第11-頁浙江杭州八中2023屆上學期高三數(shù)學周末自測卷十一第I卷〔選擇題〕一、單項選擇題1．集合，那么的真子集個數(shù)為〔〕A.B.C.D.2．設，是虛數(shù)單位，那么“〞是“復數(shù)為純虛數(shù)〞的〔〕A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.即不充分也不必要條件3．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，設,，，那么,,的大小關系是〔〕A.B.C.D.4．在數(shù)列中，，，那么的值為〔〕A.B.5C.D.5．函數(shù)的圖象大致為〔〕A.B.C.D.6．現(xiàn)有六支足球隊參加單循環(huán)比賽〔即任意兩支球隊只踢一場比賽〕，第一周的比賽中，各踢了場，各踢了場，踢了場，且隊與隊未踢過，隊與隊也未踢過，那么在第一周的比賽中，隊踢的比賽的場數(shù)是〔〕A.B.C.D.7．設函數(shù)，假設方程恰好有三個根，分別為，那么的值為〔〕A.B.C.D.8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2，粗實線及粗虛線畫出的是某四棱錐的三視圖，那么該四棱錐的外接球的外表積為〔〕A.B.C.D.9．函數(shù)假設，且函數(shù)存在最小值，那么實數(shù)的取值范圍為〔〕A.B.C.D.10．雙曲線：的左右焦點分別為，，為雙曲線上一點，為雙曲線C漸近線上一點，，均位于第一象限，且，，那么雙曲線的離心率為〔〕A.B.C.D.第II卷〔非選擇題〕二、填空題11．我國古代數(shù)學著作?九章算術?有如下問題：“今有蒲〔水生植物名〕生一日，長三尺；莞〔植物名，俗稱水蔥、席子草〕生一日，長一尺．蒲生日自半，莞日自倍．問幾何日而長等？〞意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺．蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加1倍．假設蒲、莞長度相等，那么所需的時間約為_____日．〔結(jié)果保存一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，〕-10212.隨機變量的分布列，其中那么=，=.13．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．〔1〕；〔2〕假設，那么．14.集合是同一坐標平面內(nèi)一些點組成的集合，假設,且,那么原點到直線的距離是，集合所表示的區(qū)域的最大面積.15．向量，滿足，，那么的最小值是_______，與夾角的余弦值的最大值是_______.16.有4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10，那么不同的排法共有種〔用數(shù)字作答〕．17.平面直角坐標系中，橢圓左、右焦點分別是，焦距為，假設曲線:滿足對,與至多2個公共點，求橢圓的離心率的范圍是.三、解答題18．〔本小題總分值14分〕函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.(Ⅰ)求常數(shù)的值;(Ⅱ)在中,角所對的邊長分別為,假設,,面積為,求邊長.19．如圖,在四棱錐中,點是棱上一點,且,底面是正方形,△為正三角形,平面與平面交于直線,且平面⊥平面.(1)求證:∥平面；(2)求直線與平面所成角的大小.〔第19題圖〕(此題總分值15分)設函數(shù)f(x)＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x). (1)求函數(shù)f(x)的值域； (2)當實數(shù)x∈[0,1]，證明：f(x)≤2－eq\f(1,4)x2.21．〔此題總分值15分〕拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，點關于軸的對稱點為．〔1〕當時，求線段的中點的坐標；〔2〕假設，求面積的最大值．22.〔此題總分值15分〕設函數(shù)．數(shù)列滿足，．〔1〕證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；〔2〕證明：；〔3〕設，整數(shù)，證明：．浙江杭州八中2023屆上學期高三數(shù)學周末自測卷十一參考答案1．B【解析】因為拋物線的圖象與直線的圖象，有兩個交點，所以有兩個元素，故的真子集個數(shù)為，應選B.2．B【解析】由復數(shù)為純虛數(shù)，那么，解得，所以是復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件，應選B．3．C【解析】因為偶函數(shù)滿足，所以函數(shù)的周期為，那么，，因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，應選C．4．B【解析】在數(shù)列中，，所以，所以是以為周期的周期數(shù)列，因為，應選B．5．C【解析】因為函數(shù)，由，可得，所以函數(shù)的定義域為，再由，可得，且在上為單調(diào)遞增函數(shù)，應選C．6．D【解析】依據(jù)題意：踢了場，隊與隊未踢過，那么C隊參加的比賽為：；D踢了場，隊與隊也未踢過，那么D隊參加的比賽為：；以上八場比賽中，包含了隊參加的兩場比賽，分析至此，三隊參加的比賽均已經(jīng)確定，余下的比賽在中進行，已經(jīng)得到的八場比賽中，A,B各包含一場，那么在中進行的比賽中，，各踢了2場，即余下的比賽為：，綜上可得，第一周的比賽共11場：，，那么隊踢的比賽的場數(shù)是.此題選擇D選項.7．D【解析】由題意，那么，畫出函數(shù)的大致圖象，如下圖，由圖可得，當時，方程恰有三個根，由得；由得，由圖可知，與點關于直線對稱；點和點關于對稱，所以，所以，應選D．點睛：此題考查了正弦函數(shù)的圖象，以及正弦函數(shù)的圖象及對稱性的應用，考查了整體思想和數(shù)形結(jié)合思想的應用，有關問題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點或最低點確定，再根據(jù)周期，求出，最后再利用最高點或最低點坐標滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點，如對稱軸或曲線經(jīng)過的點的坐標，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.8．C【解析】根據(jù)三視圖得出，該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐，正方體的棱長為，為棱的中點，最大的側(cè)面積為，應選C．9．A【解析】由分段函數(shù)的解析式可得：，即：，結(jié)合函數(shù)有最小值可得：，據(jù)此可得：，即實數(shù)的取值范圍為.此題選擇A選項.點睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值．(2)當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍．10．D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為，為雙曲線上的一點，為雙曲線的漸近線上的一點，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點，且,點在直線上，并且，那么，，設，那么，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，應選D．點睛：此題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．11．2.6解析：設蒲的長度組成等比數(shù)列，其前項和；莞長度組成等比數(shù)列，其前項和；那么，化簡得，得，即：12.；1解析：解得，，故13．；解析：〔1〕由及正弦定理得，從而，〔2〕由〔1〕知，假設，那么，所以14.1；解析：原點到直線的距離，所以是單位圓的切線上的點組成的集合，集合所表示的區(qū)域的最大面積。15．1；解析：設向量的夾角為，，所以，所以所以，解得；.16.432解析：數(shù)字之和為10的情況有4，4，1，1；4，3，2，1；

