2022年廣西壯族自治區(qū)玉林市陸川縣第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是橢圓的焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則的方程為（）A．

B．

C.

D．參考答案：C2.已知函數(shù),若有,則的取值范圍.A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.一名小學(xué)生的年齡和身高（單位：cm)

的數(shù)據(jù)如下：

年齡x6789身高y118126136144

由散點(diǎn)圖可知，身高y與年齡x之間的線性回歸直線方程為，預(yù)測(cè)該學(xué)生10歲時(shí)的身高為

(A)154.(B)153(C)152(D)151參考答案：B4.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2i（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．【解答】解：由，得=．∴z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，是第一象限的點(diǎn)．故選：A．5.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（

）A．是奇函數(shù)

B．的周期為

C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

D．的圖象關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱參考答案：C6.已知函數(shù)y=f(x)的周期為2，當(dāng)x時(shí)f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=的圖像的交點(diǎn)共有（A）10個(gè)

（B）9個(gè)

（C）8個(gè)

（D）1個(gè)參考答案：A本題主要考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合解決問題，有一定難度.作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，易觀察出交點(diǎn)個(gè)數(shù).故選A.7.已知函數(shù)f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

)A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）參考答案：C【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x≤0，且函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ln（x+1）＞0，且函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在R上為增函數(shù)，則不等式f（2﹣x2）＞f（x），等價(jià)為2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，故實(shí)數(shù)x的取值范圍是（﹣2，1），故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．8.向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A9.已知平面向量，，且，則（

）

A． B． C． D．

參考答案：略10.已知函數(shù)，為其圖象的對(duì)稱中心，B、C是該圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，若，則f(x)的解析式為（

）．A. B.C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)，列出方程，求得的值，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心，求出的值，即可得到函數(shù)的解析式．【詳解】由題意，函數(shù)，為其圖象對(duì)稱中心，因?yàn)槭窃搱D象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，可得，即，解得，又由，即，令，可得，則的解析式為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若ai，j表示n×n階矩陣中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均為1，第1列的元素為1，2，3，…，n，且ai+1，j+1=ai+1，j+ai，j（i、j=1，2，…，n﹣1），則a3，n=．參考答案：

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用；矩陣變換的性質(zhì)．專題：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：依題意，可求得a3，1=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，…由于后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，利用累加法即可求得a3，n．解答：解：依題意，a3，1=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，…∴a3，2﹣a3，1=5﹣3=2，（1）a3，3﹣a3，2=8﹣5=3，（2）a3，4﹣a3，3=12﹣8=4，（3）…a3，n﹣a3，n﹣1=n，（n﹣1）將這（n﹣1）個(gè)等式左右兩端分別相加得：a3，n﹣a3，1=2+3+…+（n﹣1）==n2+n﹣1，∴a3，n=n2+n﹣1+3=n2+n+2．故答案為：n2+n+2．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查矩陣變換的性質(zhì)，突出累加法求通項(xiàng)的考查，屬于難題．12.函數(shù)的值域?yàn)?．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)．C5

【答案解析】［－7，7］解析：∵sin（x+80°）=sin[（x+20°）+60°]=sin（20°+x）+cos（20°+x），∴f（x）=3sin（20°+x）+5sin（x+80°）=3sin（20°+x）+[sin（20°+x）+cos（20°+x）]=sin（20°+x）+cos（20°+x）=sin（20°+x+φ）=7sin（20°+x+φ），∴f（x）∈[﹣7，7]，故答案為：[﹣7，7]．【思路點(diǎn)撥】利用兩角和的正弦可求得sin（x+80°）=sin[（x+20°）+60°]=sin（20°+x）+cos（20°+x），再利用輔助角公式可得f（x）=7sin（20°+x+φ），于是可得其值域．13.(09年石景山區(qū)統(tǒng)一測(cè)試?yán)?若展開式的第項(xiàng)為，則=

