11111熱點七

幾何體與球切、接問題縱觀近幾年高對組體的考查，與相的接與內切問題高命的點之一命小題綜合化傾向尤為明，

要求學生有較的間象能力和準確計能力，才能順解

實教學來，部知識學生掌握為弱認識較為模糊看到就頭疼的題目

析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，

主要是學生沒有形成解題的模式和套路，

以至于遇到類似的題目便產生畏懼心理

.面結合近幾年高考題對球與幾何體的切接問題作深入的探究

便更好地把握高考命題的趨勢和高考的命題思路題、填空題為主，大題很少見.

爭在這部分內容不失分

近幾年全國高考命題來看

部內容以擇首先明確定義

1若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面

體是這個球的接面，這個球是這個多面體的外接球。定義：若個多面體的各面都與一個球的球面相切，面體的內切球.1球與柱體的切接

則稱這個多面體是這個球的外切多面體，

這個球是這個規則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態進行結合，通過球的半徑和棱柱的棱產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題

.1.1

球與正方體如圖所示，正方體

A11D1

，設正方體的棱長為a

，

F,H的點，為球的球心見組合方式有三類：

一是球為正方體的內切球，截面圖為正方形

EFGH

和其內切圓，則

OJr

a

方22體各棱相切的球，截面圖為正方形

EFGH

和其外接圓，則

a

；三是球為正方體的外接球，截面2圖為長方形

C

和其外接圓，則

AOR

3a

通過這三種類型可以發現，解決正方體與球的組合問題，2常用工具是截面圖，即根據組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問題轉化為平面問題

.（）正方體的內切球，如圖

1.位置關系：正方體的六個面都與一個球都相切，正方體中心與球心重合；數據關系：設正方體的棱長為

a

，球的半徑為這時有

2r

a

.（）正方體的外接球，如圖

2.位置關系：正方體的八個頂點在同一個球面上；正方體中心與球心重合；數據關系：設正方體的棱長為

a

，球的半徑為

r

，這時有

3a

.（）正方體的棱切球，如圖

3.位關系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；

數據關系：設正方體的棱長為

a

，球的半徑為

r

，這時有

2a.例1【屆福建省三明市接球的表面積為（）

A片區高中聯盟校高三上學期期末】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外A.

4

B.

8

C.

10

D.

12【答案】D【針對練習】==如圖，虛線小方格是邊長為為

1正方形，粗實虛線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體外接球的表面積A．π

B．π

C．π

D．π答案及解析：1.B幾何體的直觀圖如圖所示為三棱錐，三棱錐，所以外接球的直徑為，則半徑

中，

，所以外接球表積,

故選

B.1.2

球與長方體例

自半徑為

R

的球面上一點

M

，引球的三條兩直弦

MA,MB,MC

，求

MA

2

2

MC

2

的值．【答案】

2

.【解析】以MB,MC為從一個頂點出發的三條棱，將三棱錐

M

ABC

補成一個長方，另四個頂點必在球面上，故長方體是球的內接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑．

2

2

22

2

．例3【屆二輪復習專題】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．

若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB＝，AC＝，三棱錐

P-ABC的四個頂點都在球

O的球面上，則球

O的表面積為

(

)A.8πC.20π

B.12πD.24π【答案】C【針對練習】已知邊長為

的等邊三角形ABC，為BC中點，以

AD為折痕，將△

ABC折成直二面角，則過A，CD點的球的表面積為A.2π

B.3π

C.4π

D.5π答案及解析：1.D折后的圖形可放到一個長方體中，體對角線長為

5

，

故其外接球的半徑為

5

，其表面積為25

選D.2

球與錐體的切接規則的錐體，正面、正棱錐、特的些錐等能夠和球行分組，以外接內兩

種形態進行結合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題2.1正四面體與球的切接問題

.（1正四面體的內切球，如圖合；

系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重數據關系：設正四面體的棱長為

a，高h；球的半徑為

R

，這時有

h

6

a

；（可以利用體積橋證3明）（2正四面體的外接球，如圖位置關系：正四面體的四個頂點都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合；數據關系：設正四面體棱長為

