北京市海淀區(qū)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末

數(shù)學(xué)

2022.07

本試卷共4頁，共兩大部分，19道小題，滿分100分。考試時長90分鐘。試題答案一律填涂

或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，請將答題卜交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的

一項。

(1)已知集合/={1,2,3,4,5},5={x|x<3},則Zc8=

(A){1,2}(B){1,2,3)(C){3,4,5}(D){1,2,3,4,5}

(2)設(shè)命題p:X/xeR,e〔..x+1,則一為

(A)BxeR,ex<x+l(B)VXGR,ex<x+l

(C)SXGR,ex>x+1(D)BxGR,e\.x+1

(3)在(x-2)的展開式中,

常數(shù)項為

(A)-20(B)20(C)-160(D)160

(4)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是

11Q

2b2

A\BXIX

)<IQ<Z<

z--/--

J力(D)ab>b'

。P

(5)已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(2,b2),且尸(0<J<2)=0.3,則P(J〉4)=

(A)0.6(B)0.4(C)0.3(D)0.2

(6)某班周一上午共有四節(jié)課，計劃安排語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育各一節(jié)，要求體育不排在第一

節(jié)，則該班周一上午不同的排課方案共有

(A)24種(B)18種(C)12種(D)6種

(7)小王同學(xué)制作了一枚質(zhì)地均勻的正十二面體骰子，并在十二個面上分別畫了十二生肖的圖

案，且每個面上的生肖各不相同，如圖所示。小王拋擲這枚骰子2次，恰好

出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為

1/5

(8)若曲線歹=/(x)在某點(xoj(x。))處的切線的斜率為1,則該曲線不可能是

(A)y=——(B)y=sinx(C)y=xex(D)y=x+lnx

x

(9)已知｛與｝是等比數(shù)列，則“0>q>。2''是”｛%｝為遞減數(shù)歹產(chǎn)的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(10)已知函數(shù)/(x)=lnx-斤sinx,xe(O,乃］,給出下列三個結(jié)論：

①/(x)一定存在零點：

②對任意給定的實數(shù)左,/(x)一定有最大值；

③/(x)在區(qū)間(0,萬)上不可能有兩個極值點.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是

(A)0(B)1(C)2(D)3

第二部分(非選擇題共60分)

二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。

(11)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是((-2,1),則i-z=.

3

(12)不等式上一〉-1的解集是__________.

x—2

(13)若函數(shù)/(x)=x3+^2+2在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，則4的取值范圍是.

(14)某地要建造一批外形為長方體的簡易工作房，如圖所示。房子的

高度為3m,占地面積為6m2,墻體/BbE和。CG”的造價均為80元

/m2,墻體和BCGE的造價均為120元/m2,地面和房頂?shù)脑靸r

共2000元。則一個這樣的簡易工作房的總造價最低為元.

(15)已知數(shù)列｛6,｝的每一項均不為0,其前〃項和為S”，且

3S,,=4%+10.

①當(dāng)q=］時％=;

②若對任意的〃eN*,Sn...恒成立，則q的最大值為.

三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題9分)

已知等差數(shù)列｛4｝的公差為d，前〃項和為S“，滿足q=l,d〉0,且q,a2,S3成等比數(shù)

列。

(I)求數(shù)列應(yīng)｝的通項公式:

2/5

(n)記a=a,,+2%,求數(shù)列出｝的前〃項和Tn.

(17)(本小題10分)

研究表明，過量的碳排放會導(dǎo)致全球氣候變曖等環(huán)境問題，減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義.中國

明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各項措施，在公路交通運輸領(lǐng)域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之

一.中國某地區(qū)從2015年至2021年每年汽車總銷量如圖一，每年新能源汽車銷量占比如表一.

(注：汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和)

年份2015201620172018201920202021

新能源汽車

1.5%2%3%5%8%9%20%

銷量占比

(I)從2015年至2021年中隨機(jī)選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬輛的概率；

(II)從2015年至2021年中隨機(jī)選取兩年，設(shè)X表示新能源汽車銷量超過0.5萬輛的年份的個

數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)對該地區(qū)連續(xù)三年的新能源汽車銷量作統(tǒng)計分析時，若第三年的新能源汽車銷量大于前兩年

新能源汽車銷量之和，則稱第三年為“爆發(fā)年''.請寫出該地區(qū)從2017年至2021年中“爆發(fā)年”的年

份.(只需寫出結(jié)論)

(18)(本小題10分)

已知函數(shù)/(x)=x2-alnr.

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/(x)有兩個不同的零點，求。的取值范圍。

3/5

（19）（本小題11分）

已知"為正整數(shù)，數(shù)列X:x“X2,…，X,,記S（X）=X1+X2+…+x〃，對于數(shù)列X,總有

xe{0,1},左=1,2,…，則稱數(shù)列X為〃項0-1數(shù)列.

