第12章絕對動量與地轉絕對動量§12.1引力、離心力和重力正如葉篤正、李崇銀、王必魁(1988)所指出，靜止于地球上的任何質點除了受地球引力g*(有時簡稱引力)作用外，還要受到慣性離心力(以下簡稱離心力。關于慣性力的概念，請參看有關物理學書)作用(圖12.1.1)。由于地球引力g*和離心力力(或有效重力)，即：總是同時作用于質點上的，習慣上總是把兩者組合起來定義為重(12.1.1)其中為地球自轉角速度，為質點到自轉軸的距離。圖12.1.1地球的引力、離心力和重力（葉篤正、李崇銀、王必魁(1988)）設想地球是正球體，由于g*指向地心，離心力的方向從地球自轉軸指向外。因此，除在兩極和赤道外，重力并不指向地心，如圖12.1.1所示。這樣，重力便出現一個指向赤道的分量，使得正球體表面上的質點向赤道方向移動，在達到平衡狀態時，引力與離心力的合成矢量應與地球表面相垂直，這時正球體形狀應變為扁平球體。§12.2離心對流在研究大氣對流時人們的興趣，不僅僅滿足于知道表達式(12.1.1)，更重要的是想知道引力、離心力以及重力與大氣對流的關系。眾所周知(例如見Emanuel(1994))，人們一直認為：大氣對流是由于在垂直方向上空氣質量的不穩定分布引起的運動。對于“垂直”方向，似乎并不會產生誤解。但看了圖12.1.1后，人們則發現“垂直”方向之確切含義值得討論了。在一個旋轉的行星上，例如在地球上，大氣對流之更確切的定義需要同時考慮離心力及引力兩者的加速度，因此，“垂直”方向實際上表示沿有效重力(effectivegravity)方向，即沿引力與離心力兩者合成矢量的方向。如上所述，由于地球引力和離心力總是同時作用于空氣質點上。換句話說，空氣塊不能夠分別響應引力加速度和離心加速度。自轉地球上的氣塊受到離心加速度的作用，同其受到引力加速度作用的方式大體相同，只是與前者有關的保守量是角動量，后者的是位溫。這也就是說，與純引力對流類似，大氣中也存在一種由于沿離心加速度矢量方向角動量不穩定分布引起的對流。下面沿用Emanue1(1994)叫法，稱其為離心對流。而把與引力有關之對流，稱為引力對流或重力對流。§12.3徑向加速度為零的條件§12.3.1補充知識：質點的角動量引自：Halliday,D.,andR.Resnick(鄭永令等譯)，物理學基礎，人民教育出版社(1979):277~281。我們已經知道，在討論單個質點的平動運動時,線動量是很有用的一個物理量。在轉動運動中,什么量和線動量相對應呢？人們發現這個量叫角動量。角動量在轉動運動中是個很有用的概念,就象在平動運動中線動量是個很有用的概念一樣。考慮一質量為(在我們討論問題時，令)和線動量為的質點，它相對于慣性參照系的原點的位置矢量為(圖12.2.1)。人們定義這個質點對原點的角動量為：(12.3.1)角動量是矢量。它的大小由下式給出：(12.3.2)式中是與之間的夾角。它的方向垂直于與所構成的平面，指向由右手法則給定。圖12.3.1位于點的一質量為和線動量為的質點相對于原點的位置矢量為，與的夾角為。圖中表明質點對原點的角動量，它垂直于與所構成的平面，其指向由右手法則給定。§12.3.2徑向加速度為零的條件1.討論離心不穩定用圖猶如討論引力對流一樣，在討論離心對流時Emanuel(1994)假設在一圓柱形容器中盛有等密度的旋轉流體，如圖12.3.2。2.角速度與角動量表達式對于繞中心軸旋轉流體的運動，可用其角速度及角動量M表征，角速度的表達式為：(12.3.3)旋轉運動切向線速度的表達式為：(12.3.4)請讀者注意：式(12.3.3)中的,不是地球自轉角速度，而是圖12.3.2中的角速度。角動量的表達式為：(12.3.5)式中V是切線方向的線速度,是質點到旋轉軸的距離。可令和M是的函數。