a

，高為

；球的半徑為

R

6a

四

減去內切球的半得）（）四面體的棱切球，如圖

6.位置關系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；數據關系：設正四面體的棱長為

a

，高為h

；球的半徑為

R

，這時有

h

6

a.3例4【屆廣西防城港市高三

1月模擬】面均為等邊三角形的四面體

ABCD

的外接球的表面積為

，過棱

作球的截面，則截面面積的最小值為

__________．【答案】2【解析】將四面體放回一個正方體中

正四面體的棱都是正方體的面對角線

么正四面體和正方體的外接球是同一個球是面圓的直徑時

面面積最小

.因外接球的表面積為

3

球的直徑為

3

正方體的體對角線為

3

長為面對角線為

2

面圓面積最小值為

2222

.點評：與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖.【針對練習】設，，C，D是一個半徑為4的球的球面上四，△體積的最大值為（）

ABC為等邊三角形且其面積為

9，則三棱錐D-ABCA.

543

B.

243C.183D.3答案及解析：1.C在四面體ABCD

中，

ADDBACCB1

，則四面體體積最大時，它的外接球半徑

R=

．答案及解析：2.6如圖，取中點，連接，DE，設AB=2x（＜1），則CE=DE=

，∴當平面ABC⊥平面ABD時，四面體體積最大，為

V===

．V′=

，當

∈（，）時，

V為增函數，當

∈（

，1）時，V

為減函數，則當

x=

時，V

有最大值．設△ABD的外心為

G，△ABC的外心為

H分別過

、作平面ABD、平面

ABC的垂線交于

O則O為四面體ABCD的外接球的球心．在△ABD中，有sin

，則

cos

，

=

．設△ABD的外接圓的半徑為

，則，即DG=r=

．又DE=

，∴OG=HE=GE=

．∴它的外接球半徑

R=OD=

．2.2其它棱錐與球的切接問題球與正棱錐的合常的有兩類，一球三錐的外接球，時棱的個頂點在面，據面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解

是球為正棱錐的內切球，

例如正三棱錐的內切球，

球與正三棱錐個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑

R

．這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積

.球與一些特殊棱進組合，一定要住錐幾何性質，可合用面、補形法進求

如四個面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置

.例5【南省長市長郡中學CABD為折成二面角

2017屆高三摸底】已知邊長為23的形ABCDABCD，則四面體的接的面積為（的四面體

中，

）

，沿對角線

BDA．

25

B．

26

C．

27

D．

28【答案】

DAAOB

E

DC

2

G

E

例6江西省新余市第一中學

2017屆三上學期調研考試（一）

】某幾何體的視和視圖如圖（

1所示,

它的府視圖的直圖

A'B2所示,其中

A'

3

該何體的接的面積為．11112112【答案】3【解析】由斜二測畫法易知，

該幾何體的俯視圖是一個邊長為

4的等邊三角形合正視圖和側視圖可知，

該幾何體是如下圖所示的高為

4的棱錐

DABC，將其補形為三棱柱

ABC-EDF,設球心為

O，

EDF

的中心為

O

1

，則OE

2

43

所以該幾何體的外接球的半徑

ROEOO

2

OE

2

2

2

)2

28

,3

3

1

1

3

3其表面積為

S4R

2

.3FO

1E

DOCAB例7屆山西省太原十二中高三上學期

1月在四棱錐

PABCD

中，

PC

底面

ABCD

，底面為正方形，//，

，記四棱錐

P

ABCD

的外接球與三錐

B

的外接球的表面積分別為

SS

，則

S

2

15

S

1【答案】7【解析】設正方形的邊長為

a

，設

O2為的中點，因為

PC

平面

ABCD

，而CD,CB平ABCD

，所以，又，故，又，故4CBAQ/

CB，CD

CBC

，故AQ

平面

AC

平面

ABCD

，所以AQ

，故

為直角三角形

CQ

為斜邊，所以

2

2

AQ

2

．同理

也為直角三角，合

，所以

3a3

，又

CB

A

，所以

CB平面

AQB

，

平面

，所以

QB

，

為直角三角形所

2

2

，O三棱B

外接球的球心且徑

R

1QC11a22223

21a6

．同理設

O

1

為AP

的中點，則

為四棱錐

P

外接球的球心且徑

R

1122

2

2

552115a，以:27

．填

7

．點睛：球的半的算關鍵在球心位的定三棱錐

B

中

,

均為直角三角形，因此外接球的球心就

的中點，因它到四個頂點的距離是等．

同理四棱錐

P

外接球的球心是

的中點．【針對練習】

已知在三棱錐

P-ABC

中，

PAPB

BC1

，

AB

2

，

AB

BC

PABABC，平面⊥平面，若三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（

）A．

32

B．

3

C．

D．

2答案及解析：1.B題分析：如下圖所示，設球心為O，則可知球心O在面的投影在

ABC

外心，即中點E處，取AB2222222中點

F，連PF，EF，OE，，由題意得，

PF

面

ABC

，∴在四邊形

POEF中，設OEh

，∴半徑r(h2)(1)

