1.2.5空間中的距離選題明細表知識點、方法題號兩點間的距離、點到直線的距離1,2,6,7,8點到面的距離4,9,11線到面、面到面的距離3綜合5,10,12基礎鞏固1.(多選題)已知三點A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),則A,B,C三點不可能的是(ABC)解析:因|AB|=29,|AC|=229,|BC|=29,而|AB|+|BC|=|AC|,則A,B,C三點共線,構不成三角形.故選ABC.2.已知正方體的每條棱都平行于坐標軸,兩個頂點為A(-6,-6,-6),B(8,8,8),且兩點不在正方體的同一個面上,正方體的體對角線長為(A)314425解析:由題意知,正方體的體對角線即為AB,所以AB=(-6-83.兩平行平面α,β分別經過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是(B)A.32 B.2C.32解析:兩平面的一個單位法向量n0=(-22,0,22),故兩平面間的距離d=|OA→·n04.已知平面α的一個法向量為n=(-2,-2,1),點A(x,3,0)在平面α內,若點P(-2,1,4)到平面α的距離為103 解析:PA→=(x+2,2,-4),而d=|PA→即|-2(x5.已知點M(5,4,-3),則M到原點O的距離為,M到y軸的距離為,M到xOy平面的距離為.

解析:點M(5,4,-3)到原點O的距離為OM=52+4因為點M在y軸上的投影為My(0,4,0),所以M到y軸的距離為(5-0因為點M在xOy平面上的投影為M1(5,4,0),所以M到xOy平面的距離為(5答案:523436.(2021·山西懷仁高二期中)已知直線l的一個方向向量為m=(1,2,-1),若點P(-1,1,-1)為直線l外一點,A(4,1,-2)為直線l上一點,則P到直線l的距離為.

解析:因為P(-1,1,-1),A(4,1,-2),所以PA→又m=(1,2,-1),所以cos<m,PA→>=m·PA→|所以sin<m,PA→>=17又因為|PA→|=26所以點P(-1,1,-1)到直線l的距離為|PA→|sin<m,PA→>=26×17.答案:17能力提升7.(2021·江蘇省天一中學高二期中)如圖,ABCDEFGH是棱長為1的正方體,若點P在正方體內部且滿足AP→=34AB→+1A.34 B.45 C.5解析:如圖,以A為坐標原點,AB,AD,AE所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則AB→=(1,0,0),AD→=(0,1,0),因為AP→=34AB→+所以AP→=(34,12,23),|AP→·AB→所以點P到AB的距離為d=|AP→|2-故選C.8.(多選題)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,P是△BDC1內(含邊界)的一個動點,若A1P⊥BC1,則線段A1P的長可能為(ABC)A.433 B.2 D.2解析:如圖,建立空間直角坐標系,設P(a,b,c),A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),A1P→由A1P→故點P在平面A1DCB1與平面DBC1的交線上,A1P長的最小值為PA1垂直平面DBC1時,此時PA1的長度為體對角線的23由體對角線的長度為23,故最短為43根據圖形,最大值P在D或M點處,A1D=22,A1M=4+2=6.即線段A1P長的取值范圍為[433,22又2<433<6<2A1B1C1中,AA11C與平面A1BD的位置關系為;求點B1到平面A1BD的距離為.

解析:連接AB1交A1B于點E,連接DE.可知E為AB1的中點,D是AC的中點,所以DE∥B1C.又DE?平面A1BD,B1C?平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.建立如圖所示的空間直角坐標系,則B1(0,22,3),B(0,22,0),A1(-1,0,3),DB1→=(0,22,3),DB→=(0,22,0),所以n·DB令z=1,則n=(3,0,1).故所求距離為d=|n·D答案:平行310.如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,P是底面ABCD的中心,M是CC1的中點.(1)求點A1到直線MP的距離;(2)求點C到平面A1DB的距離.解:(1)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,連接PA1,則A1(1,0,1),P(12,12,0),M(0,1,12),所以PA1→=(12,-12,1),PM→=所以PA1→·PM→=-14-14+所以點A1到直線MP的距離為線段PA1的長,又因為△A1BD是邊長為2的等邊三角形,P為BD的中點,所以PA1=62即點A1到直線MP的距離為62(2)由(1)得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),所以CB→DB→=(1,1,0),PM→=(-12,12因為PM→·DB→=-12+12=0,所以又由(1)知PA1→⊥PM→,所以PM→=(-12,1所以點C到平面A1DB的距離為d=|CB→·PM→A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,如圖,∠ACB=90°,側棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中點,試問:線段A1B(不包括端點)上是否存在一點E,使得點A1到平面AED的距離為26解:存在.以C為原點,CA,CB,CC1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),所以AA1→假設線段A1B(不包括端點)上存在一點E,使得點A1到平面AED的距離為26設點E到AB的距離為a(0<a<2),則E(a,2-a,a),則AE→設向量n=(x,y,z)為平面AED的法向量,則有AD即-取x=1,則n=(1,2-3a由題意可知,點A1到平面AED的距離d=|AA1解得a=1或a=0(舍去),所以E(1,1,1).所以存在點E,當E為線段A1B的中點時,點A1到平面AED的距離為26應用創新12.如圖,在矩形ABCD中,點E,F分別在線段AB,AD上,AE=EB=AF=23(1)求二面角A′FDC的余弦值;(2)點M,N分別在線段FD,BC上,若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折,使點C與點A′重合,求線段FM的長.解:(1)取線段EF的中點H,連接A′H.因為A′E=A′F,H是EF的中點,所以A′H⊥EF.又因為平面A′EF⊥平面BEF,平面A′EF∩平面BEF=EF,且A′H?平面A′EF,所以A′H⊥平面BEF.如圖,建立空間直角坐標系,則A′(2,2,22),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).故FA'→=(-2,2,22),設n=(x,y,z)為平面A′FD的法向量,所以-取z=2,則n=(0,-2,2).又