實際上，根據式(12.3.2)可以導出式(12.3.5)：(i)在式(12.3.5)中，改為用表示角動量；(ii)由于在我們討論問題時令，故將線動量改用代表；(iii)由圖12.3.2可見，垂直于，故式(12.3.2)中。3.徑向運動方程式無粘流體運動的徑向運動方程式可寫為：(12.3.6)式中是比容；如上所述，在這里是常數。4.徑向加速度為零的條件由式(12.3.6)看出，只要其右端為零，亦即：(12.3.7)則徑向加速度考慮到。(見式(12.3.4))，以及(式(12.3.5))，則在式(12.3.7)中可以再補充進一個等式：(12.3.8)總之，當滿足式(12.3.8)要求的條件時，則沒有徑向加速度。圖12.3.2討論離心對流用圖：表示角動量和無限小流體圓環位移貢獻的一個轉動的不可壓流體圓柱(Emanuel(1994))§12.4離心不穩定的條件1.討論離心不穩定采用的氣塊法為了討論一環形流體徑向位移(見圖12.3.2)是否穩定，必須計算作用在此環上的加速度是多少。為了達此目的，Emanuel(1994)使用了氣塊法(或稱廣義氣塊法)。他除了假設氣塊是一環狀流體外，其它與經典氣塊法相同。像在經典氣塊法中一樣，Emanuel(1994)設環狀氣塊位移時，環境空氣不被擾動，氣壓場不受該位移的影響(在環的橫切面面積無限小時，以上假設是成立的)。2.切向運動方程式切向運動方程式為：(12.4.1)兩端同乘以，并近似取，則得新的切向運動方程式為：(12.4.2)式中是方位角(請讀者注意，在這里不代表位溫)。對于無粘的軸對稱運動(對于這種運動)，角動量M是守恒的。設氣壓分布不受環狀氣塊的影響，再考慮到(式(12.3.8))，則式(12.3.6)可寫為：(12.4.3)或式中“—”表示流體位移前的狀態。(12.4.4)3.離心不穩定的條件由式(12.4.3)可看出，如果氣塊的值大于位移后到達處流體的值(即環境的值)，則氣塊向外加速；如果氣塊的值小于環境的值，則氣塊向內加速。由于角動量是守恒的，所以很容易看出，只要隨半徑增大，則徑向加速作用方向與氣塊移動方向相反。由于角動量是守恒的，所以當氣塊由移至時，有：(12.4.5)考慮到表示微小位移，則可寫出：或(12.4.6)根據式(12.4.5)和(12.4.6)可知，當氣塊由移至時，在小位移情況下，對于，可以用公式表示為：(12.4.7)或(12.4.8)將式(12.4.8)代入式(12.4.4)得：(12.4.9)這樣，如果為正，則加速作用在位移的反方向，則該流體的狀態是穩定的；而如果為負，則該流體是不穩定的。因為此處產生的運動是由慣性不穩定或離心不穩定引起的，故稱為離心不穩定或離心對流。4.離心不穩定與引力不穩定的對比離心不穩定只不過是在對流不穩定中用慣性加速度替代了重力(引力)加速度的作用。與引力對流中的浮力起著類似的作用(此處表示虛位溫，下標和分別表示氣塊和環境)。離心對流與引力對流的差異是：(a)加速度的方向不同；(b)計算加速度時用到的守恒量不同。具體地說，對無粘、軸對稱位移來說是守恒的，而虛位溫對所有的絕熱位移是守恒的。類似地，離心對流由角動量通量驅動，而重力(引力)對流由熱通量驅動。§12.5離心不穩定的局地化條件1.面上的無粘運動方程式離心不穩定的擾動不是嚴格軸對稱的。在大氣中根據平面的運動方程，Emanuel(1994)定義了關于離心不穩定的局地化條件。在平面上,可略去地球自轉角速度的水平分量及地球自轉角速度垂直分量的梯度。所謂平面，是指Coriolis參數為常數的一種假想的幾何面，亦即與圖12.5.1中垂直于矢量的一個平面。在平面上無粘運動方程式是：(12.5.1)(12.5.2)(12.5.3)式中，、、分別是向東、向北和向上的速度分量，是Coriolis參數：(12.5.4)式中是地球自轉角速度，是所討論地區平均緯度(Emanuel(1994)所關心的運動局限于變化與其平均值相比很小的區域)2.