如何理解和把握高中數學課程標準劉意竹一、從高中數學課程標準的模塊談起1.為什么要搞成模塊？搞模塊的考慮出自教育思想和教學理念的改革。時代性，不僅是指學習的內容應當是當今社會和科學技術發展最必須的數學知識，也是指課程的教育理念應當是當今最先進的、最適合學生發展的，能夠培養學生的創新意識和實踐能力的。（建設中國特色的社會主義強國，落后就要挨打，要有自己的獨立知識產權）基礎性包括兩個方面。第一，為學生適應現代生活和未來發展提供更高水平的數學基礎，第二，為學生進一步學習提供必要的數學基礎。這些基礎不僅是在知識技能方面，也包括過程方法和情感、態度、價值觀。（學生應當在學習中學會學習，發現、探究、理解、掌握、運用、創造，養成喜歡數學、鉆研數學、自覺運用數學的習慣和意識）選擇性當然是指課程的設置，既要構建所有學生未來發展的共同平臺，也要適應不同學生的不同發展需要。特別是隨著我國教育事業的發展，高中逐漸普及，學生的發展更是千差萬別的，必須要有選擇性。過去能上高中的是少數學生，主要是繼續升學。今天要逐步普及高中階段教育（見“十七大”報告和政府工作報告），提高民族素質，建設人力資源強國。培養人才的渠道和方式應當是多種多樣的。標準中提出課程設計的基本理念的有十條。前三條講的就是時代性、基礎性和選擇性。⑴構建共同基礎，提供發展平臺⑵提供多樣課程，適應個性選擇⑶倡導積極主動，勇于探索的學習方式⑷注重提高學生的數學思維能力⑸發展學生的數學應用意識⑹與時俱進地認識“雙基”⑺強調本質，注意適度形式化⑻體現數學的文化價值⑼注重信息技術與數學課程的整合⑩建立合理、科學的評價體系特別需要提出的是：提高思維能力不僅是邏輯思維，這次更強調感知、發現、歸納、類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思構建等等各種思維的培養。發展應用意識更加突出，不僅是學過知識的應用，而且在學習過程中，在獲取知識時，就要了解知識發生發展的背景、來龍去脈，知道它們與實際的聯系和應用。由此，突出所學數學知識的本質，在此基礎上再進行適度的形式化，打好“雙基”。“雙基”是中國基礎教育的特色，給我們的中小學教學帶來了許多成果，有些對“雙基”不恰當的理解，會產生了很多負面影響。體現數學的文化價值，在高中課程中是第一次提到（安排了數學文化的要求，貫穿整個高中數學，提高學生對數學科學的認識，領會數學的價值，提高文化素養和創新意識）。關于與信息技術的整合，根據實際教學情況來看，還屬于探索階段。評價是一個非常重要的課題。目前也在改革的探索，這里不討論這個問題。.模塊的安排是否合理？（必修與選修、選修系列的安排、學科邏輯順序）剛才講了新課程的理念，下面來看標準中的課程安排。必修課程與選修系列的安排首先，高中數學課程標準把教學內容分成了必修和選修兩大部分。必修課程是每一個進入高中的學生必須要學習和掌握的。有5個模塊。學生在完成了這5個必修模塊的學習之后，再根究個人的興趣和志向決定繼續選修哪些內容。標準中提供了4個選修系列，供學生選擇。選修系列選修系列必修模塊必修中的5個模塊所有學生都要學，選修1和選修2是文理分科必選。另外還要在選修3選修4里面任選一定數量的專題學習。具體怎么選，目前各地的要求也不一樣。高中數學課程標準已經頒布多年，老師們對每個模塊里是什么內容已經都知道了，這里就不一一念了。這里想談談當初這樣安排的一些想法，以及從這兩年實驗來看，這樣的安排是否合理，和究竟怎樣處理更好？（有人說這樣安排，知識的學科體系、邏輯順序不好，教學中不順手）.分科好還是綜合好？從歷史上來看，很長時間以來高中數學課程是分科安排的，只有從1997年制訂的高中數學教學大綱才是綜合安排的數學內容（這個大綱在2002年又修訂過一次）。年長一點的教師都知道，2000年以前的高中數學教材一共有四冊，代數兩冊，立體幾何一冊、平面解析幾何一冊。因為以前教學大綱中就是這樣安排的，是依據數學的學科體系（分支）安排的。（再早些時候的高中數學分科更細，三角學還單獨安排，那時還沒有統計和概率）分科的安排有一定的好處，就是在教學中可以依照各個學科分支的發展順序教學，知識的前后銜接比較順利，但是也有一定的不足，就是照顧了學科的體系，使得學科之間的橫向聯系不夠。我們在解決現實的實際問題時，經常是需要綜合運用各種數學知識。這就需要我們對數學知識有一個整體的把握，應當融會貫通地理解所學的數學知識，并能夠綜合運用。所以在九十年代制訂的教學大綱中就已經改變了分科的做法，形成了數學知識綜合安排的教學大綱。我們這次課改之前使用的教材，就是依據九十年代制訂的這個教學大綱編寫的。我們這次制訂的高中數學課程標準，從整體上來看是綜合安排的，不是分科安排的。這是繼承了九十年代大綱的改革思想。同時，為了解決選擇性的問題，又把確定下來的所有的內容分割成了模塊。這次教材的編寫，就是完完全全地按照課程標準的安排編寫的，每一個模塊、每一個專題單獨編寫成冊。這樣的安排是否得當，目前從實際情況來看，也是仁者見仁，智者見智。各家都有各家的高招。不過，這里我想說的是，內容順序的調整是可以的，但是不能違背了這次課程標準所提倡的教育思想和教學理念的改革。課程標準倡導的基本理念，除了上面談到的時代性、基礎性、選擇性以外，還要抓什么？.應當體現數學的本質，抓數學發生發展的思想方法，抓知識的來龍去脈和相互聯系，抓學生的主動學習和理解，抓學生思維能力、實踐能力的提高。例如，函數的教學，一開始主要是讓學生認識和理解什么是函數，以幾種基本的初等函數為例，介紹函數的概念和性質，而不是直奔解答有關函數的一些具體的技巧問題（理解定義域的概念，而不是處理求定義域的種種技巧問題）。又如，在必修課程中有關統計的教學，主要是介紹統計的思想和基本方法，而不是把重點放在解答統計問題的一些計算上。新課程的實施給教師提出了更高的要求。要使學生理解數學的本質，教師就得需要對數學的本質、來龍去脈更加熟悉，講課時也不能像以往那樣按照教科書照本宣科，而需要掌握較多的有關資料，更多地引導學生探索和思考。我們在教學中要注重數學本質。我們知道，形式化是數學抽象、概括、精練、嚴謹的突出表現。但是，我們在教學中不能從形式化到形式化，要注意通過數學產生和發展的背景，向學生展示數學的來龍去脈。要講推理，更要講道理。在學生對于數學的本質有了體會和理解的基礎上，適時地進行適度的形式化。對于有些數學內容，讓學生經過適度地自主探索，理解數學的概念、結論逐步形成的過程，將有助于學生真正地理解和運用所學的知識，將有助于培養學生的獨立思考、發明創造。