2022年天津市區重點中學高考數學模擬試卷（一）

一、單選題（本大題共9小題，共45.0分）

1.設全集U={-2,-1,0,1,2},={-2,-1,2),B={-2,-1,0,1}.則(C")介B=()

A.{-2,-1}B.[0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1}

2.設X6R,則“|x-l|<2”是"2>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.在一次高二數學單元評估中，共有500名同學參加調研測試，經過評估，這500名

學生的得分都在［40,90］之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則得分在［40,60）之

間的學生人數是（

A.150D.300

5.設。=0.6°巴b=log0>60.4,c=log3().4,則Q,b,c的大小關系是()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

A

6.如圖，在直三棱柱ABC-中，AB=^AA1=2百,

△ABC是等邊三角形，點。為該三棱柱外接球的球心，則

三棱柱外接球表面積與四棱錐力廣4AlGC體積之比為是

（）

A5百萬

?3

B2^371

*3

C5^371

,6

D5V57r

*2

7.將函數y=sin（2x+<p）的圖象沿%軸向左平移5個單位后，得到一個偶函數的圖象,

則3的一個可能取值為（）

371Ccnc37r

AA--B.0C.--D.--

8.過拋物線：y2=2Px（p>0）的焦點尸作傾斜角為60。的直線/,若直線I與拋物線在第

一象限的交點為4并且點A也在雙曲線:5—，=l（a>0,b>0）的一條漸近線上,

則雙曲線的離心率為（）

A.叵B.V13C.逋D.V5

33

9,定義：設不等式F（x）<0的解集為M,若M中只有唯一整數，則稱M是最優解.若

關于久的不等式|一一2萬一3|-機芯+2<0有最優解，則實數6的取值范圍是（）

A.（I，;]B.[-|,-2）

727

c.H，一?u修,曰D.嗚b

二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

10.復數器=.

11.在（2/+》6的展開式中，/的系數是

12.已知圓/+丫2+2刀-2丫+。=0截直線；（；+丫+2=0所得弦的長度為6,則實數a

的值為.

13.某志愿者召開春季運動會，為了組建一支朝氣蓬勃、訓練有素的賽會志愿者隊伍,

欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取

第2頁，共17頁

的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是

;若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數，則E(X)=.

14,已知實數a>0,b>0,且滿足ab—a—2b-2=0,則(a+l)(b+2)的最小值為

15.如圖，在△ABC中，AB=a,AC=b，D,尸分別為BC,

AC的中點，P為4D與BF的交點，且荏=2限.若前=

xa+yb<貝反+y=;若4B=3,AC=4,Z.BAC=

p則麗.麗=.

三、解答題(本大題共5小題，共75.0分)

16.在△ABC中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bs譏A=3csinB,a=3,

b=A/6-

(1)求cosB的值；

(2)求sin(2B-$的值.

17.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為直角梯形，

^AD//BC,AD1BA,AD=3,AB=BC=2,PA1.

平面ABC。，且PA=3,點M在棱PD上，點N為BC中

點.

(1)證明：若DM=2MP,直線MN〃平面P4B；

(2)求二面角C-PD—N的正弦值；

(3)是否存在點例，使NM與平面PCD所成角的正弦值為?？若存在求出融；若不

存在，說明理由.

18.已知橢圓C的兩個頂點分別為4(-2,0),8(2,0),焦點在%軸上，離心率為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線y=k(x-l)(/c*0)與％軸交于點P,與橢圓C交于M,N兩點，線段MN的

垂直平分線與x軸交于Q,求翳的取值范圍.

19.已知正項等比數列｛an｝,滿足a2a4=1，%是12%與5a3的等差中項.

(1)求數列｛須｝的通項公式；

(2)設%=(*,_霏…一】)+(―1尸■凡求數列｛g｝的前n項和%?

20.設函數p(x)=e*,q(x)=ax+2,其中Q￡R,e是自然對數的底數.

(1)若直線y=Q%與曲線y=p(x)相切，求實數a的值；

(2)令f(%)=p(x)-q(x).

第4頁，共17頁

①討論函數/（X）的單調性；

②若a=l,k為整數，且當x>0時，合（。）<1恒成立，其中/'（%）為/（X）的導

函數，求k的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：???C(M={O,1}，

(CMnB={0,1}.

故選：B.

進行交集和補集的運算即可.

本題考查了集合的列舉法的定義，交集和補集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基

礎題.