第1次坐標變換：繞垂直坐標軸的旋轉首先討論經過坐標變換后，使得某一方向上的氣流(Emanuel(1994)稱該方向為)有如下特性：在該方向上氣壓梯度與比容之乘積不隨高度改變。圖12.5.1平面示意圖很容易證明，運動方程(12.5.1)、(12.5.2)、(12.5.3)對于如圖12.5.2繞z軸旋轉了的新坐標系是不變形的。因此在新坐標系(,,)中，式(12.5.1)、(12.5.2)、(12.5.3)可寫為：(12.5.5)(12.5.6)(12.5.7)式中，和是在、方向的速度，是一個常數：(12.5.8)式中是方向的地轉風，此處設其為常數。圖12.5.2舊坐標系與繞Z軸旋轉的新坐標系3.第2次坐標變換：沿坐標軸方向平移Emanuel(1994)令在旋轉了的坐標系中，在方向上以常速度進行平移(12.5.3)，得到一新的參數系(請讀者注意，在圖12.5.3中相當于正文中的，相當于正文中的)：→→→→→圖12.5.3坐標系沿軸平移示意圖在新坐標系()中，式(12.5.5)、(12.5.6)、(12.5.7)分別變為：,,(12.5.9)(12.5.10)(12.5.11)請讀者注意,在下面將把各量右上角的星號去掉。但要記住，它們是在旋轉坐標系中的量,其中一個坐標方向上氣壓梯度力為常數，并以速度§12.6絕對動量與地轉絕對動量1.絕對動量作了變換。由于，故式(12.5.10)可寫為：(12.6.1)考慮到平面的定義(為常數的面)，將式(12.6.1)合并、整理得：或(12.6.2)式中(12.6.3)物理量量為常數。這表示只有一個地轉風分量即稱作絕對動量，它對于在平面上的無粘運動是一個守恒的量。在平面上，地轉風的一個分(新的)方向上的分量隨高度變化。但熱成風關系式表明，溫度梯度與地轉風的該分量垂直。因此，在等壓面上，方向與等溫線方向一致，方向沿溫度梯度指向暖空氣。2.地轉絕對動量由上面的推導過程可見，Emanuel(1994)是通過在方向上位移的二維空氣“管”擾動這股氣流的(圖12.5.4)。為了保持是守恒的,需要在方向的地轉風分量(12.5.8)可見需要有：不隨位移變化。欲滿足上述要求，從式(12.6.4)式中，是與擾動有關的氣壓變化。完全滿足式(12.6.4)的擾動是那些的擾動，即沿方向(平均氣流切變方向)伸展的擾動。考慮到寫為：后，Emanuel(1994)把控制方向加速度的方程(12.5.9)(12.6.5)或(12.6.6)式中是方向的地轉風。將式(12.6.6)右端括號加入數值等于零的項，得：(12.6.7)考慮到(式(12.6.3))以及與兩者非常相似，故可定義如下一個新的物理量：(12.6.8)把式(12.6.3)與式(12.6.8)代入式(12.6.7)，有：(12.6.9)物理量稱作地轉絕對動量。如果位移管在方向上伸展，則是守恒的；如果按氣塊法的假設，在空氣管位移時環境空氣不被擾動，則的分布保持不變。在這種情況下，式(12.6.5)完全類似于式(12.4.3)，可以得出以下結論：若隨而減小，則氣流是不穩定的。這是在平面上平直地轉氣流離心不穩定的一種特定情形。在引力對流中，一些絕熱不變量(例如)的守恒意味著當氣塊垂直位移時，氣壓梯度力和重力不平衡；如果所導致的加速度方向和位移方向一致，則稱氣流是引力不穩定的。在氣塊法理論中，是假定位移氣塊非常小，其位移不影響氣壓分布的條件下，計算垂直氣壓梯度力。圖12.5.4一個準二維的空氣“管”，沿它的軸定義為y方向(Emanuel(1994))3.地轉動量表達式的另一種形式假若：(i)在作第1次坐標變換時，把氣壓梯度與比容乘積不隨高度改變的方向取為；(ii)在作第2次坐標變換時，把舊坐標系沿軸以常速度平移；那么，將得到一個新的坐標系：在