3，3，2，2；

取出的卡片數(shù)字為4，4，1，1時；有種不同排法；取出的卡片數(shù)字為3，3，2，2時；有種不同排法；取出的卡片數(shù)字為4，3，2，1時；每個數(shù)字都有兩種不同的取法，那么有種不同排法；

所以共有種不同排法17.解析：曲線:的圖像最低點為，隨著從到變化時，當為橢圓上這兩個點和時，為臨界點；所以只要在處的切線的斜率，既滿足題意，而過的切線方程為，所以，所以18．【答案】解:(1) …4分因為,所以所以當即時,函數(shù)在區(qū)間上取到最大值此時,,得……7分(2)因為,所以,即,解得(舍去)或………9分因為,,所以.………10分因為面積為,所以,即.②由①和②解得………12分因為,所以……14分19．〔此題15分〕答案：〔1〕見解析；〔2〕〔1〕∵底面是正方形,∴.又平面,平面.∴∥平面.………………〔5分〕又平面與平面交于直線,∴∥,又平面,?平面,∴∥平面.…………〔7分〕〔2〕延伸平面與棱交于點,∴為的中點,∴是棱的中點.…………〔9分〕又,那么直線與平面所成角的大小等于直線與平面所成角的大小,…………………〔11分〕∵平面⊥平面,⊥,∴⊥平面,∴平面⊥平面,∵△為正三角形,∴⊥,∴⊥平面∴∠為直線與平面所成的角,又∠=,∴直線與平面所成角的大小為.…〔15分〕20.〔15分〕解(1)函數(shù)f(x)的定義域是[－1,1]， ∵f′(x)＝eq\f(\r(1－x)－\r(1＋x),2\r(1－x2))， 當f′(x)>0時，解得－1<x<0， 當f′(x)<0時，解得0<x<1， ∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(－1,0)上單調(diào)遞增，…………4分 ∴f(x)min＝f(1)＝f(－1)＝eq\r(2)，f(x)max＝f(0)＝2，…………7分 ∴函數(shù)f(x)的值域為[eq\r(2)，2]． (2)證明：設h(x)＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x)＋eq\f(1,4)x2－2，x∈[0,1]，h(0)＝0， ∵h′(x)＝－eq\f(1,2)(1－x)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(1＋x)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)x ＝eq\f(1,2)xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(2,\r(1－x2)\r(1＋x)＋\r(1－x))))，10分 ∵eq\r(1－x2)(eq\r(1＋x)＋eq\r(1－x))＝eq\r(1－x2)·eq\r(2＋2\r(1－x2))≤2， ∴h′(x)≤0. ∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， …………13分 又h(0)＝0，∴h(x)≤h(0)＝0， ∴f(x)≤2－eq\f(1,4)x2. …………15分21．〔此題15分〕答案：〔1〕；〔2〕16〔1〕當時，直線，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，得，………〔2分〕所以線段的中點的縱坐標為4，又點在直線上，故的坐標為.………………〔5分〕〔2〕設直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，消去可得，.設，那么，…………〔7分〕且.聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去可得，所以，…………………〔9分〕所以，即直線過點，……………〔11分〕所以的面積，又………………