r

2

(3)

h，r

3

，即球心即為AC中點，∴表面積

S

4r

3

，22

2

2故選B.在四面體S﹣中SA⊥面，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面為

π

π

πA．π．

C．

D．3

3

3答案及解析：2.D∴BC=

∵

，，°，∴三角形ABC的外接圓半徑為

，2r=

，r=

，∵SA平面

ABC，，由于三角形OSA為等腰三角形，

O是外接球的球心．則有該三棱錐的外接球的半徑

R=

，∴該三棱錐的外接球的表面積為D.選

2S=4

．在四面體ABCD

與△

均是邊長為

4的邊角，二角A-CD-B

的大小為

ABCD外接球的表面為

）208

52

64

52A

9

B

9

C

3

D

3答案及解析：3.A根據題意得到個型兩個全等的三形二角大小為，CD的中點記為

O，結OB，OA，22222222意需要找到外球球，選擇

OA

的離

O點近的3等分店記為E，理OB

上一點記為

F自這兩點分別做兩個面的垂線交點

P，點P就球。三角形

POE

中，角

POE

為三十度，OE=A.故答案為：已知在三棱錐

A

-BCD中

6

，

2

3

，底面

BCD為等邊三角形，且平

ABD⊥平面BCD，三棱錐A

-BCD外球的面為．答案及解析：π取的中點，連接AE，CE，取CE的三等分點為

面，使得CO=2，則O等邊△BCD的中心平面

ABD⊥平面BCD，且平面

ABD∩平面BCD=BD，CE⊥，以平面

⊥平面ABD由于AB+AD=BD，所以△ABD為直角三角形，且E為△ABD的外心，所以OA=OB=OD.又OB=OC=OD的半徑三棱錐A-BCD外接球的表面積為

，所以O三棱錐A-BCD外接球的球心，且球.3

球與球相切問題對于球與球的相切組合成復雜的幾何體問題，要根據豐富的空間想象力，通過準確確定各個小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉化平面問題求解

.例8已知有半徑分別為2、3的各兩個，且這四個球彼此相外切，現有一個球與此四個球都相外切，則此球的半徑為.6【答案】【解析】如圖：設四個球的球心分別為

A、、、，則AD=AC=BD=BC=5

，AB=6，CD=4.設AB中點為、CD中點為，連結在△ABF中求得BF=

，在△中求得23由于對稱性可得第五個球的球心

O在EF，連結

OA設第五個球的半徑為OA=r+3，OD=r+2，于是OE=

2rr

，OF=

2r2=r∵OE+OF=EF∴

r

+6r+r+4r=23r2+6r=23r2+4r

平方整理再平方得111111112112

2

r解得r=6或6（舍掉），故答案為6

.D55

F4OC5A

5E

6B例把四個半徑都是1球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離．26【答案】

2

3

.【針對練習】1球1和O2在棱長為1正方體ABCD-A

1

BCD的內部，且互相外切，若球

O與過點

A

的正方體的三個面相切，球

O與過點C的正方體的三個面相切，則球

O和O的表面積之和的最小值為

()()A．32-

()B．2-

()C.32+3p

()D．42+3p答案及解析：1.A4球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過112構造直角三角形進行轉換和求解

如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：

r

a

.例10把一個皮球放入如圖

10所示的由

4根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內，使皮球的表面與8根絲都有接觸點，則皮球的半徑為（

）A．3cmB．10cmC．cmD．【答案】【解析】如圖所示，由題意球心在

AP上，球心為

，過O作BP的垂線

ON垂足為

ON=R

，OM=R

，因為各個棱都為

20，所以

AM=10，BP=20,BM=10，AB=102設

BPA

，在

Rt

BPM中，

222

在

PAM中

22

2

以BPBMPM

3

.

