流體力學(xué)講義第一講第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日2、克羅內(nèi)克爾符號(hào)3、交變符號(hào)

四、張量定義定義1：張量作為向量定義的推廣

當(dāng)由一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系時(shí)，向量按下式變換則笛卡兒坐標(biāo)系所確定的三向量組叫張量是張量的向量分量。

第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日五、張量運(yùn)算

1、相加

2、外積：r階和s階張量的外積是一個(gè)r+s階張量，其分量為

原來(lái)張量的各個(gè)分量之積。

定義2：向量的并積，就代表一個(gè)二階張量。第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日4、內(nèi)積：內(nèi)積是外積的縮并。3、縮并：令張量的兩個(gè)腳標(biāo)相等并循環(huán)相加。5、張量場(chǎng)的微分：對(duì)張量的每個(gè)元素取其的導(dǎo)數(shù)張量的微分叫做張量的梯度（新得的張量其階數(shù)多1）第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日三、向量微分算子（哈密頓算子）哈密頓算子的符號(hào)是，有兩種表示方法微分形式：（運(yùn)算）積分形式：含義，用它作用在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)上來(lái)說(shuō)明。（場(chǎng)的概念）

1、叫梯度（標(biāo)量場(chǎng)的最大變

化率和變化率的方向）sv第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日2、微分形式和積分形式是否等價(jià)：證明：取的二等值面和兩二等值面之間的小圓柱,如圖

沿柱面積分，該積分由三部分組成，即

所以：第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日若定義一個(gè)向量場(chǎng)，則向量微分算子與它作用后分別得到：叫散度，標(biāo)量，物理意義叫旋度張量場(chǎng)第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日稱為向量a通過(guò)曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。在直角坐標(biāo)系中向量場(chǎng)的通量和散度

物理量的散度可用來(lái)判別場(chǎng)是否有源。通量：在向量場(chǎng)a中向曲面S的法向量為n，則曲面積分圖0.4.1通量l第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日有源場(chǎng)和無(wú)源場(chǎng)：散度是一個(gè)標(biāo)量，它表示單位體積內(nèi)物理量通過(guò)其表面的通量。若diva>0，稱該點(diǎn)有源；若diva<0，稱該點(diǎn)有匯。|diva|稱為源或匯的強(qiáng)度。若diva＝0（處處），稱該物理場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)，否則為有源場(chǎng)。⑴

（常數(shù)）

散度的基本運(yùn)算公式：

（2)(為標(biāo)量）

（3)

散度anM散度的微分形式為：第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日旋度定義：

取微小圓柱體，取為速度，法線方向?yàn)椋瑢?duì)整個(gè)微元體進(jìn)行以下積分。和的方向滿足右手螺旋法則。定義：環(huán)量定義：在向量場(chǎng)a沿有向封閉曲線l的積分稱為向量a沿曲線l的環(huán)量。向量場(chǎng)的環(huán)量和旋度物理量的旋度可用來(lái)判別場(chǎng)是否有旋（圍繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）。第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日可證：旋度代表某一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度或旋轉(zhuǎn)量，定義了一個(gè)向量場(chǎng)，叫旋度場(chǎng)在直角坐標(biāo)系中表達(dá)式：引進(jìn)哈密頓算子：第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日旋度運(yùn)算基本公式第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日小總結(jié)梯度，散度和旋度代表一種向量場(chǎng)或標(biāo)量場(chǎng)，他們的大小、方向和表達(dá)形式都不因直角坐標(biāo)的變換而變化。梯度：描述標(biāo)量場(chǎng)的不均勻性或變化率，把標(biāo)量場(chǎng)變成了

向量場(chǎng)。散度：不描述向量場(chǎng)的變化率，把向量場(chǎng)變成了標(biāo)量場(chǎng)。旋度：不描述向量場(chǎng)的變化率，不改變向量場(chǎng)的性質(zhì)。第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日四、幾個(gè)重要公式

1、

2、

3、

4、拉普拉斯算子總乘叉乘第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日五、幾個(gè)積分定理

1、高斯定理

2、散度定理

3、旋度定理

4、斯托克斯定理斯托克斯定理的證明：對(duì)應(yīng)用散度定理：

旋度經(jīng)過(guò)S的通量環(huán)量（體積分與面積分之關(guān)系)第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日由公式知左端積分為零，而右端積分的表面應(yīng)是包圍V的整個(gè)曲面，即S加由C所包圍的底面所以，，由標(biāo)量三重積公式

可以寫(xiě)成：，故右端為：，對(duì)向量應(yīng)用散度定理，有：其中是曲線C的外法線向量，是的外法線向量，二者相互垂直，由標(biāo)量三重積公式可得：所以：Stokes公式聯(lián)系了面積分和線積分之間的關(guān)系。第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日六、一般正交曲線坐標(biāo)為什么？實(shí)際需要

1、一般曲線坐標(biāo)系若任一點(diǎn)的坐標(biāo)位置(x,y,z)可用其它三個(gè)獨(dú)立變量表示，即存在關(guān)系式或第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日即每一組必有一組與之對(duì)應(yīng)，反之亦然（其雅可比行列式不為零2、正交曲線坐標(biāo)系若空間任意一點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)線的切線都是正交的，稱此坐標(biāo)系為正交曲線坐標(biāo)系。沿著坐標(biāo)線的切線方向的單位向量以表示。3、正交曲線坐標(biāo)系與笛卡兒坐標(biāo)的區(qū)別

1）在笛卡兒坐標(biāo)中，沿坐標(biāo)軸的單位向量是不變的，在正交曲線坐標(biāo)系中，的方向，一般說(shuō)，隨點(diǎn)的位置而變化。

2）在笛卡兒坐標(biāo)中，坐標(biāo)線上的微分增量是dxi,與坐標(biāo)值的增量是一致的，在正交曲線坐標(biāo)系中，坐標(biāo)線上的微分增量是dsi,與坐標(biāo)值的增量dqi則不一定相等。第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日4、坐標(biāo)線的切線方向的單位向量的正交性式中為克羅內(nèi)克符號(hào)，i，j，k為1，2，3的循環(huán)排列。5、正交曲線坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù)在正交曲線坐標(biāo)系中，坐標(biāo)線上的微分增量dsi與坐標(biāo)值的增量dqi不一定相等，坐標(biāo)線上的微分增量dsi與坐標(biāo)值的增量dqi一般要乘以系數(shù)Hi（拉梅系數(shù)），才會(huì)變成坐標(biāo)線上的微分增量dsi，即第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日如何確定Hi？象在笛卡兒坐標(biāo)中一樣，在空間某一點(diǎn)A，沿三個(gè)坐標(biāo)軸為棱邊作一微分六面體，由于其邊長(zhǎng)分別為，，,設(shè)AB邊在笛卡兒坐標(biāo)中的分量為dx，dy，dz，由于它們都只是由于dq1的變化而引起的數(shù)，故所以第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日同理：進(jìn)而可寫(xiě)出弧元素：微元面積：微元體積：第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日6、梯度、散度、旋度在正交曲線坐標(biāo)系中的表示：

1）梯度

2）散度

3）旋度

第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日4）拉普拉