2.【答案】B

【解析】解：根據題意，|x-l|<2,即—2<x—1<2,解可得一l<x<3,不等式

的解集為(一1,3),

對于」7>1，解可得l<x<2,即不等式的解集為(1,2),

X—1

又由(1,2)是(一1,3)的真子集，故"氏一1|<2”是"9>1”必要不充分條件，

X—1

故選：B.

根據題意，求出兩個不等式的解集，由集合與充分必要條件的關系分析可得答案.

本題考查不等式的解法，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查函數的圖象與圖象變換，考查函數奇偶性的應用，是基礎題.

由函數奇偶性的定義判斷函數為偶函數，再求出/(》，則答案可求.

【解答】

解：函數/(%)=xZn巖的定義域為(―1,1),

由f(-x)==x"管=/(%),得/(x)為偶函數，排除A,C；

第6頁，共17頁

又/(；)=：ln—I=~>0,排除D.

N2.1—N

2

故選：B.

4.【答案】B

【解析】解：由頻率分布直方圖概率之和為1可得，10xa=1-(0.035+0.034-0.02+

0.01)x10,解得a=0.005,

得分在［40,60)之間的頻率為(0.005+0.035)X10=0.4,故得分在［40,60)之間的共有

500X0.4=200.

故選：B.

根據頻率分布直方圖概率之和為1可推得，a=0.005,再結合頻率與頻數的關系，即可

求解.

本題主要考查頻率分布直方圖的性質，以及平均數的求解，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：：0<O.605<1,0<a<1,

乂b=logo,6().4>logo60.6=1(

c=log30.4<log3l=0,

c<a<b,

故選：C.

由函數的單調性及特值0,1比較三個數的大小即可.

本題考查了函數的單調性的應用，屬于基礎題.

6.【答案】A

【解析】解：設△4B1G外接圓的圓心為3，連接。OiG，

OCi，

由題意知：OiCi=|xV12^3=2,00i=：44i=l,則球。的

半徑為R=0cl=V5?

從而球。的表面積為4兀產=4兀x(V5)2=20兀，

連接AC],可得以-8&C=匕-B1GC=%1-4QC=-AAjCj>

xxx

,'-%I-A41cle=]匕BC-A181cl=]x5X2痘2遍~2=4V5.

二三棱柱外接球表面積與四棱錐/L4AGC體積之比為是箸=竽兀.

故選:A.

由題意畫出圖形，求出外接球的半徑，考查外接球的表面積，再由等體積法求得四棱錐

力「AAQC的體積，作比得答案.

本題考查多面體外接球表面積與多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考

查運算求解能力，是中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：函數y=sin(2x+0)的圖象沿%軸向左平移荽個單位，

得到f(x)=sin(2x+3+0),

由于函數/(x)為偶函數，

故：+9=k兀+p

整理得：9=/OT+?(keZ),

當k=0時，(P=?

當k=-1時，a=-?.

故選：D.

直接利用三角函數的關系式的平移變換的應用和函數的奇偶性的應用求出結果.

本題考查的知識要點：函數的關系式的平移變換，三角函數的奇偶性，主要考查學生的

運算能力和數學思維能力，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：如圖，

設4。。,%)，則|4尸|=2(沏一9，

第8頁,共人12Px

又|4F|=%)+12(3-柒=%)+今解得&=］，

y0=^\AF\=曰2P=gP，

???4(|p,Hp)在雙曲線：圣一《=l(a>0,b>0)的一條漸近線上，

V3p=?|p,解得：b2=^a2,

由a2+b2=c2,得a2+：a2=c2,即0=Z,...￡=旦.

3a23a3

故選：A.

由題意畫出圖形，把4的坐標用p表示，代入雙曲線的漸近線方程得到a，b的關系，結

合a?+b2=c2求得雙曲線的離心率.

本題考查了拋物線與雙曲線的幾何性質，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思

想方法，是中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：\x2-2x-3|-mx+2<0即為由一2x-3|<mx—2,在同一平面直角

坐標系中，分別作出/(x)=|/-2X-3|,g(x)=mx—2的圖象，如圖所示，

7(2)>5(2)(3>2m-2

當m>0時，要存在唯一的整數的，滿足/(X。)<9(3，則｛/⑶<9(3)，即0<3m-2,

匕(4)>9(4)、5>47n—2

解得|<m<^

"(0)>g(。)

當巾<o時，要存在唯一的整數殉，滿足/(而)<9(沏)，則i)<g(-i)，即

1/(-2)>5(-2)

3>-2

0<—m—2,解得一(<m<.—2；

.5之一2m—2

綜上，實數小的取值范圍為［一：,一2)1)(|冉.

