S的小值，判斷取得最小值時的四邊形ABCD的狀，并說明理由．【答案】（）；（）（）：設（，）則C（，）（，），+2AC?BD=（x+3）+2）=6+x+；②x＞x+≥2=6當x=時即x=3時，x+有最小值，

12121212此有小值12，，（2）C（3），（2）A、C關x軸稱，、關y軸稱，即四邊形ABCD的角線互相垂直平分，四形為形．【解析】【解答】解：（）＞，y+y=x+≥2=2，當x=時即x=1時，y+y有小，答案為：；；（）x＞，，

=

=（）+≥2，∴當x+1=

時，即x=1時，

有最小值4，故答案為4；【分析】（）接由結論可求得其取得最小值，及其對應的的值；2）把x+1看一個整體，再利用結論可求得答案；（）可（x，）則可表示出、的標，從而可表示出和，利用面積公式可表示四邊形ABCD的面積，從而可得到S與的函數關系式再用結論可求得其最得小值時對應的x的，則可得到、C、D的坐標，可判斷、關x軸對稱B、關軸對稱，可判斷四邊形為形．9．在面直角坐標系xOy中，對于雙曲線y=（0）和雙曲線（＞）如果，則稱雙曲線y=

（＞）雙曲線y=

（＞）“倍雙曲線”，雙曲線y=（0）雙曲線y=（＞）的倍曲”，雙曲線（＞）雙曲線y=（＞0）的半曲線，（）你寫出雙曲線

y=

的倍曲線”是；雙曲線y=

的“半曲線”是________；（）圖1，平面直角坐系中，已知點A是曲線y=在一象限內任一點，過點與y軸平行的直線交雙曲線y=的半曲線于點，eq\o\ac(△,求)的積；

（）圖，知點M是曲線

（＞）第一象限內任意一點，過點M與軸平行的直線交雙曲線y=

的半曲”于N，點M與x軸平行的直線交雙曲線y=的半曲于點，eq\o\ac(△,)的積記為

eq\o\ac(△,)

，且1≤2求k的值范圍．【答案】（）；（）：如圖，

雙線y=的半曲線”是，AOD的面積為2，的積為，AOB的積為（）：解法：如圖2依題意可知雙曲線

的半曲”為，設點的橫坐標為m，則點坐為，），點坐標為m，），CM=MN=

，CN=．﹣=．同理﹣=．

eq\o\ac(△,)

=MN?PM=1

≤2，1≤≤2．

=k，=k，≤k，解法二：如圖3，依題意可知雙曲線

的半曲”為，設點的橫坐標為m，則點坐為，），點坐標為m，），點N為的點，同理點為MD的點．連接OM，

，△．

．

eq\o\ac(△,)OCM

eq\o\ac(△,)

=．1

≤2，≤≤2．≤k．【解析】【解答】解：（）由倍雙曲”的定義雙線y=，的“倍曲”是；雙曲線y=

的半曲是．故答案為y=，；【分析】（）接利用“雙曲線”的定義即可；（）用曲線的性質即可；（）先利用雙曲線上的點設出的坐標，進而表示出，的標；方法一、用三角形的面積公

eq\o\ac(△,)AOPeq\o\ac(△,)AOBeq\o\ac(△,)AOPeq\o\ac(△,)AOBeq\o\ac(△,)AOBeq\o\ac(△,)AOPeq\o\ac(△,)AOB式建立不等式即可得出結論；方法二、利用相似三角形的性質得eq\o\ac(△,)PMN的面積，進而建立不等式即可得出結論．10．圖，在平面直角坐標中，軸點C，A（數y=的圖象上．

，）反比例（）反比例數的達式；（）x軸的負半軸上存在一點，使得

=，求點的標；（）eq\o\ac(△,)BOA繞B按逆時方向旋轉60°得eq\o\ac(△,)BDE．直接寫出點E的標，并判斷點是否在該反比例函數的圖象上．【答案】（）：點A（

，）反比例數y=的象上，k=×1=

，反例函數表達為

.（）：（

，）x軸點C

，AC=1，OAAB，A=COB，A==tanOC2=AC，即BC=3，，

，

=××4=2

，

==

，設點P的坐標為m，）

×|m|×1=

，解得m|=2

，

121212121212P是x軸負半軸上的點，，m=﹣，）點的坐標為（2（）：由（）可知=

=

，COB=60°，，eq\o\ac(△,)BOA繞按時方向旋轉60°得eq\o\ac(△,)，OBD=60°，，x軸，在eq\o\ac(△,)AOB中，AB=4AO=DE=2，

，且BC=3，OC=

，﹣

，﹣DE=1，E﹣﹣

，﹣）×（﹣）

，點在該反比例函數圖象上【解析】【分析】（）點A的標，利用待定系數法可求得反比例函數表達式；2）由條件可求，用三角函數的定義可到=AC，求得BC的，可求eq\o\ac(△,)的積，設點坐標為（，）由題意得到關于m的程，可求得m的值；（）條可求，則BDx軸由、的長，可求得E點坐標，代入反比例函數解析式進行判斷即可．11．圖1，平面直角坐標系O為坐標原點，點（2，）點B（，2

）（）接寫求的數；（）圖1，eq\o\ac(△,)AOB繞順針eq\o\ac(△,)A，當A恰好落在AB邊上時，eq\o\ac(△,)AB′O的面積為，BA的積為S，S與有關系？為什么？（）eq\o\ac(△,)繞O順針旋轉到如圖所的位置S與S的系發生變化了嗎？證明你的判.【答案】（）：A（），（，）

12121212121212OA＝，＝，在eq\o\ac(△,)AOB中，＝

，BAO＝（）：＝；理由：60°＝，＝，OA'＝＝，AOA'是邊三角形，OA'＝＝＝，B'A'O＝60°60°，B'A'，根據等邊三角形的性質可得eq\o\ac(△,)AOA'的邊AO上高相等，eq\o\ac(△,)AB′O中AO邊高和BA中BA邊的高相等，BA'O的積eq\o\ac(△,)AB'O的積相等（等底等的三角形的面積相等），即＝（）明：＝不發生變化理由：如圖，過點作OB.過點作ANOB'交B'O的延長線于，A'B'O是eq\o\ac(△,)繞旋得到，BOOB'，＝，＋＝A'OM＋＝，＝A'OM，eq\o\ac(△,)AON和A'OM中

，AONA'OM），AN，BOA'的積eq\o\ac(△,)AB'O的積相等（等底等高的三角形的面積相等），即＝.

11【解析】【析】（1）先求出，OB，再用銳角三角函數即可得出結論（