新課程倡導學生積極主動、勇于探索的學習方式。課程標準要求，學生的學習方式，不應僅僅限于接受、記憶、模仿和練習，還應提倡主動探索、動手實踐、合作交流。這些不同的多種學習方式，應當貫徹于各個數學內容的教學過程之中。另外，課程標準中還單獨對數學探究活動提出了具體要求。注重提高學生的數學思維能力。這是數學教育的基本目標之一。新的課程標準自始至終貫徹著對于學生思維能力的培養。思維能力不僅局限于邏輯推理能力，經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括的過程，進行符號表示、數據處理、運算求解、演繹證明、反思建構都是數學思維能力。注重聯系實際，發展學生的數學應用意識。高中數學課程應提供基本內容的背景，反映數學的應用價值，力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活和其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學的創新意識和實踐能力。為此課程標準中第一次對數學建模提出了具體要求。新課程還提出了學習數學文化的要求，有助于學生認識數學與人類社會發展之間的相互作用，體會數學的價值，開闊視野，激發原創的動力，受到優秀文化的熏陶，提高學習數學的興趣，培養正確的情感態度價值觀。新課程還提出，要注重信息技術與數學課程的整合。在適當的時機，針對適當的內容，信息技術與數學課程有機的整合，將有助于學生把更多的精力集中在了解數學的本質和數學的來龍去脈上，更加容易地處理計算復雜的問題。下面我們來看一看課程標準中必修課程和選修1、選修2系列的內容和要求。二、關于5個必修模塊和選修1選修2系列.與2000年大綱相比增加的內容（有的是以往高中數學沒有的）算法初步（必修3）（1）在新課程里引入算法內容，是考慮到當今社會中計算機科學的廣泛發展和應用。現在我們的工作和生活中，幾乎沒有地方用不到計算機的。衣食住行，通訊（電視、電話、網絡）、交通（汽車、飛機）、生活（微波爐、電飯煲、洗衣機）、工作（數控機械，信息辦公系統），到處都在運用著計算機技術。“算法是計算機科學的基礎”。作為一個現代人，我們應當了解計算機工作背后的一些簡單原理。而對這些簡單原理的了解，也會幫助我們更好地使用這些應用了計算機技術的工具和設備。（2）同時，學習一些簡單的算法知識，也可以幫助我們學習數學和解決一些數學問題。首先，學習算法有利于培養學生的思維能力。算法一方面是具體化、程序化、機械化的，另一方面又具有抽象性、概括性和精確性。對于一個具體的算法來說，從算法的分析、設計，到算法語言的實現，任何一個細小的錯誤或疏漏，都會造成整個算法的失敗。這和我們在數學學習中的要求是一致的。它將培養學生更加細致地、周密地考慮自己所面對的任何一個問題（無論是數學中的，還是生活中的），養成一種良好的思維習慣。所以也可以說，我們要培養學生的邏輯思維能力，不僅可以通過幾何論證、代數運算，也可以通過算法的學習。另外，算法既重視“規則”，更重視“算理”。對于一個具體的算法語言來說，它有一步步的程序步驟，要遵照一定的語言規則來設計編排，同時又要使這些語言的編排具有算理的依據。這些依據則是數學的分析和判斷。比如說，我們教材里介紹條件語句時，有一個例題是編寫一個程序，排列任意給出的三個整數，就需要把先比較其中的兩個整數哪個大一些，然后“是”如何，“否”如何，這樣進行下去。這樣“是”與“否”的判斷，以及怎樣比較的順序安排。就需要經過數學的分析，也就是要遵循數學的“算理”。這樣的學習更帶有研究性，更有助于學生對知識的理解，以及探究精神的培養。當然，如果學生能夠把學到的算法應用到新學的數學內容中去時，就更能幫助他們認識所學的數學方法，并解決一點兒數學問題。比如說，在學習函數與方程的關系之后，運用二分法解決求方程的根的問題。（3）必修課程中算法初步的內容和要求。5這次安排算法初步的內容，與信息技術課程中的要求不同。其重點在于對于算法思想的理解，而對于算法語言和編程的要求不宜很高，只是體會一下其思想，并做一些簡單的嘗試即可。它不同于信息技術課程中的算法語言教學。首先，應當使學生了解算法的含義，體會算法的思想，通過具體實例使學生理解算法。算法是可以指令計算機來完成的一套解決問題的程序步驟。這些步驟是明確、有效的，并且能在有限步之內完成。然后，通過具體實例，說明在設計一個具體的算法時，可以使用程序框圖先把整個算法步驟的框架勾畫出來。這樣可以更直觀、更明確地確定整個算法的邏輯順序，為制訂具體的算法步驟細節打好基礎。課標在這里的要求是“通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程”，“在具體問題的解決過程中，理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環”。至此，在了解算法的含義，體會算法思想方面，學習的任務基本上可以說是完成了。在研制課標的時候也曾討論過，是否要講一點兒計算機語言。最后還是決定介紹一點兒語言。因為只有結合語言進一步再做一點兒真正的東西，解決一點兒簡單的問題，學生才能真正體會到算法的作用。接著，課標要求在程序框圖的基礎上，介紹一些簡單的計算機能夠實現的算法語言。那就是輸入、輸出語句，賦值語句，條件語句和循環語句，進一步體會算法思想。教學中應當注意，不要把算法初步的教學當成計算機算法語言的教學，主要是通過一些實例，說明怎樣由數學問題的解答轉化成計算機算法，在這樣的過程中體會算法的思想，以及運用算法指令計算機解決問題的過程。條件好的學校也可以指導學生真的編寫一些簡單的程序，解答一些簡單的問題。我個人認為，考察學生對算法初步的理解和掌握，應當以學生能否把解決一些簡單問題的步驟翻譯成為算法的步驟，設計成合理的程序結構為主，而不要涉及解決復雜的數學問題。框圖（選修1-2）在選修系列1-2中，還有一個教學內容叫“框圖”。實際上，在必修課程中學過了算法中的程序框圖以后，學習選修中框圖的內容就不難了。這部分內容實際上是比算法的程序框圖更廣泛的一種邏輯關系表示法。除了可以表示數學中解決問題的步驟以外，還可以表示其他很多工作和研究對象的邏輯關系。課程標準中提到了兩種框圖，流程圖和結構圖。其實兩者之間也沒有什么絕對的區別，大概是流程圖較多地涉及解決問題的前后步驟，而結構圖較多地設計研究對象彼此之間的相互聯系吧。