專題05冪指對函數(shù)性質(zhì)活用一．命題陷阱描述指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)兩個重要的根本函數(shù)，初學(xué)者往往不能深刻理解指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的有關(guān)概念、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.關(guān)于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的試題在命制時，主要有概念類、分類討論、轉(zhuǎn)化不等價、隱含條件、迷惑性等幾類陷阱.其中：1.概念類陷阱，包括指數(shù)的運算性質(zhì)找不到化簡方向、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)討論，指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的定義中對底數(shù)的限制及對數(shù)對真數(shù)的限制；〔1〕指數(shù)冪的運算.注意幾個運算公式的使用.〔2〕指數(shù)函數(shù)底數(shù)討論.當(dāng)時函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)是增函數(shù).〔3〕指數(shù)函數(shù)定義.函數(shù)必須嚴(yán)格具備形式的函數(shù)是指數(shù)函數(shù).〔4〕對數(shù)的底數(shù)和真數(shù),它們都必須大于0，底數(shù)還要不等于1.2.隱含條件陷阱，對含有的式子，隱含著.3.迷惑性陷阱，含有邏輯聯(lián)結(jié)詞.把任意和存在轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題或方程的有解問題.4.分類討論陷阱，含參數(shù)對數(shù)函數(shù)的定義域值域為全體實數(shù)問題.在處理式要對參數(shù)進(jìn)行討論要做到不重不漏.5.等價轉(zhuǎn)化陷阱，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合問題.6.定義域為R與值域為R及特定定義域陷阱7.冪指對函數(shù)中的倒序求和二．陷阱類型1.冪指對運算〔運算馬虎陷阱〕例1.【答案】〔1〕-6；〔2〕.【解析】(1〕原式;〔2〕原式.【防陷阱措施】主要問題是記清公式，不要隨意創(chuàng)造公式練習(xí)1．設(shè)，，以下命題匯總正確的選項是〔〕A.假設(shè)，那么B.假設(shè)，那么C.假設(shè)，那么D.假設(shè)，那么【答案】B練習(xí)2．假設(shè)，且，那么的值〔〕A.B.C.D.不是常數(shù)【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴，應(yīng)選C.練習(xí)3．求值：〔1〕；〔2〕【答案】〔1〕〔2〕1【解析】〔1〕原式，〔2〕原式練習(xí)4．化簡以下代數(shù)式并求值：⑴；⑵.【答案】〔1〕〔2〕練習(xí)5．計算：〔1〕；〔2〕【答案】(1)100；(2)-1.【解析】(1)原式＝(2).練習(xí)6．計算：〔1〕；〔2〕.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕。〔2〕練習(xí)7．化簡求值：〔1〕；〔2〕.【答案】〔1〕;〔2〕-1.【解析】〔1〕原式；〔2〕原式.練習(xí)8．計算：〔1〕；〔2〕，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕.試題解析：〔1〕原式=〔2〕由可得：原式=2.利用性質(zhì)比擬大小〔性質(zhì)混淆陷阱〕例2．設(shè)，，，那么〔〕A.B.C.D.【答案】A【防陷阱措施】此題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及比擬大小問題，屬于難題.解答比擬大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間〔一般是看三個區(qū)間〕；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比擬多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.練習(xí)1．，那么的大小關(guān)系為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，又∵指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)∴∵∴應(yīng)選A練習(xí)2．假設(shè)，那么〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】∵＞20=1，0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，＜log21=0，∴a＞b＞c．應(yīng)選A．練習(xí)3．，，，那么A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意可得：，那么：.此題選擇D選項.練習(xí)4．假設(shè)，那么〔〕A.B.C.D.【答案】D應(yīng)選D.練習(xí)5．，，，，那么〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，所以，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，應(yīng)選D.練習(xí)6．，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B練習(xí)7．，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】∵又∵，，∴，，∴應(yīng)選B練習(xí)8．以下式子中，成立的是〔〕A.B.C.D.【答案】D應(yīng)選D．練習(xí)9．三個數(shù)，，之間的大小關(guān)系是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】：∵0＜a=0.22＜1，b=＜0，c=20.2＞1，∴b＜a＜c．應(yīng)選B．練習(xí)10．假設(shè)，那么以下結(jié)論正確的選項是〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】∵，∴。應(yīng)選C。練習(xí)11，那么〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以，應(yīng)選A。練習(xí)12．那么〔〕A.BC.D【答案】A【解析】，又∴應(yīng)選：A練習(xí)13．假設(shè)，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B練習(xí)14．，，，那么的大小關(guān)系是〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】因為，，，所以，應(yīng)選A.3.三個函數(shù)的概念及定義域陷阱例3．己知函數(shù)在上是減函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】∵,∴函數(shù)為減函數(shù)，要使函數(shù)在上是減函數(shù)，需滿足，解得。∴實數(shù)的取值范圍是。選B。