專題十六三角恒等變換考點(diǎn)35三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值考場(chǎng)高招1化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的規(guī)律1.解讀高招規(guī)律解讀典例指引一角一看“角〞,這是最重要的一環(huán),通過(guò)角之間的差異與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理地拆分,從而正確使用公式典例導(dǎo)引1(3)二名二看“函數(shù)名稱〞,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見(jiàn)的有“弦切互化〞典例導(dǎo)引1(2)三結(jié)構(gòu)三看“結(jié)構(gòu)特征〞,分析結(jié)構(gòu)特征,找到變形的方向,常見(jiàn)的有“遇到分式要通分〞,“遇根式化被開(kāi)方式為完全平方式〞等典例導(dǎo)引1(1)溫馨提醒(1)常用技巧:弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪,“1”的代換等.(2)根式的化簡(jiǎn)常常需要升冪去根號(hào),在化簡(jiǎn)過(guò)程中注意角的范圍,以確定三角函數(shù)值的正負(fù)2.典例指引1(1)(2023廣東汕頭模擬)設(shè)α,β∈,且tanα-tanβ=,那么()A.3α+β=B.2α+β=C.3α-β=D.2α-β=(2)(2023山西臨汾一中等五校三聯(lián))假設(shè)tanα-,α∈,那么sin的值為.

(3)設(shè)α∈,假設(shè)cos,那么sin=.因?yàn)棣?β∈,所以α-β=-α,即2α-β=,應(yīng)選D.(2)∵tanα-,α∈,∴,∴=-.∵<α<,∴<2α<π,故cos2α=-,sin2α=,∴sin=sin2α×+cos2α×.(3)∵α∈,∴α+.又cos,∴sin,那么cos2=1-2sin2,sin2=2sincos.于是sin=sin=sin=sin2cos2.【答案】(1)D(2)(3)3.親臨考場(chǎng)1.(2023課標(biāo)Ⅱ,理9)假設(shè)cos,那么sin2α=()A. B. C.- D.-【答案】D方法一:cos=2cos2-1=2×-1=-,且cos=cos=sin2α,應(yīng)選D.方法二:由cos,得cosα+sinα=,即(cosα+sinα)=,兩邊平方得(cos2α+sin2α+2cosαsinα)=,整理得2sinαcosα=-,即sin2α=-,應(yīng)選D.2.(2023課標(biāo)Ⅰ,理2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.- B. C.- D.【答案】Dsin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=.考場(chǎng)高招2三角函數(shù)求值的類型及方法1.解讀高招類型解讀典例指引給角求值解決給角求值問(wèn)題的關(guān)鍵是兩種變換:一是角的變換,注意各角之間是否具有和差關(guān)系、互補(bǔ)(余)關(guān)系、倍半關(guān)系,從而選擇相應(yīng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消,從而轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù);二是結(jié)構(gòu)變換,在熟悉各種公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、符號(hào)特征的根底上,結(jié)合所求式子的特點(diǎn)合理地進(jìn)行變形典例導(dǎo)引2(1)給值求值給值求值的關(guān)鍵是找出式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)式的差異,一般可以適當(dāng)變換式,求得另外某些函數(shù)式的值,以備應(yīng)用.同時(shí)也要注意變換待求式,便于將式求得的函數(shù)值代入,從而到達(dá)解題的目的典例導(dǎo)引2(2)2.典例指引2(1)4cos50°-tan40°=()A. B. C. D.2-1(2)(2023湖北荊州一檢)假設(shè)sin,那么cos=()A. B. C.- D.-(3)α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,那么2α-β的值是()A.- B. C.- D.(2)cos=cos2=cos2=cos=-cos2=-=-.(3)因?yàn)閠anα=tan[(α-β)+β]=,所以α∈,tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1.又由tanβ=->-,知β∈,所以α-β∈,從而有2α-β∈,所以2α-β=-,應(yīng)選C.【答案】(1)C(2)D(3)C3.親臨考場(chǎng)1.(2023四川,理11)cos2-sin2=.【答案】【解析】由三角函數(shù)二倍角公式得,cos2-sin2=cos.2.(2023四川,理13)設(shè)sin2α=-sinα,α∈,那么tan2α的值是.