學習框圖這部分內容，可以使學生學會用框圖的各種符號更好地表達各種關系，使學生的表達更清晰，更有條理，更容易讓他人理解。框圖的教學可以使數學在更多的領域里發揮作用。框圖安排在選修1-2,說明志向于文科的學生也應掌握這部分知識，選修系列2中沒有安排，也不是說就不重要，可以滲透在其他各種數學教學的過程之中。這部分內容的分量不多，教學也比較容易。常用邏輯用語（選修1-1、選修2-1）常用邏輯用語在選修1和選修2系列中都有，要求也基本相同。相應的內容在以往的教學大綱是放在“集合與簡易邏輯”里面的，內容范圍也稍微小一些。另外，在課程中有關內容先講與后講，教學的側重點也有所不同。在以往的大綱中講簡易邏輯，主要限于解決數學中的邏輯關系，為后續的數學學習中的表達和交流做一點兒準備。課程標準把邏輯用語的內容放在選修系列開頭來講，可以結合已學過的數學內容來展開，避免了一開始就抽象地講邏輯知識的枯燥性。同時，盡管在教材中所結合的例題和練習多是數學問題，在研制課標時還設想，有時也可以把范圍放得更寬一些，使學生通過這樣的語言熏陶，在日常生活中也能經常使用常用邏輯用語進行表達和交流，使自己的語言表達更加準確、清晰、簡潔，更加有根有據、有條理性和說服力。這些（說話的條理性和邏輯性）也反映著一個人的文化素養高低。教學中應當注意，引導學生在針對具體問題的表達過程中，準確地使用邏輯用語，糾正使用中的錯誤，體會使用邏輯用語的優越性（準確、簡潔、明了）。不要抽象地解釋邏輯用語，也不要求記憶和使用真值表。對于命題和四種命題的關系，以及充要條件的教學，應當注意結合具體實例（數學的、生活實際的）進行解釋，不要抽象地進行解釋和記憶定義，并在以后的數學學習中經常運用，逐步加深理解（抽象地記憶若p則q，若q則p，若非p則非q等等，是搞不清楚，也記不住的）。我想這里要讓學生結合較多的實例多說多用，在說和用的過程中進行具體的思考和判斷，檢查自己或他人的表達是否正確、清楚、簡潔。對于邏輯聯結詞（且A、或V、非1）全程量詞（對于任意W）和存在量詞（至少存在一個三）的教學，也要結合實例進行，多說多用。另外，這里還要注意引導學生正確地使用有關符號，養成簡潔書寫表達的好習慣。例如，A、V、1、V、三、￡、門、口等。關于常用邏輯用語的教學和要求，在介紹教材時還要進一步講，這里不多解釋了。7推理與證明（選修1-2、選修2-2）推理與證明在選修1和選修2系列中都有。除了選修2中多了數學歸納法之外，其他的內容基本相同，只是在部分例題、習題和難度要求上略有區別。在選修系列單獨安排“推理與證明”，更加突出了推理與證明在數學中的重要性，加強學生對推理與證明的認識，加強思維能力的培養，講證明的必要性，促進學生平時在生活中自覺地進行推理和證明，養成這樣有根有據地思考問題、分析問題的習慣。以往只在解答具體的問題中講怎樣證明，講各種不同的證明方法，很少對這些證明的思想和方法進行概括總結。現在在高中數學課程中，把推理和證明集中起來，系統地分析這些推理和證明的思想和方法，以加深學生的認識。在教學過程中也不是抽象地講，而是通過具體實例的推理證明，進行總結和體會。過去多是講推理和證明的技巧方法，現在著重講為什么這樣的證明是必要的合理的。以往在數學課程里，我們講推理主要是講演繹推理。早些時候的教學大綱就是提“培養學生的邏輯思維能力”，最近這些年大綱中把“邏輯”兩個字掉了，提培養學生的思維能力，就比原來寬泛一些。大概是受長期提培養邏輯思維能力的影響，實際教學中大家對邏輯思維能力關注得比較多，關注其他的思維能力比較少。這也和我們以往的數學教學方式有關，大多是從概念定義出發，進行邏輯推理（即演繹推理），講形式化的數學比較多的緣故。再加上考試的影響，實際教學中關注各種證明的技巧較多，認識推理證明的思想不夠。新的課程標準中講推理，不僅包括邏輯推理，還增加了合情推理的內容。過去人們常常認為演繹推理和邏輯證明才是數學的標志性思維方式，是數學的特征，實際上數學的發現和分析過程中也經常用到合情推理，人們在日常生活和其他學科的學習研究中也經常用到合情推理。合情推理往往是人們發現問題、總結規律，研究和發展各種科學常用的手段。合情推理是根據已有的事實或正確的結論（包括以前的定義、公理、定理、性質），或者是實驗和實踐活動的結果，個人的經驗和直覺感悟進行的推測和推理。關于合情推理，波利亞在《數學與猜想》一書中寫到：“數學的創造過程是與其他的知識的創造一樣的，在證明一個定理之前，你先得猜測這個定理的內容。在你完全作出詳細的證明之前，你得先猜測證明的思路。你要先把觀察到的結果加以綜合，然后加以類比，你得一次又一次地嘗試。數學家的創造性成果是論證推理（演繹推理），即證明。但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍微反映出數學的發明過程的話，那么就應當讓猜想、合情推理占有適當的位置。”波利亞還說：“論證推理是可靠的、無疑的和終結的。合情推理是冒險的、有爭議的和暫時的。它們相互之間并不矛盾，而是相互補充的。”由此可以看出合情推理的重要性，以及它與演繹推理的不可或缺。特別應當指出的是，今天培養學生的合情推理能力，對于培養國家急需的創新型建設人才，更加具有重大的現實意義。在課程標準和教材里面涉及的合情推理的方法主要有兩種，歸納和類比。歸納是由個別到一般（或由部分到整體）的猜測和推理，類比是由特殊到特殊的猜測和推理。在教學中一定要結合實例，說明推理的根據和步驟，說明它是一種可行的推證方法，同時也要說明它不一定是可靠的。都要舉實例來說明。演繹推理是大家都比較熟悉的，這里主要是給學生講清“三段論”的關系。最后讓學生回憶比較一下合情推理和演繹推理，并想一想為什么演繹推理的結果總是正確的。關于證明的內容主要是對證明方法的整理，分析我們在證明一個問題時可以從什么角度入手，怎樣去想、去尋找解決問題的證明方法。這里講的證明只限于數學里的證明，也就是邏輯推理的證明，不是指一般的實驗證明和實踐證明。有直接證明（綜合法、分析法）和間接證明（反證法）。大家對這些都很熟悉，這里就不多講了。最后，在選修系列2-2的推理與證明一章里，還教學了數學歸納法。它是一種特殊的證明方法，但是在數學中用處很多，應用于與整數序列有關的數學問題。講好數學歸納法，關鍵是使學生通過具體例子，弄清怎樣證明相鄰兩項的“銜接”問題。學生理解了為什么要證明這個“銜接”，也就學會了數學歸納法的思想方法。除此之外，學生可能做過多少證明，也不明白自己在干什么。