2022年中考數學壓軸題

1.拋物線y=f+（m+2）x+4的頂點C在x軸正半軸上，直線y=x+2與拋物線交于4B

兩點（點/在點5的左側）.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點尸是拋物線上一點，若S/}B=2S&ABC，求點P的坐標；

（3）將直線Z8上下平移，平移后的直線y=x+/與拋物線交于4,夕兩點（H在9的左

側），當以點4,夕和（2）中第二象限的點尸為頂點的三角形是直角三角形時，求f的值.

(△=(m+2)2-16=0

畔>0

L

解得m=-6.

，拋物線的函數表達式是y=y-4x+4；

（2）如圖1,過點。作CE〃力8交》軸于點區設直線48交y軸于點H.

由直線4氏y=x+2f得點〃（0,2）.

設直線CE：y=x+b.

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V^^x2-4x+4=(x-2)2,

：.C(2,0).

2+6=0,貝！]6=-2.

:.HE=4.

由S&IHB=2S&ABC,

可在y軸上且點//上方取一點F,使E/Z=2〃E,則F(0,10).

過點F作FP//AB交拋物線于點尸1、Pi.此時滿足S△以8=2品《蛇，

設直線尸1、P2的函數解析式為：y=x+k.

VF(0,10)在直線Pi、尸2上，

.,.k—10.

直線尸1、P2的函數解析式為：y=x+10.

聯立gk

解嚙:丁I,

綜上，滿足條件的點P的坐標是Pi(-1,9),P2(6,16)；

(3)設/'(xi，y]),B'(%2，”)，

顯然，NR4,B'W90°.

(i)如圖2,當NHB'P=90°時，過點夕作直線肋V〃y軸，A'M_LMN于A/,PN

_LMV于N.

:直線B'的解析式是y=x+f,

:.乙B'/M=45°.

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進一步可得到△，夕M,XPB'N都是等腰直角三角形.

:?PN=NB',

.?.X2+1=9-歹2，即工2+72=8①

又”=X2+Z，②

X?=4—T-t

聯立①②解得｛:.

32=4+訝t

將點(4-$4+,t)代入二次函數解析式，得4+，t=(4——2)2

解得力=0,f2=10(此時點H與點。重合，舍去)；

②如圖3,當NHPB'=90°時，過點尸作軸，HELEF于E,夕F_LEF于

則EPs^PFB'.

.，ePF

"7F-而

.\+1_及-9

2-力亞+1’

AXIX2+(xi+x2)+1=9(yi^2)-yiy2-81.

令?-4x+4=x+3貝ijX2-5x+4-t=0.

則X\+X2=5,X1X2-4-t.

y\-^-y2—(xi+z)+(%2+f)=xi+x2+2f=5+2f.

y\y2=(xi+f)(JQ+Z)=x\x2+t(xi+、2)+理=於+4什4.

:.(4一，)+5+1=9(5+2f)一(戶+4什4)-81.

整理，得15什50=0.

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解得八=5,f2=10(舍去).

綜上所述，，的值是0或5.

2.已知直線八：y=-x+方與x軸交于點4,直線/2：y=學與x軸交于點5,直線4、

12交于點C,且C點的橫坐標為1.

(1)如圖1，過點”作x軸的垂線，若點尸(x,2)為垂線上的一個點，。是y軸上一

動點,若&cp0=5,求此時點0的坐標；

(2)若尸在過/作x軸的垂線上，點。為y軸上的一個動點，當CP+P0+QN的值最小

時，求此時P的坐標；

(3)如圖2,點E的坐標為(-2,0),將直線/1繞點C旋轉，使旋轉后的直線/3剛好

過點E,過點C作平行于x軸的直線/4,點〃、N分別為直線*/4上的兩個動點，是否

存在點〃、N,使得是以M點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出N點

的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)直線注尸會4一1號A，令尸1,則尸-4,故C(l,-4),

把C(I,-4)代入直線/1：y—-x+b,得：b=-3,則/i為：y—-x-3,所以4(-3,

0),

所以點尸坐標為(-3,2),如圖，設直線4C交V軸于點收，

設心尸…得：色工/7,解得『二23

-1.5x-2.5，即M(0,-2.5).