Rt

,

PMAM

AP2

RtABP中,

2

2

，在

Rt

ONP中

R

以

2

R

2，所以OP

OAM

中,

2

2

2

以，

2R

2

2

得，R或（舍），

R

故選4

球與旋轉體切接問題首先畫出球及其它旋轉體的公共軸截面，然后尋找幾何體與幾何體幾何元素之間的關系．例求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．【答案】

V∶球

柱

V

錐

6∶9【解析】如圖，等邊

SAB

為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形

C

1

，截球面得球的大圓圓

O

1

．13321332設球的半徑

1

R

，則它的外切圓柱的高為

2R

，底面半徑為R；

OO30

，

3

，4∴

V

球

R3V柱R22RV1(3R3R33

，∴

V

球

VV柱

錐

．例12在棱長為1的正方體內有兩個球相外切且又分別與正方體內切．為多少時，兩球體積之和最小．【答案】

（求兩球半徑之和；（球的半徑【解析】如圖，球心

O

1和O2

在上，過O1，O2分別作

的垂線交于

．則由

1,3得AO

1

CO3R

．rRR)3

，

Rr

333

．312【反思提升】綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，將問題轉化成平面幾何問題，應用三角形中的邊角關系，建立與球半徑

r,聯系，將球的體積之和用

r

或R

表示果外切的是多面，則作截面主抓多體過球心對面作把一個多面的個點放在球面上即為球的接題解決這類問題關是住內接的特點即心多體的頂點距等球半徑．發揮好空間想象，助數形結合進行化問即可得解．如是些殊幾何體，正體正面體等可以借助結論直接求解

時結論的記憶必須準確

考往往與視相合，題目的難不，復習中切忌好高騖遠，應重視各種題型的備考演練，重視高考信息的搜集，不斷充實題目的類型，升華解題的境界

.【針對練習】已知四棱錐S—ABCD，⊥平面ABCD⊥∠DAB，

BC

2

3

6

，二面角

S——A的小為

π3

個頂該球A．

42

B．π

C．π

D答案及解析：10.C已知三棱柱

11C1的側棱垂直于底面點都在同一球面上該棱柱的體積為的體積等于()

9

A.

3

B.

2

C.

3

D.

3答案及解析：19.B3.在四面體

ABCD中，AD⊥底面

，

，BC=2，E為棱BC的中點，點G在AE上且滿足AG=2GE，若四面體

ABCD

的外接球的表面積為

2449

，則

tanAGD

（）A．

1

B．

2

C．

2

D．22答案及解析：3.D

2設△

的外心為

O，則點O在AE

上，設

則

.設四面體

ABCD

的外接球半徑

R，

.因為所以

.故選D.《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，其中有很多對幾何體外接球的研究，如下圖，網格紙上小正方形的邊長為

1粗線畫出的是某幾何體的三視圖，

則該幾何體的外接球的體積是（）A．π

B．π

C.56

Dπ答案及解析：4.D由三視圖可得，該幾何體是一個如圖所示的四棱錐，其中

是邊長為4的方形，平面

平面．設為

的中點，為正方形

的中心，

為四棱錐外接球的球心，

為

外接圓的圓心，則球心

為過點且與平面

垂直的直線與過

且與平面

垂直的直線的交點．由于

為鈍角三角形，故

在

的外部，從而球心

與點P在平面

的兩側．由題意得

，設球半徑為

，則

,即

，解得

，∴∴

，．選D．正三棱柱的頂點都在同一個球面上，若球的半徑為（）

4，該棱的面積最大值為（A）

3

（B）

3

（C）

172831

（）

7答案及解析：5.A設正三棱柱高為

h底面正三角形邊長為

a則三棱柱側面面積為，因為

，所以因此三棱柱側面面積最大值為，選A四棱錐P

-243ABCD

的底面為正方形，⊥面，AB=2，若四棱的有點都在體積為

16

的同一球面上，則（）7

9（A）

（B）

（C）

23

（D）22答案及解析：6.B試題分析：連結

交于點，取

的中點，連結

，則，所以

底面，則到棱的所有頂點的距離相等，即

為球心，半徑為

所以球的體積為

，解得，故選．某棱錐的三視圖如下圖所示

該棱錐的外接球的表面積為（）A．π

B．π

C.13

D．14π答案及解析：7.A由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐

ABCD

，外接球球心

O在過CD中點E且垂直于平面

BCD的直線，又點

O

到

D

距離相等，∴點O又在線段

AD

的垂直平分面

上，故

O是直線面

的交點，可知是線直

MN

的交點（

M,分別是左側正方體對棱的中點）∴

OENE3，ODOE

2

DE

2

BD

2

，2故三棱錐

A

BCD

外接球的半徑

R

11

，表面積為

S1122下圖是某四棱錐的三視圖，網格紙上小正方形的邊長為

1則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A．

5141B42

C.