【防陷阱措施】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減〞的性質(zhì)，解答此題時要注意題目的隱含條件，即且，并由此得到函數(shù)為減函數(shù)，進(jìn)一步可得。同時還應(yīng)注意定義域的限制，對數(shù)的真數(shù)要滿足大于零的條件，這一點在解題中很容易無視。練習(xí)1.冪函數(shù)在為增函數(shù)，那么的值為〔〕A.1或3B.3C.2D.【答案】D練習(xí)2．假設(shè)函數(shù)為冪函數(shù)，且當(dāng)時，是增函數(shù)，那么函數(shù)〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】∵函數(shù)為冪函數(shù)，∴，即解得.當(dāng)時，，在是減函數(shù)，不合題意。當(dāng)時，，在是增函數(shù)，符合題意。所以。選D。練習(xí)3．函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，且，滿足，假設(shè)，且，，那么的值〔〕A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.【答案】A【解析】∵函數(shù)f〔x〕=〔m2-m-1〕x4m+3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈〔0，+∞〕，且x1≠x2，滿足，∵a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0．∴f〔a〕+f〔b〕=a11+b11＞0．應(yīng)選A．練習(xí)4．是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，那么實數(shù)〔〕A.2B.-1C.4D.【答案】A練習(xí)5．函數(shù)的定義域為，那么實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，且即且，又那么實數(shù)的取值范圍是應(yīng)選練習(xí)6．函數(shù)的圖象如下圖，那么滿足的關(guān)系是〔〕A.B.C.D.【答案】A練習(xí)7．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】設(shè)，由，得，函數(shù)在上遞減，在遞增，單調(diào)減區(qū)間是，應(yīng)選B.4.與不等式的綜合例4.是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)，都有，那么的值為〔〕A.B.C.1D.0【答案】A【解析】因為函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)，都有，所以恒成立，且，即，解得，所以，所以，應(yīng)選C.【防陷阱措施】：此題主要考查了函數(shù)解析式的求法和函數(shù)值的求解問題，其中解答中涉及到函數(shù)的恒成立問題的計算，函數(shù)解析式的應(yīng)用等知識點的綜合考查，解答中熟記實數(shù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算時是解答的關(guān)鍵，著重考查學(xué)生的運算、求解能力，試題比擬根底，屬于根底題.練習(xí)1.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，那么的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】D應(yīng)選D練習(xí)2.函數(shù)〔且〕的圖象恒過定點，假設(shè)點在直線上，其中均大于0，那么的最小值為__________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象恒過定點A(-3,-1),那么,即..練習(xí)3是任意實數(shù)，那么關(guān)于的不等式的解集為________．【答案】【解析】∵∴解得：，所以不等式的解集為.練習(xí)4．設(shè)函數(shù)，那么滿足的x的取值范圍是________.【答案】，解得當(dāng)時，，解得綜上，的取值范圍是故答案為5.冪指對的性質(zhì)的應(yīng)用例5.假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，那么實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【防陷阱措施】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)那么：假設(shè)兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，那么它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；假設(shè)兩個簡單函數(shù)單調(diào)性相反，那么它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，即“同增異減〞.練習(xí)1.定義在上的奇函數(shù)滿足，又，且當(dāng)時，恒成立，那么函數(shù)的零點的個數(shù)為〔〕A.2B.3C.4D.【答案】B【解析】定義在奇函數(shù)滿足：，當(dāng)時，恒成立，在時函數(shù)是減函數(shù)，因為是奇函數(shù)，所以也是奇函數(shù)，時，函數(shù)也是減函數(shù)，畫出函數(shù)與的草圖，如圖，由圖可知與的圖象有三個交點，所以函數(shù)的零點的個數(shù)為，應(yīng)選B.練習(xí)2.函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有成立，那么實數(shù)的取值范圍為A.(0,1)B.C.D.【答案】D【解析】由條件知，分段函數(shù)在R上單調(diào)遞減，那么所以有，所以有，應(yīng)選D練習(xí)3．函數(shù)，假設(shè)，且，那么〔〕A.B.C.D.隨值變化【答案】A【解析】不妨設(shè)，那么令，那么或；故故應(yīng)選A．練習(xí)4.設(shè)曲線(∈N*)在(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為，那么的值為().A.B.－1C.D.1【答案】B練習(xí)5．設(shè)，假設(shè)，，那么的大小關(guān)系為()A.B.C.D.【答案】A【解析】，那么,所以0>ln>ln>ln,所以,又，lnb<0,所以即應(yīng)選A練習(xí)6.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.〔Ⅰ〕求函數(shù)的定義域；〔Ⅱ〕求實數(shù)的值；〔Ⅲ〕假設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的零點,試求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔Ⅰ〕.〔Ⅱ〕.〔Ⅲ〕．【解析】〔Ⅰ〕由計算得出，所以函數(shù)的定義域為.〔Ⅱ〕根據(jù)題意，可以知道為偶函數(shù)，所以，即，即，即在上恒成立，所以.點睛：此題以對數(shù)型函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性和定義域，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點定理，屬于中檔題；要使對數(shù)函數(shù)有意義需滿足真數(shù)局部大于0，函數(shù)為偶函數(shù)可得在恒成立，當(dāng)開口向上的二次函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有兩個零點時，只需滿足端點處函數(shù)值大于0，對稱軸在區(qū)間之內(nèi)即可.