S^CPQ=(xc-孫)=13c+2.5)X4=5,解得：％=0或-5,

二。的坐標為(0,0)或(0,-5)；

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（2）確定。關于過/垂線的對稱點C'（-7,-4）、4關于y軸的對稱點（3,0）,

連接力'C交過N點的垂線與點P,交y軸于點0,此時，CP+P0+0N的值最小，

將點/'、C點的坐標代入一次函數表達式：y=%'x+b'得：

則直線HC'的表達式為:尸|尸|，

即點P的坐標為（-3,一竽），

（3）將E、C點坐標代入一次函數表達式，同理可得其表達式為：

①當點M在直線/4上方時，設點N（〃，-4）,點M（s,一3—?），點8（4,0）,

過點N、8分別作y軸的平行線交過點M與x軸的平行線分別交于點??、S,

?：NRMN+NRNM=90°,ZRMN+ZSMR=90°,

：.ZSMR^ZRNM,

2MRN=NMSB=90°,MN=MB,

：./\MSB^/\NRM(44S),

：.RN=MS,RM=SB,

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48一.

一亍$-亍+4=4-s(

48，解得：｛s=-4

n=-16'

s_n=__s__

故點N的坐標為(-16,-4),

②當點M在/4下方時，

同理可得：N(-4,-4),

即：點N的坐標為(一竽，-4)或(76,-4).

3.已知：如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點.直線N8：y-mx+Sm(加20)交x

軸負半軸于/,交y軸正半軸于8,直線8C：y^nx+2n(n^O)交x軸負半軸于C,且

ZOAB=2ZOBC.

(1)求"?、n的值;

(2)點0)是x軸上一動點，過P作y軸的平行線，交48于。，交BC于R,設

QR=d,求d與/的函數關系式，并寫出自變量f的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，當點尸在線段0/上，且d=9時，作點。關于y軸的對稱點7,

連接CT,過8作引7_LCT于“，在直線力8上取點過A/作〃。//交直線8c于

點N,若以。、H、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標.

解：(1)直線N8：y=mx+Sm則點/、B的坐標分別為(-8,0),(0,8m),

則2〃=8加，〃=4加，同理可得：點C(-2,0),

找點C關于y軸的對稱點C'(2,0),連接8C',過點C作CH_L8C'于點”，

設NO8C=a,則N8CC'=2a=ZOAB,BC'=V4+64m2,

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在△8CC'中，S^BCC=|CC;XOB^^CHXBC',

即：4X8m=CHXBC'，貝lj

BC'

則sinZCBC'=sin2a=—=,32m

BC'，4+64m2

在△048中，tan/O48=tan2a=陽,貝心=五福’

327n12

故/不=r解得：m-9，則〃=3；

V4+647712V1+7H24

(2)直線/5：y=1r+6,直線8C：y=3x+6,

3

則點。、R的坐標分別為（37+6）,（/,3/+6）,

4

①當點尸在y軸左側時，

d=QR=*+6-3t-6=-%,

②當點尸在y軸右側時,

,9

d=43

(9

~rtft>0

HP：d=C；

—41，tvo

(3)①當點N在點B下方時,

當d=9時，f=4,即點尸（-4,0）,則點。（-4,3）,點T（4,3）,

將點C、7的坐標代入一次函數表達式并解得:

直線C7的表達式為：y=*x+l…①，

BHVCT,則直線表達式中的《為-2,

同理可得直線BH的表達式為：y=-2x+6…②,

聯立①②并解得：點，（2,2）,

過點H作“K_Lx軸，則OK=KH=2,

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3

設點A/、N的坐標分別為(加，—m+6),N(〃，3〃+6),

4

故點M作丁軸的平行線交故點N于x軸的平行線于點G,

。、H、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

則NG=MG=2,

3

即：m-n=2二加-3〃=2,

f4

解得：n=-1,

②當點〃在點8上方時，

7

同理可得：〃=g，

…220

故點N(-,—)；

216220

綜上，點N(-g,—)或(R—

y393

4.如圖，在中，乙＜8=90°,。為Z8邊上的一點，以/。為直徑的。。交5c

于點E,交NC于點R過點C作CGL48交N8于點G,交AE于點、H,過點E的弦EP

交于點。(EP不是直徑)，點0為弦￡尸的中點，連結8P,8P恰好為。。的切線.

(1)求證：8C是。。的切線.

