22高二數(shù)學(xué)橢圓的定、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)知識(shí)精講文新人教實(shí)驗(yàn)B版選修11【本講教育信息一教內(nèi)容：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)二本學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程能據(jù)條件利用待定系數(shù)法求橢圓的方程握?qǐng)A的幾何性質(zhì)。了解橢圓的參數(shù)方程，能根據(jù)方程討論曲線的性質(zhì)，了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用，掌握直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法正確熟練地解決直線和橢圓的位置關(guān)系的一些問(wèn)題。三知點(diǎn)精析（一）橢圓的定義、第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)為F的離的和等于常數(shù)（大于2

FF1

）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。特別地，當(dāng)常數(shù)等于

FF1

時(shí)，軌跡是線段F，當(dāng)常數(shù)小于2

FF1

時(shí)，無(wú)軌跡。、第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離和到定直線l的距離之比等于常數(shù)e(0﹤﹤的點(diǎn)的軌跡，叫做橢圓，定點(diǎn)叫圓的焦點(diǎn)，定直線l叫橢圓的準(zhǔn)線e叫橢圓的離心率。橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線。該定義中的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線具有“對(duì)應(yīng)性對(duì)應(yīng)左準(zhǔn)線，右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)右準(zhǔn)線。（二）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的標(biāo)準(zhǔn)位置的橢圓方程。中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

軸上標(biāo)準(zhǔn)方程

220)ab

22a0)a2參數(shù)方程

xaysin

(

為參數(shù))

xcosysin

為參數(shù))圖頂

形點(diǎn)

AA(aBB(0,)2

AA(bBBa)21

002002對(duì)稱軸

軸y軸短軸為2b，長(zhǎng)軸為焦

點(diǎn)

F(,0),F(1

FFc)1焦

距

FF|c(0)1

c

2

a

2

2離心率

e

ca

(0

（離心率越大，橢圓越扁）準(zhǔn)通

線徑

a222ba

（

為焦準(zhǔn)距）

a2焦半徑焦點(diǎn)弦焦準(zhǔn)距

|PF|PFa(x)A僅與它的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)ap

|ey|0a()A僅與它的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)有關(guān)說(shuō)明方程中的兩個(gè)參數(shù)與確定橢圓的形狀和大小橢的定型條件點(diǎn)F，F(xiàn)的置，是橢圓的定位條件，它決定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，常數(shù)，b，c都于零，其2中最且a+c、橢圓焦點(diǎn)三角形：設(shè)P為圓

ya2

上任意一點(diǎn)FF為焦點(diǎn)且F＝212

，則eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)為點(diǎn)三角形，S＝btan2

2

。、方程

Ax

2By

表示橢圓的充要條件是：ABC0，且A，B同，≠B。A＞時(shí)焦點(diǎn)在y軸，A＜B，焦點(diǎn)在x軸。、弦長(zhǎng)公式xx分別為弦PQ的坐標(biāo)，弦PQ所直線方程為y=kx+b，代入橢圓方程整理得Ax，PQ＝1分別為弦的坐標(biāo)，則PQ＝k

xy，1

，若y，y22

000000000000、直線與橢圓的位置關(guān)系：設(shè)直線l的程為：Ax+By+C=0，橢圓﹥0成方程組，消去或利判別eq\o\ac(△,式)的符號(hào)來(lái)確定。則線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，若則線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)，若若eq\o\ac(△,)則線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)。

y2a2b

（﹥、斜率為k的的中點(diǎn)軌跡方程：設(shè)弦的點(diǎn)為，y)Q(x，y)，中點(diǎn)為M12（x，把P，Q的坐標(biāo)代入橢圓方程后作差相減用中點(diǎn)公式和斜率公可得00kya