故選：D.

\x2-2x-3|-mx+2<0等價于—2x-3|<mx-2,在同一坐標系中，分別作出

fix')=|x2-2x-3|,g(x)=mx-2的圖象，通過數形結合，分析求解即可.

本題以新定義為載體考查函數圖象的應用，要求考生將新定義問題轉化為函數問題，利

用數形結合思想解決問題，培養數學運算，邏輯推理，直觀想象等核心素養，屬于中檔

題.

10.【答案】2+i

【解析】解：器=巖黯=2+心

故答案為：2+i.

根據已知條件，結合復數的四則運算，即可求解.

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

11.【答案】60

【解析】解：在(2/+》6的展開式中，通項公式為圖+1=口.26々.-8-什，

令18-針=2,求得r=4,可得展開式中/的系數為纏?22=60,

故答案為：60.

先求出二項式展開式的通項公式，再令x的事指數等于2,求得r的值，即可求得展開式

中/的系數.

本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.

12.【答案】一9

22

【解析】解：圓％2+y2+2%-2y+Q=。即(x+I)4-(y—I)=2—a,

故弦心距d=匕芍詈=6

V2

再由弦長公式可得2A/2-a-2=6,a=-9,

第10頁，共17頁

故答案為：—9.

把圓的方程化為標準形式，求出弦心距，再由條件根據弦長公式求得a的值.

本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于基礎

題.

13.【答案】舒

【解析】解：記全是男志愿者為事件4至少有一名男志愿者為事件B,

則PG4B)=P⑷=詈=盤，P(B)=1-*=言

4

故P(4|B)=需=普=卷，即在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽

取的3人中全是男志愿者”的概率是看，

由題意可知，X服從超幾何分布，E(X)=3x言=*

29

「-

7

17

根據已知條件，結合條件概率公式，以及超幾何分布的期望公式，即可求解.

本題主要考查離散型隨機變量期望的求解，考查計算能力，屬于基礎題.

14.【答案】25

【解析】解：因為a>0,b>0,且滿足ab-a-2b-2=0,

所以8=竺|>0,

a—2

所以Q>2,6=1—a-2,

則(a+1)(2?+2)=QZ?+2Q+b+2=3(Q+b)+4=3Q+W+7=3(a—2)+名+

13>2J3(a-2)?若+13=25,

當且僅當3(a-2)=*;，即a=4,b=3時取等號.

a—2

故答案為：25.

由已知得b=詈>0，代入(a+1)3+2)=ab+2a+b+2=3(a+b)+4=3a+

=+7=3(a-2)+三+13,然后結合基本不等式可求.

本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關鍵是基本不等式積為定值的配湊,

屬于基礎題.

15.【答案】——

【解析】解：由題意可知點P為三角形4BC的重心，

因為豆尸=荏一荏=-a+|K,

所以前=|喬=|（一方+之3）=一|五+1反

所以x=_|,y=jJill]%+y=-i；

因為ZB=3,AC=4,^BAC=p

所以五不=|a||K|cos^=3x4xi=6,

又4E=2EB,所以前=而+前=：五+：@—3）=-ia+ifo,

3262

所以前?粉=（一4+"）?（-/+與）=工片+工2—二己方="9+”16—

k33yv627961896

——7x/6=4~,

183

故答案為：

由題意可知點P為三角形4BC的重心，所以而=|麗，然后根據三角形法則化簡即可求

解；由已知可得前=麗+而，根據平面向量基本定理以及向量的數量積的運算性質

即可求解.

本題考查了平面向量基本定理的應用，涉及到三角形的重心的性質，考查了學生的運算

求解能力，屬于基礎題.

16.【答案】解：（1）vbsinA=3csinB,

:.ab=3bc,

CL—3c,

???c=1,

ca2+c2-b29+1-62

???COSB=-------------=-----=-；

2ac2X3X13

2

（2）vcosB=

第12頁，共17頁

???sinB—V1-cos2B—

3

sin2B=2sinBcosB=2x-x—=—,cos2B=2cos2B-l=2x^-l=-i

33999

???sin(2B--)=sin2Bcos--cos2Bsin-——x——-x-=---

、6’66923293

【解析】(1)根據正弦定理可得C=1，再根據余弦定理即可求出;

(2)利用二倍角公式和兩角差的正弦公式即可求出.

