學習目標探索等邊三角形的判定.能運用等邊三角形的判定和性質進行計算和證明.圖形等腰三角形

性質

每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合三個角都相等，對稱軸（3條）等邊三角形對稱軸（1條）兩個底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合且都是60o兩條邊相等三條邊都相等復習回顧類比探究圖形等腰三角形判定

三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形小明認為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？等邊三角形的判定方法：

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識精講根據條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是針對練習例1

如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC,求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.典例解析

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵DE∥BC，

∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.變式1

若點D、E在邊AB、AC的延長線上，且DE∥BC，結論還成立嗎？ADEBC變式練習變式2

若點D、E在邊AB、AC的反向延長線上，且DE∥BC，結論依然成立嗎？

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠B=∠C=60°．

∵DE∥BC，

∴∠B=∠D，∠C=∠E．

∴∠EAD=∠D=∠E．

∴△ADE是等邊三角形．ADEBC變式練習變式3

上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.變式練習例2等邊△ABC中，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結論．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°∴△APQ是等邊三角形．【點睛】判定一個三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個內角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個內角等于60°.典例解析如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形．針對練習如圖，A、O、D三點共線，△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.CBODAE解：∵△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形.∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三點共線，∴∠DOB=∠COA=120°，∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.設OB與EA相交于點F,∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.F能力提升圖①、圖②中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；(2)如圖②，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論．圖①圖②能力提升解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.圖①(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；能力提升(2)△CEF是等邊三角形．證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