統計案例（選修1-2、選修2-3）關于統計內容的教學，新課程把它分成兩部分來講。在必修課程中，統計的教學重點有變化，主要是突出統計思想。后面再具體講。除了必修課程中統計的教學思想有變化以外，在選修課程中還增加了統計案例內容。通過不同的典型案例，介紹在統計工作中幾種常用的具體方法，以加深學生對統計思想（用統計的方法分析、解決實際問題）和方法的認識，認識統計方法在決策中的作用。注意，這里仍然是為了加深學生對統計思想和方法的體會和認識，并不要求學生掌握各種具體的統計方法。主要是為了培養學生對數據的直觀感覺，認識統計方法的特點（統計工作實際上是通過已知的部分數據對整體進行估計，而這種估計的結果有隨機性，因此我們所做的統計推斷可能會犯錯誤），同時統計方法又是一種很重要的分析和決策方法，有時我們不得不去使用它（比如氣象預報）。使學生體會統計的意義，統計方法應用的廣泛性，體會統計方法中蘊涵的數學思想，不要錯誤地認為統計就是套用公式、機械地計算。統計案例的教學，主要是讓學生更多地見一見統計有哪些具體方法，加深對統計思想方法的認識和理解。對所介紹的幾種常見的具體統計方法的要求都是“了解”，課標中要求的“能初步應用”（P47、P63）,從目的前教材實驗來看，也就是讓學生在數學建模的活動中，模仿著教材中的案例試著做一做（不好納入考試）。課程標準介紹了四種常見的統計方法，獨立性檢驗、假設檢驗、聚類分析、回歸分析。后來在編寫和審查教材的過程中，有關專家感到其中有些典型案例，對于大眾來說并不是常見的，一般的高中學生接受起來可能會有困難，在多數學校里教學可能困難較大，建議適當降低一些要求。所以，在人教版的選修1-2和選修2-3教材中，目前只保留了用回歸分析和獨立性檢驗兩種基本思想，來進行統計分析的典型案例。這些案例的教學方法和教學要求，在教材介紹中會具體講到，這里不多講了。2.與2000年大綱相比，教育思想和教學要求有變化的內容集合（必修1）在必修1里，一開始就教學集合的知識，主要是為后面學習數學時說話方便，表達準確、清晰、簡潔做準備。這里的要求是作為語言來學習和使用，不涉及更深的集合理論知識。在這段學習中，課程標準的要求是，使學生能夠針對不同的情況，選擇不同的語言（自然語言、圖形語言、集合語言），對所研究的對象進行描述、表達和交流。首先是了解集合的含義和表示（列舉法、描述法），知道集合與元素之間的關系（屬于），集合與集合之間的關系（包含、子集、全集、空集）理解集合的基本運算（并集、交集、補集），并且會用文氏圖表示。符號化是數學的顯著特點，在教學集合語言時，要讓學生學會運用符號表示的集合語言，并且能夠正確、恰當地使用。這里主要是理解、會用即可，沒有必要講得太多，更多的練習和掌握主要還是在以后的學習中，要經常使用集合的語言。10函數（必修1）函數和方程是初等數學教學中的重頭戲，是中學數學的一條主線。從必修課程中進一步在初中學習的基礎上研究函數，到函數與方程的關系，到數列和不等式的學習，再到后面選修系列中的微積分初步知識（導數），都與函數有關。為什么要學習函數？一方面因為函數是刻畫現實世界運動變化的數學模型，是解決實際問題的有力工具，學習函數可以幫助學生認識數學的廣泛應用性，提高應用數學的意識，這對學生的今后發展無疑是有意義的。另一方面，通過函數的學習加深學生對于數學本質的認識，提高學生的理性思維水平，這比利用函數解決某一具體問題更加重要。在必修1中，首先要講好函數的概念，使學生真正理解函數的本質。接著講基本初等函數I,以對數函數和指數函數為例，介紹怎樣研究函數和函數的性質。這是最主要的內容。然后再介紹一些函數與方程的關系，以及函數的一些簡單的應用。課程標準在課程目標的第一條就明確指出（P11）:“獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景和應用，體會其中所蘊涵的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用。”因此，按照新課標的要求，最好是讓學生通過豐富的實例，經歷抽象概括函數模型的過程，來體會函數是應變量隨著自變量的變化而變化的重要數學模型，要使學生體會到變化的過程和對應關系。體會建立函數模型解決現實問題的思想和方法。怎樣加強學生對函數本質的理解呢？函數的本質是一種特殊的對應關系，是數集到數集上的映射。但是對于高中學生來說，從具體數量關系的對應講起，會比給出映射的概念，再用映射的概念去定義函數，要更加容易理解其本質。從以往的函數教學看，一個現實的困難是初中和高中的銜接。經驗表明，不少學生是在高一學習函數的過程中掉隊的。進入集合與函數，數學的難度似乎一下子增加了。抽象的數學概念，嚴謹的數學語言，深刻的數學思想，靈活的數學方法，使得一些學生感到不適應。符號的表達也是難點之一，從尸X到y=f（x），再到f（x）=x。于是高一第一學期，一些學生是在不知不覺、似懂非懂的狀態下被動地走過來的。克服這些障礙，一直以來是高中數學教學面臨的課題。因此，這次編寫的人教版教材，教學函數是先結合實例，介紹函數的概念，等學生對函數的意義比較了解以后，再推廣到一般的映射概念。這樣的安排，既可以減緩學生接受的難度，又有助于學生通過較多的實例，了解函數產生的背景，體會函數所蘊涵的思想，理解函數的本質。在引導學生體會函數是描述現實世界事物變化規律的數學模型11時，要通過較多的不同實例，讓學生歸納、分析和體會，區別什么樣的對應關系是函數，什么樣的不是。這是函數教學中比較大的變化。在學習了函數的基本概念和基本性質之后，再介紹幾種常見的初等函數，指數函數、對數函數和冪函數。大家可能已經注意到了，課程標準中把它們叫做“基本初等函數I”，后面還有“基本初等函數n"。之所以這樣稱呼，是為了使我們在教學中更加關注函數本質的教學，是通過幾種具體的函數模型，繼續研究函數的對應關系，以及不同的函數具有不同的性質。由此一步一步地螺旋上升，加深對函數本質的理解。另外，有關函數內容教學比較大的另一個變化，是加強了與其他知識之間的聯系。這些聯系包括與方程、不等式和算法的聯系。比如，課程標準要求結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程的根的存在性，從而了解函數的零點與方程的根的關系。又如，讓學生根據具體的函數圖象，借助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解，與算法的學習相呼應（或為算法教學做準備、或在講完算法之后試著編程來解答）。