(2)求證：EF=ED.

3_

(3)若sinN/8CF，ZC=15,求四邊形的面積.

(1)證明：連接O￡,OP,

?.7。為直徑，點。為弦EP的中點,

.?.PEJ_48,點。為弦EP的中點，

：.AB垂直平分EP,

:.PB=BE,

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°：OE=OP,OB=OB,

:?△BEOQXBPO(SSS),

:?/BEO=/BPO,

〈BP為OO的切線，

：./BPO=90°,

：.ZBEO=90°,

：?OE工BC,

???8C是。。的切線.

(2)證明：?：NBEO=/ACB=90°,

：.AC//OE,

：.NCAE=NOEA,

u

：OA=OEf

ZEAO=ZAEO9

:./CAE=/EAO,

：.EF=ED.

(3)解：:力。為的OO直徑，點。為弦EP的中點,

：.EPLAB,

\'CG±ABf

:.CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZAEO,

?；OA=OE,

：?/EAQ=NAEO,

:?/CAE=NEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

:?△ACEqAAQE(AAS)f

：.CE=QE,

VZAEC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

AZCEH=/AHG,

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*/ZAHG=ZCHEf

：.ZCHE=ZCEH,

：?CH=CE,

：.CH=EQ9

???四邊形CHQE是平行四邊形，

?:CH=CE,

???四邊形CH0E是菱形，

AG3

VsinZ/4SC-sinZACG~~==，

AC5

??7C=15,

：.AG=9f

：.CG=y/AC2-AG2=12,

4ACE空4AQE,

：.AQ=AC=\5,

???0G=6,

'：HQ2^HG2+QG2,

：.HQ2=(12-HQ)2+62,

1q

解得：HQ*,

15

：.CH=HQ=^-,

1c

四邊形CHQE的面積=C，?G0=竽x6=45.

5.如圖，△48C中，AB=AC,O。是△/8C的外接圓，8。的延長線交邊/C于點D

(1)求證：NBAC=2NABD；

(2)當△8CO是等腰三角形時，求N8CO的大小；

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(3)當40=2,。。=3時，求邊8C的長.

圖1

?；4B=AC,

：.AB=AC,

：.OA1BC,

:?/BA0=/CA0,

???。力=05,

???NABD=NBAO,

：.ZBAC=2ZABD.

(2)解：如圖2中，延長40交8c于〃.

①若BD=CB,則/C=NBDC=NABD+/BAC=3NABD,

,：AB=AC,

：./ABC=/C,

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/./DBC=2/ABD,

VZ￡)BC+ZC+ZBJDC=180°,

???8乙48。=180°,

：.ZC=3ZABD=67.5°.

②若CD=CB,則NC8O=NC08=3NZB。，

：.ZC=4ZABDf

?.?NOBC+NC+NCO8=180°,

，10480=180°,

:?NBCD=4/ABD=T1°.

③若。3=OC,則。與4重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°?

(3)如圖3中，作4E〃8C交8。的延長線于￡;

■=――=設OB=OA=4a,OH=3a,

OHBH3

"：BH2=AB'1-AH2^OB2-OH2,

A25-49a2=16『-9a2,

?,2_25

一患

:.BH=*,

：.BC=2BH=^.

6.已知，如圖：△/8C是等腰直角三角形，N4BC=90：AB=]0,。為△Z8C外一點,

連接49、BD,過。作。垂足為H,交NC于E.

(1)若△?8。是等邊三角形，求3E的長；

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Q

(2)若BD=4B,且tan//?8=?，求￡>E的長.

【解答】解：（1）是等邊三角形，AB=10,

：.ZADB=60°,AD=AB^\O,

"：DHLAB,

；./H=%B=5,

:.DH='AD2-4"2=V102-52=5遍,

：△48C是等腰直角三角形，

：.ZCAB=45°,即/4E7/=45°,

...△/EH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

r3

(2)?:DHLAB,且tanN〃D8=3,

，可設5H=3后,則Q〃=4左，

，根據勾股定理得：DB=5k,

?；BD=4B=10,

,5攵=10解得：k=2,

:?DH=3,BH=6,AH=4,

又?：EH=AH=4,

：?DE=DH-EH=4.

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7.如圖，已知00是△/BC的外接圓，48是的直徑，。