本題考查了三角恒等變換和正余弦定理，屬于基礎題.

17.【答案】(1)證明：如圖所示，在線段AD上取一點Q,使連接MQ,NQ,

???DM=2MP,

QM//AP,

又4D=3,AB=BC=2,

:.AQ'^BN，四邊形ABNQ為平行四邊形，

NQ//AB,

又NQDMQ=Q,ABf}AP=A,

所以平面MNQ〃平面PAB,

MNu平面MNQ,

MN〃平面P4B；

(2)解：如圖所示，以點4為坐標原點，以48為%軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角

坐標系，

則B(2,0,0),C(2,2,0),￡>(0,3,0),P(0,0,3),

又N是BC中點，則N(2,l,0),

所以麗=(0,3,一3),CD=(-2,1,0).DN=(2,-2,0).

設平面PCD的法向量%=

則欺?三=3%-3zI=°,令，則％=Q2,2),

(CD-Th=-2/+yi=0

設平面PND的法向量涇2=(x2/y2,z2)f

則”號3y2-3Z2=0],=(1)1,1),

(DN?記=2X2-2y2=0

所以COS伍'1,記2〉=V/l2+22+方22V：l；2+l2+l32二苧9，

則二面角C-PD-N的正弦值為J1_(爭2=,；

(3)解：存在，等=：或霽=1.理由如下：

假設存在點M,設云'二九即PM'=4PD，AG[0,1],

由(2)得。(0,3,0),P(0,0,3),N(2,l,0),且平面PCD的法向量五=(1,2,2),

則而=(0,3，-3)，麗=(0,34,-34)，

則M(0,32,3-32),

MN=(2,1-34,34-3)，

一,__

L12+2(1-3入)+2(3；1-3)._\f2

sinO=|cos〈MN,?ii)|=|X/12+22+22V22+(1-3A)2+(3A-3)2'-T

解得4=：或4=1,

故存在點M,此時霽=，或翳=1.

第14頁，共17頁

【解析】(1)利用面面平行證明線面平行；

(2)利用坐標法求二面角余弦值與正弦值；

(3)設兩=%而，可表示點M與祈N，再根據線面夾角求得；I的值.

本題主要考查線面平行的證明，空間向量的應用，立體幾何中的探索性問題等知識，屬

于中等題.

&=2

18.【答案】解:⑴由題意知■”?，可得a=1,6=2,故橢圓C的方程為9+y2=

<a2=b2+c2

1.

y=k(x—1)

{蘭+y2=i，可得(4k2+1)%2-8憶2%+4-—4=0,

設M(xi，yi)，/V(x2,y2)>則+型=獲不，%=獲三p

yi+y2=kg+%2-2)=

線段MN的中點為(

4k2+1'4k2+i

線段MN的垂直平分線方程為y-京費D

令y=°,得"若'所以Q(若，0),

又P(l,0),貝IJ|PQ|=|1—若|=若，

又|MN|=廳中出一次|=J(1+H)[(就)2_4?套]=4j(k)￡Z+】),

4l(k2+i)(3k2+i)

所以二13k2+1.n~2

|MN|4k￡1^^7=父3一昕，?J々W0,1<3———<3,

\PQ\一

4k2+i

故盟的取值范圍為(4,4b).

【解析】(1)由頂點和離心率直接求a,b,c即可；

(2)先聯立直線和桶圓方程，借助弦長公式表示出弦長|MN|,再求出垂直平分線和Q坐

標，表示出|PQ|,最后分離常數求取值范圍即可.

本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關系，圓錐曲線中的最值與范圍

問題等知識，屬于中等題.

19.【答案】解:(1)正項等比數列｛%｝的公比設為q，q>。，

由a2a4=1，可得。3=1，

是12al與5a3的等差中項，可得2a5=12al+5a3,

即為2q2=￡+5,解得q=2,

n3n

則。?=a3q~—2一%nEN

⑵%=(a…就…+(R?n='；")+㈠尸?n

2n1-1

=(2J)(2"+I)+(T)n,n=m-+(T)"-n>

則S"=(-------4+4-------4+…+--------=一)+[-1+2-34-4-5+6+-+

nk2-l22-122-l23-l2n-l2n+1-JL

當n為偶數時，Sn=l--^-+^

當n為奇數時，Sn=l—G—等.

【解析】(1)運用等比數列的通項公式和等差數列的中項性質，解方程可得公比q,即可

得到所求通項公式；

____