若數(shù)列4:%,的,…,。也,…也，均為〃項0-1數(shù)列，定義數(shù)列2*8:叫,加2,…，加”，

其中〃”.=1-\ak-b,\,k=1,2,…，〃.

（I）已知數(shù)列2:1,0,1,5:0,1,1,直接寫出S（Z*Z）和S（4*8）的值;

（H）若數(shù)列48均為〃項0-1數(shù)列，證明：S（（Z*8）*Z）=S（B）；

（IID對于任意給定的正整數(shù)〃，是否存在〃項0-1數(shù)列48,C,使得

S（Z*3）+S（Z*C）+S（8*C）=2〃，并說明理由.

4/5

海淀區(qū)2022年高二年級學(xué)業(yè)水平調(diào)研

數(shù)學(xué)2022.07

參考答案

一、選擇題

題目12345678910

答案BACDDBCDAc

二、填空題

(II)-l-2i(12)(-^o,-l)U(2,-H?)(13)[-1,+oo)

(14)4880(15)4;I

三、解答題

(16)解：(1)由題知

即(%+力=q(34.

又因為q=l,所以(1=(3+3d).

解得：d=2,</=-1.

由d>0,所以d=2.

所以=1+2(〃-1)=2〃-1.

(II)由(I)可知，^=(2/?-1)+22"3-'.

552H1

所以，Tn=[1+3+5+---+(2/J-1)]+(2+2+2+---4-2)

〃(1+2〃-1)2(1-4")

=-----------1--------

21-4

、2(4"-1)

=〃-+-.....

3

22ffl>1,2

=----+〃-——.

33

(17)解:(1)設(shè)事件.4為“從2015年至2021年中隨機(jī)選出的這毋汽車總銷量不小;

5.5萬輛二

由題意知,從2015年至2021年共有7年,汽乍總銷量不小于5.5萬輛有6年.

則/>(.”=5

所以從2015年至2021年中隨機(jī)選出的這年汽乍總銷量不小f5.5萬輛的概率為5.

(II)X的可能取值為：0,1,2.

c210

C\C\_10

Q(X=1)=

~cT~2l'

c；1

P(X=2)-=、_一-.

C；21

得分布列為:

X012

10101

P

2\IT2\

…、c10,10、14

￡(X)=0x—4-1x—+2x—=一

2121217

(III)2019年,2021年.

2x2-a..

(18)解：(I)f'(x)=2x--=------(x>0)A.

Xx

當(dāng)“40時，易知/'(x)>0.

所以/(.V)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,w)，/(X)沒有單調(diào)遞減區(qū)間.

綜上所述，節(jié)〃40時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,xo)：”3>()時，〃x)的單調(diào)遞減

區(qū)間是0,神，單調(diào)遞增區(qū)間是

(II)由(I)知，時，/(x)在區(qū)間(0,400)上單調(diào)遞增，最多有一個零點，不符合

題意.

當(dāng)。>0時，/(.V)要有兩個不相等的零點，則極小值小于°，

即

所以111烏>1,即a>2e

2

易知/(1)=1>0,且而/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,

2

所以/(.V)在區(qū)間m上行一個零點.

令x=a,得f(a)=a'-olnt/=a(a-lna).

令g(c/)=a-lna(a>2c),得g'(a)=I-->1--->0?

a2e

所以g(。)在區(qū)間(2e,??)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)a>2e時,g(a)>g(2e)=2e-ln(2e)=2e-In2-1>0.

所以/(a)>0,且而/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以/(x)在區(qū)間+8上有一個零點.

綜上所述，ae(2c,+oo).

(19)解：(I)5(J*.4)=3.S(.4*8)=l.

(II)對「兩個0-1數(shù)列.4:q嗎,….a,,和8曲也，…也，

記數(shù)列.4*fi:cpc2,---.c?，則對=1,2,…,〃),

若《=1,則此時1ali-4|=1-。，ct=l-|-hk\=bk：

若q=0,則此時|4|=4，G=1-1%|=1一4：

故對于數(shù)列(4*8)*,4：4&，.…d”,考慮〃的值(4=12...,〃)：

若4=1,則4=ck=“：

若&=o,則4=1-cA=1一(1一a)=4.

故(.4*8)*.4叮8是同一數(shù)列.

所以S((4*8)*4)=S(6).

(Ill)若〃是奇數(shù)，則不存在滿足條件的〃項0-1數(shù)列48.C,證明如相

對J'3個〃項0-1數(shù)列48,C,記x,=3-|a,-bt\-\bt-c,|-|c,-at|(/=,

則S(4*8)+S(A*C)+S(B*C)=x,+*2+...+