【答案】考點(diǎn)36與三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值相關(guān)的綜合問(wèn)題考場(chǎng)高招3與三角恒等變換相關(guān)題型的解決策略1.解讀高招題型考查內(nèi)容解讀典例指引三角恒等變換與三角函數(shù)的性質(zhì)先利用三角恒等變換將三角函數(shù)式化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再求其周期、單調(diào)性、最值等(1)三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題,先化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再求解.要注意在進(jìn)行此步驟之前,如果函數(shù)解析式中出現(xiàn)α及其二倍角、半角或函數(shù)值的平方,應(yīng)根據(jù)變換的難易程度去化簡(jiǎn),要用到二倍角公式、升冪或降冪公式,把解析式統(tǒng)一化成關(guān)于同一個(gè)角的三角函數(shù)式典例導(dǎo)引3(3)(2)要正確理解三角函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的根本思想即可求f(x)=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性、最值與周期三角恒等變換與解三角形三角恒等變換與正弦定理、余弦定理相結(jié)合,綜合考查三角形中的邊與角、三角形形狀的判斷等根據(jù)所給條件解三角形時(shí),主要有兩種途徑:(1)利用正弦定理把邊的關(guān)系化成角,因?yàn)槿齻€(gè)角之和等于π,所以可以先根據(jù)此關(guān)系把未知量減少,再用三角恒等變換化簡(jiǎn)求解(2)利用正弦、余弦定理把邊的關(guān)系化成角的關(guān)系再用三角恒等變換化簡(jiǎn)求解典例導(dǎo)引3(2)三角恒等變換與平面向量三角恒等變換與平面向量坐標(biāo)運(yùn)算相結(jié)合,考查平面向量中平行、垂直等坐標(biāo)運(yùn)算,三角化簡(jiǎn)求值、三角函數(shù)的性質(zhì)等這類題目首先通過(guò)平面向量平行或垂直的坐標(biāo)計(jì)算進(jìn)行過(guò)渡,把向量形式化為坐標(biāo)運(yùn)算后,接下來(lái)的運(yùn)算仍然是三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形等知識(shí)的運(yùn)算典例導(dǎo)引3(1)2.典例指引3(1)(2023四川涼山一診)設(shè)向量a=(cosx,-sinx),b=,且a=tb,t≠0,那么sin2x的值等于()A.1 B.-1 (2)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿足csinA=acosC,那么sinA+sinB的最大值是()A.1 B. C. D.3(3)(2023河北冀州中學(xué)檢測(cè))函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx+sinsin.假設(shè)x=x0為f(x)的一個(gè)零點(diǎn),那么cos2x0=.

(2)∵csinA=acosC,∴sinCsinA=sinAcosC,即sinC=cosC,∴tanC=,C=,A=-B,∴sinA+sinB=sin+sinB=sin.∵0<B<,∴<B+,∴當(dāng)B+,即B=時(shí),sinA+sinB的最大值為,應(yīng)選C.(3)∵f(x)=sin2x+2sinxcosx+sinsin=sin2x+sin2x+(sinx+cosx)(sinx-cosx)=sin2x-cos2x=sin2x-cos2x+=2sin,∴f(x0)=2sin=0,∴sin=-.∵0≤x0≤,-≤2x0-,∴-≤2x0-<0,∴cos,cos2x0=cos【答案】(1)C(2)C(3)3.親臨考場(chǎng)1.(2023課標(biāo)Ⅰ,理8)設(shè)α∈,β∈,且tanα=,那么()A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=【答案】C由,得,∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ.∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosα.∴sin(α-β)=cosα,∴sin(α-β)=sin.∵α∈,β∈,∴-<α-β<,0<-α<,∴α-β=-α,∴2α-β=.應(yīng)選C.2.(2023天津,理15)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a>b,a=5,c=6,sinB=.(1)求b和sinA的值;(2)求sin的值.3.(2023山東,理16)設(shè)f(x)=sinxcosx-cos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角△ABC中