（橢圓內(nèi)不含端點(diǎn)的線段）、設(shè)P（x，）是橢圓0xy00a2

y2a2b

（﹥﹥0）一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)的切線方程是：P和圓

y2b﹥系圓a2b

220a2b2

，（2xy橢圓上0

y2x22＝x在橢圓內(nèi)a2b2ab

<1橢

y2（﹥b﹥0按a2

a

（xy平移得00

00ab2

它的中心、對(duì)稱軸、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程都按a＝x，y）了應(yīng)的平移00［考點(diǎn)指要］在歷年的高考數(shù)學(xué)試題中，有關(guān)圓錐曲線的試題所占的比重約占試卷的15%左右，且題型，數(shù)量，難度保持相對(duì)穩(wěn)定：選擇題和填空題2道題，解答題1道選擇題和填空題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程何性質(zhì)等解題往往是以橢圓雙曲線或拋物線為載體的有一定難度的綜合題，問(wèn)題涉及函數(shù)，方程，不等式，三角函數(shù)，平面向量等諸多方面的知識(shí)，并蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)考生的數(shù)學(xué)學(xué)科能力及思維能力的考查要求較高幾解答題注意了控制運(yùn)算量加思維容量邏輯思維，數(shù)學(xué)思維的考查容量有所增加，運(yùn)算能力的考查略有下降。主要考查：圓錐曲線的概念和性質(zhì)；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；求曲線的方程；與圓錐曲線有關(guān)的定值問(wèn)題，最值問(wèn)題，對(duì)稱問(wèn)題，范圍問(wèn)題等。曲線的應(yīng)用問(wèn)題，探索問(wèn)題以及圓錐曲線與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的交匯問(wèn)題也將是高考命題的熱點(diǎn)。【典型題】例1.求列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3

22（1橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為

，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的。分：目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置．解①當(dāng)

為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，，

橢的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

4

；②當(dāng)

為短軸端點(diǎn)時(shí)，，

，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

2y2416

；說(shuō)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．選角：據(jù)圓上的點(diǎn)和長(zhǎng)短軸之間的關(guān)系求標(biāo)準(zhǔn)方程查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和思考問(wèn)題的全面性；（2已知中心在原點(diǎn)焦在

軸上的橢圓與直線

交于、

兩點(diǎn)，為

中點(diǎn)，

的斜率為0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2解由題意，設(shè)橢圓方程為

a

22

2

由，，x

M

xx12，2

，，∴，∴

為所求．說(shuō)）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法直與曲線的綜合問(wèn)題，經(jīng)常借用根與系數(shù)的關(guān)系，來(lái)解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題．選角：據(jù)橢圓的幾何特征求橢圓的方程例2.已點(diǎn)P(3，是橢圓若PF，求:1（1橢圓的方程（2eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)的面積1

y2a2b

（﹥﹥0上的一點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為F，F(xiàn)，4

2222解1）解一令

F1

2

。PFPF1

，

PF

PF

，即

443

，解得

，

橢圓方程為

2a2

，

點(diǎn)

916a2

，解得

a

2

45

或

a

2

又

a

，a

舍去，故所求橢圓方程為

y245

。解二PF1OPF2

，F(xiàn)2

為直角三角形，又

3

，

，

橢圓方程為

a

22

a

2

25

（以下同解法一）（2）法：由焦半徑公式：PFa51PFa2

5353

5

，，S

PFF

12

12

5

。解二點(diǎn)坐標(biāo)的值即為

FF2

邊上的高，S

F

1FF2022

。解法三：由橢圓定義知：

PFPF12

①又

PF

F

②5

2PF80①②得，11F2反：確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即確定b值由于

a

2

2

2

故需求出、b、中任意兩個(gè)量即可本例中利

PFPF

的條件或使用斜率或借助平面幾何知識(shí)均可求出

。對(duì)于求

F

的面積，解法一使用了焦半徑公式，解法二利用了第一定義和勾股定理以解法都說(shuō)明處理解析幾何問(wèn)題時(shí)可以用代數(shù)的方法求值運(yùn)算又可以利用某些幾何性質(zhì)。例3.橢C：

y2a2b

（﹥﹥0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為，F(xiàn)，點(diǎn)P在圓上且⊥，F(xiàn)=1