D．π答案及解析：8.C根據三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐

O﹣ABCD

，正方體的棱長為

2A，為棱的中點.其中根據幾何體可判：心應該在過

AD

的平行于底面中面，設球心到截面

BCO

的距離為

，則到AD

的距離為：

4﹣R=x+（

），=2+（﹣），解得出：，該多面體外接球的表面積為：故選：C．

24=

，三棱錐P-ABC中，底面ABC滿足

BABC

，

，點在底面ABC的影為AC的中點，且該19

2三棱錐的體積為

，當其外接球的表面積小時，

P到面的距離

.6答案及解析：9.

3

67.在三棱錐P-ABC中，

,

ACBC,BC1

,

PA

3

該棱錐的接的面積為答案及解析：π68.在四面體ABCD

中，若AB=CD=

3

，AC=BD=2，

5

，則四面體ABCD的外接球的表面積為

__________．答案及解析：68.6π69.已知三棱錐

A,

均為等邊三角形，二面角

A-BC-D

的平面角為

°則三棱外接球的表面積是

.81.表面積為

40

的球面上有四

S

，

A

，B

，C

，且

△SAB

為等邊三角形，球

到平面SAB

的距離

2，平心

為面SAB

平面ABC，則三棱錐S

的體積的最大為

．答案及解析：81.66過作OF⊥平面F為△的中心F作⊥于E點E為SA中點°取AB中點連結則∠ASD=30，設球O半為

解得

.連結OS,則.過OOM⊥平面

ABC，則當

，M，D點共線時，

C平面

SAB的距離最大，即三棱錐

S-ABC

體積最大.連結OC，∵平面

SAB⊥平面ABC，∴四邊形OMDF是矩形，∴三棱錐S-ABC

體積

.點睛：求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側面作為底面，另一條側棱作為高來求體積．與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖，83.已知三棱錐

ABCD中，AB

ADBD22

，當三棱錐

A

BCD

的體積最大時，其外接球的體積為答案及解析：83.

．1256當

平面

時，三棱錐的積大由于，三棱錐

，則的外接球就是以

為直角三角形，為棱的長方體外球長方體的對角線等于外接球的直徑，設外接球的半徑為，則，解得，球體的體積為，故答案為

.87.在三棱錐

PABC中，ABBCAC3

,PACPAB,PA2,PA與平面

ABC所成角的余弦值為

3

，則三棱3錐P-外接球的表面積為．答案及解析：87.12π89.在幾何體

PABC

中，

PAB

是正三角形，平面

PAB

平面

ABC，且ABBC2，ABBC

，則

P

ABC的外接球的表面積等于．答案及解析：89.28π3的球的球由題意，取AB,PB的中點，連接，且，則點M為正三角形PAB的中點，，易證PE平面ABC，取AC中點D，連接，作OD∥PE，OM∥ED，接OA，則OA為外接球的半徑，又，

，則，所以外接球的表面積為，從而問題可得解

.91.已知一個四面

ABCD

的每個頂點都表積

9O

的表面積，且

AB

CD

a

AD

5

，則

a

．答案及解析：91.

2298.矩形ABCD

中，AB4

，BC

，PA

平面ABCD

，PA2

，E

，F

分別是

AB

，DC

的中點，則四棱錐

PEBCF的外接球表面積為．答案及解析：98.

4499.某藝術品公司欲生產一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內接圓錐組成，圓錐的側面用于藝術裝飾，如圖了便于設計，可將該品看成是由圓

O及其內接等腰三角形

ABC繞底邊BC上的高所在直線

AO旋23322332轉180°而成，如圖已知圓

O的半徑為10cm，設

BAO,0

2

，圓錐的側面積為

.的