練習(xí)7．函數(shù)的圖象過點。〔1〕求的值并求函數(shù)的值域；〔2〕假設(shè)關(guān)于的方程有實根，求實數(shù)的取值范圍；〔3〕假設(shè)函數(shù)，，那么是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的最大值為0？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，請說明理由。【答案】〔1〕，值域為〔2〕〔3〕〔2〕因為關(guān)于的方程有實根，即方程有實根即函數(shù)與函數(shù)有交點，令，那么函數(shù)的圖象與直線有交點又…5分任取，那么，所以，所以所以所以在R上是減函數(shù)。〔或由復(fù)合函數(shù)判斷為單調(diào)遞減〕因為，所以所以實數(shù)的取值范圍是〔3〕由題意知，令，那么當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以〔舍去〕綜上，存在使得函數(shù)的最大值為0練習(xí)8.函數(shù)，實數(shù)且，滿足，那么的取值范圍是_________．【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象〔如下圖〕，∵，且，∴，且,∴,∵,∴，∴。故所求范圍為。答案：點睛：此題借助于函數(shù)的圖象進(jìn)行解題，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，解題時要注意畫圖時要準(zhǔn)確，另外利用圖形時要注意觀察圖象的特征，由此得到函數(shù)的性質(zhì)，如在此題中由圖象的對稱性得到的，等，都成了解題的關(guān)鍵。6.定義域為R與值域為R及特定定義域陷阱例6.⑴假設(shè)，求函數(shù)的定義域；⑵當(dāng)時，函數(shù)有意義，求實數(shù)的取值范圍.【答案】〔1〕〔2〕【解析】(1)當(dāng)那么要解得即所以的定義域為所以【防陷阱措施】：恒成立的問題常用方法：〔1〕根據(jù)參變別離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；〔2〕假設(shè)就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，假設(shè)恒成立；〔3〕假設(shè)恒成立，可轉(zhuǎn)化為〔最值需同時取到〕.練習(xí)1.函數(shù)的值域為，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】令，那么的值域必須包含區(qū)間當(dāng)時，那么當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，不符合題意；當(dāng)時，，解得，即實數(shù)的取值范圍是故答案選練習(xí)1．，設(shè)成立；成立.如果“〞為真，“〞為假，求實數(shù)的取值范圍.【答案】練習(xí)2假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，那么實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減那么在上單調(diào)遞增，且恒為正，由的圖象開口向下，且以直線為對稱軸那么解得故答案為練習(xí)3.練習(xí)假設(shè)函數(shù)的定義域是R,那么的取值范圍是.【答案】7.冪指對函數(shù)中的倒序求和例7.假設(shè)，那么=〔〕A.1000B.600C.550D.【答案】D【解析】所以.應(yīng)選D.【防陷阱措施】注意這種題型利用對稱性，找到常數(shù)，倒序求和練習(xí)1.設(shè)函數(shù).〔1〕解方程：；〔2〕令，求的值.〔3〕假設(shè)是實數(shù)集上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】〔1〕2〔2〕1008〔3〕【解析】〔1〕.〔2〕.因為所以〔3〕因為是實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以.，在實數(shù)集上單調(diào)遞增.由得，，又因為是實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，,又因為在實數(shù)集上單調(diào)遞增，所以,即對任意的都成立，即對任意的都成立，.練習(xí)．設(shè)函數(shù)且，假設(shè)，那么的值等于_______________.【答案】三．高考真題演練1.【2023北京，理5】函數(shù)，那么 〔A〕是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) 〔B〕是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) 〔C〕是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 〔D〕是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】試題分析：，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)，是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，應(yīng)選A.2.【2023北京，理8】根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.那么以下各數(shù)中與最接近的是〔參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48〕〔A〕1033〔B〕1053〔C〕1073〔D〕1093【答案】D【解析】試題分析：設(shè)，兩邊取對數(shù)，，所以，即最接近，應(yīng)選D.3.【2023課標(biāo)3理數(shù)】，，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】試題分析：因為，，所以，應(yīng)選A．4.【2023高考山東，理10】設(shè)函數(shù)那么滿足的取值范圍是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C5.【2023高考新課標(biāo)2，理5】設(shè)函數(shù),()A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】由得，又，所以，故，應(yīng)選C．6.【2023高考天津，理7】定義在上的函數(shù)〔為實數(shù)〕為偶函數(shù)，記，那么的大小關(guān)系為()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以所以，應(yīng)選C.7.【2023天津，理6】奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.假設(shè)，，，那么a，b，c的大小關(guān)系為〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】【解析】因為是奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，所以在時，，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，，又，那么，所以即，，所以，應(yīng)選C．8.【2023高考浙江，理10】函數(shù)，