4，︱F︱=3（1求橢圓C的方程。（2）若直線l過(guò)x+y－的圓心M交橢圓于A，B兩，且AB關(guān)點(diǎn)M稱，求直線l的程.解：法（1因?yàn)辄c(diǎn)在圓C上，所以

2aPF1

，

3

。b

2

在

F中F12224。

PF

2

2

，故橢圓的半焦距5，從而所以橢圓C方程為

y294

。（2設(shè)A，B的標(biāo)分別為

y1

已知圓的方程為

以心M的標(biāo)為

而設(shè)直線

l的方程為

k

，代入橢圓的程得42x22

kk0

。因?yàn)锳B關(guān)點(diǎn)M對(duì)，所以

18k2k12

，解得

k

89

，所以直線l

的方程為

89

，即

8250

。解二）同解法一。6

2222ll822222222ll82222（2已知圓的方程為

，所以圓心M的標(biāo)為

，設(shè)B的坐標(biāo)分別為

y1

x

且y119

，

①y229由①－②得

。

②1

2

19

2

y1

2

14

2

。③因?yàn)锳B關(guān)點(diǎn)M對(duì)稱，所以

y212

。代入③得

11

，8即直線的斜率為，所以直線的程為99

，即

825

。反：（1利用橢圓的定義求

a

以及已知的條件求

從而求出橢圓方程。（2解法一：利用解析幾何的基本思想——用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，先求出圓心坐標(biāo)從而求出的。解法二：利用點(diǎn)差法求出

1

的值，從而求出直線l方程?！灸M題（答題時(shí)間：45分鐘）一、選擇題（本大題共6小，每小題5，共30分若程

xy表焦在軸上的橢，則的取值范圍為（）m（，25

（

，）C.（，）（

，xy已橢圓上點(diǎn)M到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的離為2N是MF的點(diǎn)O9為橢圓中心，那么線段ON的是（）B.C.設(shè)M是圓

xy上點(diǎn)為焦點(diǎn)，則（

）7

．．

3

C.D.已為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)P為圓上一點(diǎn)，并且，則該橢圓的離心率應(yīng)為（）B.C.D.以圓右焦點(diǎn)為圓心作一個(gè)圓，使此圓過(guò)橢圓中心，并交橢圓于點(diǎn)、，直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）

3

C.

已是橢圓，過(guò)的弦與組成等腰，其中，則該橢圓的離心率的值為（）yA

OF

xB

6

C.

3

6二、填空題（本題共小題，每小題5分共20）已，且三，|AB|，成差數(shù)列，則頂點(diǎn)C軌跡方程是_。已知是圓上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，且，則的面積_。若橢圓的焦距為，__________10.橢的個(gè)焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B則的外接圓的方程為_(kāi)__________。三、解答題（本大題共4題共分）11.過(guò)橢圓

y24

的左焦點(diǎn)

作直線

l

交橢圓于

P

、

，

F

為右焦點(diǎn)。求：

22

的最值12.已橢的一個(gè)焦點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率滿足，成等比數(shù)列。（1求橢圓的方程。（2問(wèn)是否存在直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)M且線段恰直線平分？若存在，求出的傾角的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。13.求上任一點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線所在直線在軸上的截距之積為定14.能在圓上位于軸左側(cè)的部分找到一點(diǎn)M使得點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為點(diǎn)M到焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)，若找到的話，請(qǐng)求出M的坐標(biāo)，若找不到請(qǐng)說(shuō)出理由。8

2222222222【試題案】BBB提示：故A提：中B提示：設(shè)則的周長(zhǎng)為由解設(shè)解：依已知，得P在橢圓上，由定義可PF|2a1為t1PF|11

2(||PFF|1212

2代數(shù)，|1解PF|321

2

F

12

1|PF|3219

12．．．．12．．．．解：若10.解橢的標(biāo)準(zhǔn)方程為顯然原點(diǎn)O到F、F、B的離均為111.解：直l：

xy0sin

為參數(shù)P

、

為

l

與橢圓的交點(diǎn)∴

(4

)

2

(sin3

)

2

∴

t2

64

t

t

4

PF)(