課程標準在函數的模型及其應用方面，也比以往有較大的加強。除了與數學的其他內容相聯系，用來解決有關的數學問題之外，函數還是數學建摸的重要載體。課程標準中要求學生收集生活中普遍使用的函數模型實例，了解函數模型的廣泛應用，有條件的話還可以做一些應用函數進行數學建摸的活動。與以往的大綱相比，在函數教學中還在以下幾個方面的要求有所減弱。一個是減少了對定義域和值域的繁難計算（以往為應付高考這里增加了很多人為繁難技巧的計算，沖淡了對函數本質理解的教學），一個是減弱了反函數的教學，只要求知道指數函數和對數函數互為反函數，不要求形式化地討論一般的反函數定義，也不要求求已知函數的反函數。還有一個是將復合函數的內容放到選修系列的“導數及其應用”中再教學。三角函數（必修4、必修5）這里一個是講三角函數概念和性質，作為基本初等函數教學的繼續（基本初等函數n）,另一個是講三角函數的應用，數學上的應用（三角恒等變換）和實際應用（解三角形）。這里講三角函數，首先應突出它是函數，突出它的函數思想。三角函數是描述現實世界中具有周期性變化的數學模型。（以往教學進入形式化很快，然后完全陷入推導證明中）在必修4里第一段三角函數的教學（課標里叫做“基本初等函數n"），是繼必修1之后再次研究函數，而且這種函數除了單調性、最大（最小）值和奇偶性12之外，還有一個獨特的和非常有用的特性（周期性）。與以往不同的是，教學的重點除了定義任意角的三角函數、同角關系式和誘導公式之外，還應放在突出函數模型的認識上來。特別是在學習了三角函數的性質和圖象，以及函數尸Asin（3x+中）的圖象特點以后，應當密切聯系實際，認識三角函數的周期性是現實世界中很多周期變化事物的數學模型（教材中與章前引入的導言相呼應）。從課程標準的要求也可以看出教學重點的變化。只講正弦、余弦和正切，沒有余切、正割和余割。同角關系式只講了兩個。誘導公式也只講最基本的。還有，把三角恒等變形和解三角形另外安排，反三角函數也沒有出現（以前解三角形還要求用反三角函數表示角）。為的就是在這一段（基本初等函數H）的教學里，突出對三角函數是描述周期變化的數學模型和具有廣泛應用的認識。在必修4的最后一段，有關三角函數的內容是三角恒等變換。這里安排的三角恒等變換，是為了給學生以后的學習打基礎，要求不是很高。課程標準中寫了三條"32）。（1）經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用。（2）能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。（3）能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。從上述課程標準的要求，可以很清楚地看出這段教學內容的教育價值和教學要求。一個是向量的應用，體現了對數學知識的綜合理解和應用。一個是減少了教學內容，積化和差、和差化積，還有半角公式都沒有作為教學內容提出。還有一個是最重要的，那就是突出了對學生自主學習、探究、思維能力的培養。有人說，有些內容說不要求，實際都要求了。這要看我們是怎么要求的，要求的側重點是什么。在教學完兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之后，二倍角的正弦、余弦、正切公式是引導學生自己推導的。接著，課標和教材又安排了運用這些公式進行一些簡單的三角恒等變換。這里的恒等變換要求比以往的教材要求有所降低，不要求很繁雜的恒等證明，積化和差、和差化積的推導證明是包括其中的（不要求記憶，也就是不要求用這些公式去做更深層次的恒等證明）。13還有一部分有關三角函數的內容是解三角形。它是三角函數的應用，安排在必修5的一開始，緊接在必修4有關三角函數的內容之后。如果說在必修4中講三角函數是以它的周期性變化的數學模型為主，解三角形的內容就是三角函數的應用，運用三角函數解決幾何中的一些計算問題，運用三角函數探索、解決三角形的邊角關系問題。這是三角函數與其他學科很好的聯系和結合，解決的既有數學問題，也有現實世界中的測量、定位問題。我們要關注到這些，而不要陷入到繁雜的計算里面去。這部分內容包括正弦定理、余弦定理，還有運用這些定理解決一些與幾何計算和實際測量有關的計算問題。我們知道，根據勾股定理，根據三角函數的定義，可以解決直角三角形的計算問題。但是現實的問題當中很多不是直角三角形，如何解決這些三角形中的計算問題。這就引出了對任意三角形邊角關系的探索。關于正弦定理，我們的探索是把任意三角形劃分成直角三角形，再根據三角函數的定義推導出來的三角形邊角關系，正弦定理a/SinA二b/SinB=c/SinC。對于余弦定理，可以從已知三角形的兩邊及其夾角的情況，考慮運用求平面向量的差的方法，引入余弦定理的推導。(這在以往的教材中就有，現在又得到加強)由c=a-b,得|c|2=c?c=(a-b),(a-b)=a,a+b?b+2a?b=a2+b2+2abCosC即c2=a2+b2+2abCosC這樣就加強了數學知識之間的聯系和應用。提高學生綜合理解和運用數學的能力。在正弦定理和余弦定理推導之后，課程安排了解三角形的一些實際應用的例子，主要是解決一些實際測量問題。這些問題也可以讓學生模仿著自己做一做，培養學生解決實際問題的能力。平面向量及其應用(必修4)在必修4中還有一個平面向量的內容。我們知道，速度、力、位移等很多實際生活中的物理量都是向量，在數學中學習向量可以幫助我們更好更方便地研究這些物理量。它的實際應用非常廣泛。我們有必要學習和學好向量的知識。另外從數學的角度來說，向量是代數研究的對象，也是幾何研究的對象，它是溝通代數與幾何的橋梁。這次課程標準把平面向量安排在三角函數的有關內容中間，就是出此考慮。剛才我們已經講了怎樣在推導兩角差的余弦公式和推導余14弦定理中應用平面向量。在教學平面向量時，應當注意多聯系實例，說明向量是刻畫現實世界中既具有方向又具有大小的數學模型，使學生從中感受數學的價值，養成自覺運用這樣的數學模型去研究有關問題的意識。這里關于平面向量的知識，與以前的大綱相比沒有什么變化（向量的基本概念、向量的相等與向量共線、向量的加減和數乘運算、向量基本定理和向量的坐標表示、向量的數量積）。