學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE10學必求其心得，業必貴于專精專題08數列及其應用1．已知等比數列{an｝的公比為－eq\f(1,2），則eq\f（a1＋a3＋a5,a2＋a4＋a6)的值是(）A．－2 B．－eq\f（1，2）C。eq\f（1，2) D．2【答案】A【解析】由題意可知eq\f(a1＋a3＋a5，a2＋a4＋a6）＝eq\f（a1＋a3＋a5,－\f（1,2）a1＋a3＋a5）＝－2.2．已知數列{an｝是等差數列，且a7－2a4＝6，a3＝2，則公差dA．2eq\r(2） B．4C．8 D．16【答案】B【解析】法一:由題意得a3＝2，a7－2a4＝a3＋4d－2（a3＋d)＝6，解得d法二:在公差為d的等差數列｛an}中，am＝an＋(m－n)d(m，n∈N＊)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a7－2a4＝a1＋6d－2a1＋3d＝6,，a3＝a1＋2d＝2，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝－6，，d＝4.））3．已知等比數列{an}的公比為q,其前n項和為Sn，若S3，S9，S6成等差數列,則q3等于（)A．－eq\f（1，2） B．1C．－eq\f（1，2）或1 D．－1或eq\f(1，2)4．已知數列｛an}，{bn}滿足a1＝b1＝3，an＋1－an＝eq\f（bn＋1,bn)＝3，n∈N*.若數列｛cn}滿足cn＝ban，則c2016＝(）A．92015 B．272015C．92016 D．272016【答案】D【解析】由已知條件知{an｝是首項為3，公差為3的等差數列．數列{bn｝是首項為3，公比為3的等比數列,∴an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n,∴c2016＝33×2016＝272016，故選D。5．設Sn，Tn分別是等差數列｛an}，｛bn}的前n項和，若eq\f（Sn,Tn）＝eq\f（n,2n＋1)(n∈N＊),則eq\f(a5,b6)＝（)A。eq\f（5，13） B．eq\f(9,19）C。eq\f（11，23) D。eq\f（9，23）【答案】D【解析】根據等差數列的前n項和公式及eq\f(Sn，Tn）＝eq\f(n，2n＋1）(n∈N*），可設Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1）,又當n≥2時,an＝Sn－Sn－1＝k（2n－1），bn＝Tn－Tn－1＝k(4n－1),所以eq\f(a5，b6）＝eq\f(9,23)，故選D。6．已知等差數列｛an}的前n項和為Sn，且S2＝10，S5＝55，則過點P(n，an）和Q(n＋2，an＋2）(n∈N*)的直線的斜率是(）A．4 B．3C．2 D．1【答案】A【解析】設等差數列｛an}的公差為d，因為S2＝2a1＋d＝10,S5＝eq\f(5，2）(a1＋a5)＝5(a1＋2d)＝55,所以d＝4，所以kPQ＝eq\f（an＋2－an，n＋2－n）＝eq\f(2d，2)＝d＝4,故選A。7．已知數列｛an}滿足log3an＋1＝log3an＋1（n∈N＊），且a2＋a4＋a6＝9,則logeq\f（1，3）（a5＋a7＋a9)的值是(）A．－5 B．－eq\f（1,5）C．5 D.eq\f(1，5)8．如圖4。1所示的數陣中，每行、每列的三個數均成等差數列,如果數陣中所有數之和等于63,那么a52＝()eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a41a42a43,a51a52a53,a61a62a63)）圖4。1A．2 B．8C．7 D．4【答案】C【解析】第一行三數成等差數列，由等差中項的性質有a41＋a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差數列,所以對于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×9．設數列{an｝滿足:a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1）an－1＋(n＋1）an＋1，則a20的值是（)A。eq\f(21,5） B．eq\f（22,5）C.eq\f（23,5） D。eq\f（24，5）【答案】D【解析】由2nan＝（n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－（n－1）an－1＝(n＋1）an＋1－nan，又因為1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5,所以數列｛nan｝為首項為1，公差為5的等差數列，則20a20＝1＋19×5,解得a20＝eq\f（24，5)，故選D.10．已知數列｛an}的前n項和為Sn,若Sn＝2an－4（n∈N*），則an＝()A．2n＋1 B．2nC．2n－1 D．2n－211．數列{an}滿足a1＝1，且當n≥2時，an＝eq\f（n－1，n）an－1,則a5＝（）A.eq\f(1，5) B．eq\f(1,6)C．5 D．