．參考答案：14.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，則的值為

.參考答案：8試題分析：,又，.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

15.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值是

參考答案：1616.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則

．參考答案：試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，令,得，故答案為.考點(diǎn)：1、函數(shù)的解析式；2、函數(shù)的奇偶性.17.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于C點(diǎn)，若，則直線l的斜率為___________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得至少有一個(gè)x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立，若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求得函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先考慮“至少有一個(gè)x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可轉(zhuǎn)化為a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，則只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x＜1故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，1）…（2）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）≥0，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）…（Ⅱ）先考慮“至少有一個(gè)x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可轉(zhuǎn)化為a+（a+1）xlnx≥0恒成立．令φ（x）=a+（a+1）xlnx，則只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…求導(dǎo)函數(shù)φ′（x）=（a+1）（1+lnx）當(dāng)a+1＞0時(shí)，在時(shí)，φ′（x）＜0，在時(shí)，φ′（x）＞0∴φ（x）的最小值為，由得，故當(dāng)時(shí)，f（x）≤x恒成立，…當(dāng)a+1=0時(shí)，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…當(dāng)a+1＜0時(shí)，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…綜上所述，即或a≤﹣1時(shí)，至少有一個(gè)x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立．…19.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊為（1）若

求A的值；（2）若，求的值.參考答案：（1）

（2）在三角形中,由正弦定理得：，而.（也可以先推出直角三角形）

(也能根據(jù)余弦定理得到)

20.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到到右頂點(diǎn)的距離為1．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)的直線l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出e=，a﹣c=1．由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）存在直線l，使得||=||成立．設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0），半焦距為c．依題意e=，由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）解：存在直線l，使得||=||成立．理由如下：設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化簡(jiǎn)得3+4k2＞m2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，．若||=||成立，即||2=||2，等價(jià)于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）?，化簡(jiǎn)得7m2=12+12k2．將代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，從而，解得或．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地加以運(yùn)用．21.已知函數(shù)（ω＞0，．其圖象的最高點(diǎn)與相鄰對(duì)稱中心的距離為，且過點(diǎn)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的達(dá)式；（Ⅱ）在△ABC中．a(chǎn)、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，，，角C為銳角．且滿足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．參考答案：考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦定理．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；解三角形．分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的周期求ω，把所給的點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出Φ的值，從而確定出函數(shù)的解析式．（Ⅱ）根據(jù)條件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．（2分）∵最高點(diǎn)與相鄰對(duì)稱中心的距離為=，則，即T=π，（3分）∴，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）又f（x）過點(diǎn)，∴，即，∴．（5分）∵，∴，∴．（6分）（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．（8分）又∵，∴．（9分）又，，∴b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．（12分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，兩角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．22.（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn),的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，且，，三點(diǎn)不共線.（1）求橢圓的方程；（2）求點(diǎn)的軌跡方程；（3）求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：（1）；（2），除去四個(gè)點(diǎn)，，，；（3），點(diǎn)的坐標(biāo)為或.試題分析：（1）由雙曲線的頂點(diǎn)得橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓的定義得的值，利用即可得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，先寫出，，，的坐標(biāo)，再根據(jù)已知條件可得，，代入，化簡(jiǎn)，即可得點(diǎn)的軌跡方程；（3）先計(jì)算的面積，利用基本不等式即可得的面積的最大值.試題解析：（1）解法1：∵雙曲線的頂點(diǎn)為,,…………1分∴橢圓兩焦點(diǎn)分別為,.設(shè)橢圓方程為，∵橢圓過點(diǎn)，∴，得.

………2分∴.

………3分∴橢圓的方程為.

………4分解法2:∵雙曲線的頂點(diǎn)為,,

…1分∴橢圓兩焦點(diǎn)分別為,.設(shè)橢圓方程為，∵橢圓過點(diǎn)，∴.

①

………2分∵,

②

………3分由①②解得,.∴橢圓的方程為.

………4分（2）解法1：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，由及橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，∴，，，.由,得，……5分即.

①同理,由,得.

②

……………6分①②得.

③

………7分由于點(diǎn)在橢圓上,則，得,代入③式得.

當(dāng)時(shí)，有，

當(dāng)，則點(diǎn)或,此時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為或，其坐標(biāo)也滿足方程.

………8分當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即點(diǎn)，由②得，解方程組得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.同理,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.∴點(diǎn)的軌跡方程為,除去四個(gè)點(diǎn),,,.………9分解法2：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，由及橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，∵，，∴，.∴