只是把以前大綱要求的兩點間距離公式刪去（新課程中移到“直線與方程”的內容里1線段的定比分點和中點公式刪去了、（平面坐標系中的）平移公式刪去了。立體幾何（必修2、選修2-1）在高中新課程中，立體幾何內容分成兩個層次教學。第一個層次在必修2中，叫做“立體幾何初步”，主要是使學生通過直觀感知、操作確認，獲得對立體幾何圖形的認識，并通過簡單的推理、論證，認識基本的空間圖形之間的相互位置關系和有關性質。更深一些層次的論證和度量，則放在選修2-1中用空間向量的知識來處理。（1）立體幾何初步（必修2）必修2中的立體幾何初步又分成了兩個部分。第一部分是空間幾何體，第二部分是空間中點、線、面的位置關系。內容的安排遵循了從整體到局部、從具體到抽象的原則。在第一部分，空間幾何體的展開，是先讓學生觀察現實生活中的一些簡單物體的形狀，在觀察中發現并且認識它們形狀的結構特征，抽象出各種空間幾何體（柱、錐、臺、球），并認識每一種幾何體中各部分的特征和相互關系（平面、曲面、頂點、棱、三角形、多邊形、平行、垂直等等）。這里的認識還只是處于直觀感知，描述的語言也是義務教育階段學習的知識和生活中的自然語言。因為這時還沒有給出空間中線、面的定義和相互關系確切的表述。這樣做的目的是使學生從身邊熟悉的物體開始，認識空間圖形，把抽象的數學內容和具體的實物聯系起來，有助于后面抽象地研究和討論數學中形式化了的空間幾何知識。接著介紹平行投影和中心投影，使學生了解空間圖形在平面上的畫法，學會畫出簡單的立體圖形。這里還要求學生能夠認識簡單的空間幾何體的三視圖，能與相應的實際物體或直觀圖相互轉換辨認。上面所說的通過觀察實物直觀感知，以及畫出與識別立體圖形，這兩項教學非常重要。它們是后面研究抽象的立體幾何知識的基礎。這次課程標準的要求，把這兩項放在立體幾何學習的最前面，反映了一種改革的理念。數學學習應當盡15可能地從數學發生發展的實際背景出發，使學生的認識建立在豐富的具體形象的實例基礎上，而不是建立在一個個抽象定義的基礎上。幾何學的學習當然就更應該如此。為什么說畫圖也很重要？它的作用不在于畫圖本身，不是要求學習制圖，不是說要畫的如何漂亮，而是通過畫圖和識別，為后面學習時的看懂圖形、進行分析討論和證明打下良好的基礎。（很多學生立體幾何不好就是因為看不懂圖）空間幾何體這一部分還有一個內容，學習柱、錐、臺、球的體積和表面積的計算公式和簡單應用。這大概就是為了在認識了空間幾何體之后，聯系實際，進行一些簡單應用，體驗學習立體幾何的價值的一部分吧。在以上基礎上，學習立體幾何初步的第二部分，空間點、線、面的位置關系。關于空間點、線、面的位置關系，課程標準提出的要求有三條。第一條，“借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面位置關系的基礎上，抽象出空間點、線、面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據的公理和定理。”一共有四條公理和一個定理（見課標P20）第二條，”以上述定義、公理、定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辯論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質和判定。”四個判定定理（見課標P20-21）“通過直觀感知、操作確認，歸納以下性質定理，并加以證明。”四個性質定理（見課標P21）第三條，“能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。”這里內容比以往大綱里要求的內容少了很多，要求的層次很明確（公理是感知和了解，性質定理要求邏輯論證，判定定理只要求直觀感知、操作確認、思辯論證，嚴格的證明放在選修2-1用向量處理）。這些后面介紹教材時還要詳細講，不多說了。需要特別指出的是，立體幾何的教學重點是幫助學生逐步形成空間想象能力，要達到這個目的，就必須讓學生參與這些知識的發生、發展和應用的全過程。以往的教學注重形式化較多，現在的理念就是要接頭續尾，注重過程。因此，新的課程標準強調在學習立體幾何的定義、公理和定理時，一定要借助實物或者模型，比如一個長方體的框架，來幫助學生理解所學的內容。要真正地理解，防止空對空地講解和背誦這些結論。要使學生在學過這些內容之后，能夠聯系實際，對照圖形進行說理，能夠準確地運用數學語言表述幾何對象的位置關系，并能夠對一些簡單的空間圖形問題進行推理論證。（把合情推理和演繹推理結合起來）在必修2里有關立體幾何的證明都是基本的和簡單的，重點是讓學生理解和掌握幾種簡單空間幾何體的特征，以及空間中直線和平面一些基本的位置關系，16對證明的要求不高，內容也少了很多（比如沒有三垂線定理）。（2）空間向量與立體幾何（選修2-1）選修2-1里空間向量與立體幾何這部分內容，主要是以講空間向量為主，然后應用空間向量證明一些立體幾何問題。向量的教育價值前面已經講過，空間向量的重要性也是如此。鑒于用綜合法證明立體幾何中的問題歷來是個難點，這里用空間向量證明是新的嘗試（在2002年大綱里就曾經嘗試過，現在作為選修中的正式要求）。在已經學習過的平面向量的基礎上，教學空間向量并沒有什么困難。其內容包括：空間向量的基本概念、空間向量的加減和數乘運算、空間向量的相等與向量共線、空間向量基本定理和坐標表示、空間向量的數量積。只不過是從二維的向量變成了三維的向量，只要在平面向量的基礎上推廣即可。最后，應用向量方法證明或計算立體幾何的一些問題，算是向量的實際應用。當然，用向量證明立體幾何問題的深度，也不應當是無底洞。因為用向量方法證明或計算幾何問題時，還有一道難關，就是要適當地建立坐標系，并且把具體的線段（量）轉化為向量。所以，涉及的問題不能過于繁難，練習的數量也不要太多。還是以讓學生體會向量的作用，了解運用向量解決問題的思想，以及向量與其他數學知識的聯系為主。具體的要求在教材介紹中還會詳細講到。平面解析幾何（必修2、選修1-1、選修2-1）（1）平面解析幾何初步平面解析幾何在新的課程里也是分成兩個層次教學。第一個層次在必修2中，課程標準里叫做“平面解析幾何初步”。第二個層次在選修1-1和選修2-1里面分別處理。在必修2中，又分成兩大塊，直線與方程，圓與方程。按照課程標準的要求，“在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的思想。"