6【答案】A【解析】因為a1＝1,且當n≥2時,an＝eq\f(n－1,n)an－1，則eq\f（an，an－1)＝eq\f（n－1,n），所以a5＝eq\f(a5，a4）·eq\f(a4，a3)·eq\f(a3，a2)·eq\f（a2,a1)·a1，即a5＝eq\f(4，5）×eq\f（3,4）×eq\f(2，3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1，5）.故選A.12.eq\f（1,22－1）＋eq\f(1，32－1）＋eq\f（1,42－1）＋…＋eq\f(1,n＋12－1)的值為(）A.eq\f(n＋1,2n＋2） B。eq\f（3,4）－eq\f(n＋1，2n＋2）C.eq\f(3,4)－eq\f（1,2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，n＋1)＋\f（1,n＋2)）) D.eq\f（3,2)－eq\f(1，n＋1)＋eq\f（1,n＋2）【答案】C【解析】∵eq\f（1,n＋12－1）＝eq\f(1,n2＋2n）＝eq\f(1，nn＋2）＝eq\f(1，2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,n）－\f（1，n＋2)))，∴eq\f(1,22－1)＋eq\f（1,32－1）＋eq\f（1,42－1）＋…＋eq\f（1,n＋12－1)＝eq\f(1，2）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f（1,4)＋\f（1，3）－\f(1,5)＋…＋\f(1，n）－\f（1，n＋2)））＝eq\f（1，2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3,2)－\f（1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f（3,4)－eq\f(1，2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,n＋1)＋\f（1,n＋2））)。13．在等差數列｛an}中，a1＝－2012，其前n項和為Sn，若eq\f(S2012,2012）－eq\f（S10,10）＝2002,則S2014的值等于(）A．2011 B．－2012C．2014 D．－2013【答案】C【解析】等差數列中，Sn＝na1＋eq\f（nn－1,2）d，eq\f（Sn，n）＝a1＋(n－1)eq\f（d，2)，即數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f(Sn,n）))是首項為a1＝－2012,公差為eq\f（d,2)的等差數列．因為eq\f（S2012，2012)－eq\f(S10，10)＝2002,所以（2012－10)eq\f（d,2)＝2002，eq\f（d,2)＝1，所以S2014＝2014［(－2012)＋（2014－1）×1]＝2014,選C。14．數列｛an｝滿足a1＝1，且對任意的m，n∈N＊都有am＋n＝am＋an＋mn，則eq\f(1，a1）＋eq\f(1，a2）＋eq\f（1,a3)＋…＋eq\f（1，a2014)等于()A.eq\f（4028,2015) B．eq\f(4024,2013）C。eq\f（4018,2012) D.eq\f（2010,2011)15．已知函數y＝loga(x－1）＋3(a〉0，a≠1)所過定點的橫、縱坐標分別是等差數列{an}的第二項與第三項，若bn＝eq\f（1，anan＋1)，數列｛bn}的前n項和為Tn，則T10等于（）A。eq\f(9,11) B。eq\f（10，11）C.eq\f（8,11) D.eq\f(12，11）【答案】B【解析】y＝loga(x－1)＋3恒過定點（2,3），即a2＝2，a3＝3，又｛an}為等差數列，∴an＝n，∴bn＝eq\f（1，nn＋1)，∴T10＝1－eq\f（1,11)＝eq\f（10，11），故選B。16．已知數列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則｜a1｜＋|a2|＋｜a3|＋…＋｜a30|等于()A．445 B．765C．1080 D．310517．設數列｛an｝的前n項和為Sn,且a1＝1，{Sn＋nan｝為常數列，則an＝（)A。eq\f(1,3n－1） B．eq\f(2,nn＋1）C.eq\f(6，n＋1n＋2） D.eq\f（5－2n,3）【答案】B【解析】由題意知,Sn＋nan＝2，當n≥2時，(n＋1)an＝（n－1)an－1，從而eq\f(a2,a1）·eq\f(a3，a2）·eq\f（a4，a3）·…·eq\f(an，an－1）＝eq\f(1,3）·eq\f(2，4)·…·eq\f(n－1，n＋1)，有an＝eq\f(2，nn＋1)，當n＝1時上式成立，所以an＝eq\f(2,nn＋1).故選B.18．中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難,次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．"其意思為:有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了（)A．192里 B．