（見標準P22）解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，它溝通了代數與幾何的聯系，體現了數形結合的重要數學思想。按照課標的要求，這段學習應當讓學生經歷將幾何問題代數化、處理代數問題、分析代數結果的幾何意義、解決幾何問題等幾個過程。無論是討論直線與方程，還是討論圓與方程，都要抓住幾何圖形代數化以后的幾何要素（用代數語言描述的幾何要素）。在直線與方程里，需要抓住的幾何要素就是直線的傾斜角，翻譯成代數語言就是直線的斜率。借助直觀的幾何圖形（讓學生觀察圖形，直角坐標系中的直線），我們知道兩點確定一條直線，也就確定了它的傾斜角。根據這兩點的坐標，可以17求出這條直線的斜率。抓住了直線的斜率，就可以通過斜率描述一條直線的傾斜度（傾斜角），討論兩條直線的平行、相交和垂直等位置關系。有了直線的斜率（在幾何中就是直線的傾斜角，或是說直線的方向），再加上一個條件（直線上的一個點，或是知道兩個點），就可以確定這條直線。教學直線的點斜式、斜截式、兩點式時，應當結合坐標系上的圖形，使學生理解用代數方法描述幾何問題時的轉換過程。這就體現了課標所要求的理念，“體會用代數方法處理幾何問題的思想”。從直線的點斜式、斜截式、兩點式方程，到直線的一般式方程，實際上就是代數中的等式變形，經過變形整理得出，直線方程實際就是一個二元一次方程A+By+C=0。如果對方程A+By+C=0再做一些探究，何時它表示與X軸平行（重合），與Y軸平行（重合），就可以使學生反復地理解和體會幾何圖形與代數方程之間的關系。這就叫做加強數學思想方法的教學。不要離開圖形僅限于講解代數式子和方程的推導，或大量地去做由已知條件求方程的練習。關注過程的重點應當放在圖形和方程的關系上。在直線與方程的最后，有“用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標”和“探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離”的內容和要求。目的是進一步反復地加深學生對幾何圖形與代數方程之間關系的理解（點與坐標、直線與方程的對應關系），練習運用代數方法解決幾何問題，即把握平面解析幾何的實質。另一方面，學習兩點間的距離公式，也為后面建立圓的方程做了準備。在圓與方程里也是同樣，需要抓住的幾何要素是圓心和半徑，翻譯成代數語言就是圓心的坐標和圓周的點到圓心的距離長度。教學時也要注意讓學生觀察圖形、回想幾何中關于圓的定義，借助直觀引導學生探索，由兩點間的距離公式，很容易建立圓的標準方程。接著，在圓與方程這一部分里，討論了直線與圓的位置關系，以及圓與圓的位置關系。目的依然是加深學生對解析幾何數學實質的理解，應當使學生明確直線方程與圓的方程聯立的方程組，討論二次方程有沒有解，有幾個解，就是在討論直線和圓有沒有交點，有幾個交點，由此得出直線與圓的位置關系。圓與圓的位置關系也是如此。最后，課標在這一部分里還要求“能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題”。這是新課程理念”發展學生的數學應用意識”的體現。講應用，可以使學生體會運用解析幾何方法解答問題的優越性，還可以做一些本段教學的小結，用解析幾何解決問題的“三步曲”。18在必修2學習平面解析幾何初步的最后，還有一個小小的尾巴（空間直角坐標系）。這樣的安排大概是考慮到，在學完平面解析幾何以后，可使所有的學生都了解對于空間圖形、立體幾何的問題，也可以建立坐標系用代數或向量的方法解決。（因為選擇學習選修系列1的學生，后面沒有機會學習空間向量和立體幾何，而建立這樣的思想對誰都很重要）學習空間直角坐標系也要注意引導學生把圖形和對應的代數表示聯系起來。可以用長方體框架來幫助學生理解空間直角坐標系，探索空間中兩點間的距離公式。（2）圓錐曲線與方程“圓錐曲線與方程”是選修1-1和選修2-1中的內容，是必修教材中解析幾何的延續。在必修2中我們研究了直線和圓的方程，在此基礎上進一步研究圓錐曲線與方程。對于這段內容，選修1-1和選修2-1的處理基本相同，只有細微的區別。圓錐曲線是一個重要的數學模型，教材通過章前圖介紹了圓錐曲線可以由平面截圓錐得到，還講到它的廣泛應用，可以說“天上地下，圓錐曲線無處不在。因此，無論從數學的進一步學習和研究，還是從日常生活和實踐應用來看，學習這部分知識都是非常重要的。“圓錐曲線與方程”這部分內容研究的對象是圓錐曲線，其中圓錐曲線的幾何性質可以從動手實驗和直觀的觀察得到，而進一步深入的定量研究就要依靠對曲線與方程之間對應關系來了解，通過對方程的分析研究，獲得對圓錐曲線的幾何性質的認識。因此，這部分內容的學習，就不只是為獲得對圓錐曲線性質的了解，而是要進一步體會數形結合的重要數學思想。歷史上，正是這一重要的數學思想推動了數學跨越式的革命。在解析幾何誕生后不久，微積分便產生了，這在數學發展的歷史進程中具有里程碑的價值。所以我們說，學生在數學上的進步，本質上不單靠數學知識的積累，而是他們在數學思想與方法上的提升。以往教學與此相關的內容，往往是給學生留下干巴巴的圓錐曲線的定義、它們的標準方程和幾條性質，幾種常見的題型（如直線與圓錐曲線的關系，弦長問題，有關的軌跡問題，極（最）值以及定值問題的討論，含參數方程的討論等等）。而許多學生比較厭煩的是繁雜的計算。在這里問題的來龍去脈被淹沒了，數學思想被沖淡了。課程標準指出，要使學生“了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用”，“經歷從具體情境中抽象出橢圓（雙曲線、拋物線）模型的過程，掌握（或了解）它們的定義、幾何圖形、標準方程，掌握19（或知道）它們的有關性質”。（見標準P41和P53）按照課程標準的要求，這段內容的教學也應盡可能地體現知識的發生發展過程，了解圓錐曲線產生的背景和應用，豐富學生的數學活動，突出數學模型的建立，體現數形結合的思想。要用生動活潑的情境展開教學，并給學生留有更多的思考空間。課標中還介紹了一個在圓錐中用兩個球夾一個公切面的方法構造橢圓的例子。但是，從實際教學方便實施的角度來看，如果從行星運行的軌道，或者橢圓的性質在光學中的實際應用來引入，就需要準備很多相關的知識，比較麻煩。還是通過幾何模型演示和動手畫圖操作的方式展開教學比較好做。這樣也并不違背讓學生直觀感知、操作確認、思辨論證的理念。所以，在這部分內容展開之前，可以用平面切割圓錐模型讓學生觀察，得出橢圓可以從平面切割圓錐來得出的經驗。