96里C．48里 D．24里【答案】B【解析】由題意，知每天所走路程形成以a1為首項，公比為eq\f(1，2)的等比數列，則eq\f（a1\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,26））),1－\f(1，2）)＝378，解得a1＝192，則a2＝96，即第二天走了96里．故選B.19．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N＊)，則S2016＝__________。【答案】3×21008－3【解析】∵數列{an｝滿足a1＝1，an＋1·an＝2n①，∴n＝1時，a2＝2，n≥2時,an·an－1＝2n－1②，∵①÷②得eq\f（an＋1,an－1）＝2,∴數列{an｝的奇數項、偶數項分別成等比數列，∴S2016＝eq\f(1－21008,1－2)＋eq\f（2×1－21008,1－2）＝3×21008－3。20．設數列{an}的前n項和為Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1,n∈N＊,則a1＝__________，S5＝__________。【答案】112121．在公差為d的等差數列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a(1)求d，an；(2）若d＜0，求｜a1|＋｜a2｜＋｜a3|＋…＋|an|.解：（1)由題意得5a3·a1＝（2a2＋2）2，即d2－3d－4＝0。故d＝－1或所以an＝－n＋11，n∈N＊或an＝4n＋6，n∈N＊。（2)設數列{an｝的前n項和為Sn。因為d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，則當n≤11時，|a1｜＋|a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an|＝Sn＝－eq\f(1，2）n2＋eq\f(21，2）n。當n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an｜＝a1＋a2＋…＋a11－a12－a13－…－a11＝－（a1＋a2＋…＋an)＋2（a1＋a2＋…＋a11＋an)＝－Sn＋2S11＝eq\f（1,2)n2－eq\f(21，2）n＋110。綜上所述，｜a1|＋｜a2|＋|a3｜＋…＋|an｜＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2）n2＋\f(21，2)n，n≤11，,\f（1,2）n2－\f(21,2）n＋110,n≥12。））22．設數列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1,且a1，a2＋1，a3成等差數列．(1）求數列｛an｝的通項公式；(2)設數列eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(1，an）））的前n項和為Tn，求Tn.23．已知數列{an｝是等比數列,其前n項和是Sn，且Sn＝t·3n－2t＋1(n∈N*)．(1）求數列｛an}的通項公式;（2)設bn＝logeq\f(1,3)eq\f(1,1＋Sn）（n∈N＊），求數列{anbn｝的前n項和Tn.解：(1）當n＝1時,a1＝S1＝t·3－2t＋1＝t＋1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝t·3n－t·3n－1＝2t·3n－1。∵數列｛an}是等比數列，∴eq\f（an，an－1）＝eq\f（2t·3n－1,2t·3n－2)＝3(n≥2)，∴eq\f（a2,a1)＝eq\f（2t·3，t＋1)＝3,∴t＝1，a1＝2,∴an＝2·3n－1(n∈N*）．（2)由（1)知，Sn＝3n－1，∴1＋Sn＝3n，∴eq\f（1,1＋Sn)＝eq\f(1，3n）,bn＝logeq\f(1，3）eq\f（1，1＋Sn）＝n，∴anbn＝2n×3n－1,Tn＝2＋4×3＋6×32＋…＋2n×3n－1,①3Tn＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2n×3n，②①－②得，－2Tn＝2＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－2n×3n＝2＋2×eq\f（31－3n－1,1－3）－2n×3n,∴Tn＝eq\f(1,2）＋eq\f(2n－13n，2）。24．等差數列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn＝2eq\s\up10（an－2）＋n,求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．25．已知正項數列{an｝的前n項和Sn滿足：4Sn＝（an－1)(an＋3)(n∈N＊）．（1）求an；(2)若bn＝2n·an,求數列{bn｝的前n項和Tn.解：（1）∵4Sn＝（an－1）（an＋3)＝aeq\o\al（2,n）＋2an－3，∴當n≥2時，4Sn－1＝aeq\o\al(2,n－1)＋2an－1－3，兩式相減得，4an＝aeq\o\al(2，n)－aeq\o\al(2