還有雙曲線、拋物線也可以用平面切割圓錐來得出。使學生獲得它們為什么都會被稱為圓錐曲線的經驗和初步感受。然后，還是用橢圓（雙曲線、拋物線）上的點具有的特征來畫出圖形。再根據勾畫這個圖形時所要求的條件，抽象出橢圓（雙曲線、拋物線）的定義。在以往教學中老師們創造過很多畫圖的工具和方法，這些方法是寶貴的，仍然還可以用。學生經歷這樣的操作過程是必須的。這就是通過數學活動增加的學習體驗。在畫出橢圓圖形，并抽象出橢圓定義的基礎上，根據定義引導學生推導出橢圓的標準方程。然后一步步地研究橢圓的性質。在研究橢圓的性質時還要注意聯系實際，加深學生對橢圓與現實世界聯系的認識，提高學生的應用意識。善于發現問題、尋找規律、運用數學、解決問題。雙曲線和拋物線的教學，也要這樣讓學生經歷整個畫圖、抽象、推導、研究、應用的過程，使學生通過親身經歷，體會圖形和方程的關系，體會數形的轉化、數形結合的思想。選修2-1的“圓錐曲線與方程”的內容，比選修1-1多一些，還有“用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）和實際問題”，和“曲線與方程”兩個內容。解決“直線與圓錐曲線的位置關系”，實際與解決“直線與圓的位置關系”一樣，目的是為了進一步加深學生用坐標法（即代數方法）解決幾何問題的能力，前面已經講過了。最后的“曲線與方程”實際是把學過的圓錐曲線的內容推廣到一般的曲線，使學生知道通過平面上的坐標系，可以用坐標法把曲線和方程聯系起來，曲線上點的坐標都是方程的解，以方程的解為坐標的點都是曲線上的點。由此進行適當的轉換，就可以解決幾何中的問題，或者代數中的問題。進一步強化了數形結合20的思想。不等式（必修5、選修4-5）不等式的內容安排在必修5中。這部分內容在分量增減和教學思想上都有較大變化。首先來看內容，一共有四項：不等關系、一元二次不等式、二元一次不等式組與簡單的線性規劃、基本不等式。刪去了絕對值不等式、分式不等式，以及不等式的證明等內容。在教學思想上，首先是強調要“通過具體情境，感受現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式（組）的實際背景。"（見標準P36）這是以往教學所沒有的。以往高中數學講不等式，主要是形式化的理論定義、推導和證明、解不等式的計算。這次講不等式，首先是明確它是描述現實世界不等關系的數學模型，就像認識和體會函數是描述現實世界事物變化的數學模型一樣。其次，把不等式與函數、方程的聯系起來，并通過函數的圖象（或曲線的圖形）與方程的解（或解集）聯系起來，進一步體會數形結合，綜合理解和運用所學的各種知識。比如，在講一元二次不等式時，就通過觀察分析二次函數的圖象，得出一元二次不等式的解集。并且緊密聯系實際，通過解一元二次不等式，解決現實世界中的取值范圍問題。就像運用一元二次方程解決實際問題一樣。體現數學的價值：從現實中抽象出數學模型，解答數學問題，回答現實問題。再有，通過解二元一次不等式組，解決一些簡單的線性規劃問題，引導學生體會線性規劃的優化思想。線性規劃是數學的一個重要分支，其問題本身以及解決問題的方法，促進了許多數學分支的發展，蘊涵的優化思想是數學中的基本思想方法。這次課程標準把簡單的二元線性規劃問題列入不等式的教學中很有必要，一是顯示了數學的強大魅力，二是體現了數學的豐富多彩、應用廣泛。這種教育價值可以通過讓學生體會豐富的線形規劃案例來獲得。最后，還有一個內容，學習一個較常見常用的基本不等式^〃＜（a+b）/2課程標準將這個均值不等式作為基本不等式列入必修課程，并要求探索和了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題。這里的證明僅限于推導這個基本不等式的證明，這里的應用僅限于與例題類似的簡單的實際問題。不要求更復雜的應用。數列（必修5）數列實際上就是一種特殊的函數。這部分的內容和要求，與以往大綱里的要求沒有什么變化。這里就不講了。21導數及其應用（選修2-2）微積分的內容在我國高中課程里已經是幾出幾進了，其原因除了高考導向的影響之外，主要是定位的問題，大概有三個方面。①僅把大學中的微積分簡化，編入高中教材；②先講極限，把導數作為特殊的極限處理，形式化的極限理論成了學生學習的障礙；③教學的方法有問題，主要是教規則，忽視了對導數思想的認識和理解。因此，出現炒夾生飯的現象，大學不歡迎，中學也感受不到學習微積分的好處。針對這些問題，這次的課程標準采取了一些新的做法。首先要明確高中學習一點兒微積分的初步知識不是大學課程內容下放（不是預科，與其他有些國家不同），而是讓學生接觸一些變量數學的思想。微積分是全面認識數學的一個很好的載體。隨著社會進步和科技發展，無論是高中畢業后上不上大學，都應當對微積分有所了解。尤其是變化率的概念，在現代社會隨處可見（運動速度、種種增長率、使用效率等）。通過研究這些變化率，可以對我們所關心的事物進行分析、判斷和決策，應用非常廣泛。另外，通過學習導數，可以使學生運用導數對已學過的函數進行深一步的研究，更好地理解函數變化的規律（增、減、快、慢、極值等）。同時，還可以使學生認識從平均變化到瞬時變化、從有限到無限的數學思想，為學生從中學數學的學習過渡到大學的學習，在思維方法和思維習慣上做好準備。為了減緩學生學習變量數學的思維坡度，課程標準要求不要從極限開始講起，而是通過具體實例，讓學生觀察、分析具體事物的變化率，由此一步步地引出導數的概念。比如，分析跳水運動員在跳起之后到入水之前運動速度的變化，由逐漸縮短時間間隔，平均速度逐漸趨近于一個常數，引出瞬時速度的概念。使學生經歷這樣的過程，理解平均速度和瞬時速度的區別。通過較多的實例，使學生的理解推廣到一般的平均變化率到瞬時變化率的演化過程。導數的實質就是瞬時變化率，讓學生經歷這樣的過程，就是讓學生認識導數的實質，認識到任何事物的變化率都可以用導數來描述，提高學生的學習興趣和應用意識。同時，這樣的教學過程也可以減小學生學習的難度（不是用抽象的極限定義來研究導數）。在引導出導數的概念以后，在讓學生通過函數圖象，直觀地理解導數的幾何意義。這時通過（演示）觀察，看到當函數自變量的取值趨近于指定的值（Ax趨于0）時，曲線上表示平均變化率的割線就就逐漸趨近于函數曲線上這一點的切線。曲線上這一點的切線斜率就是曲線在這一點的導數。這樣就可以很容易地從切線斜率的大小（切線的方向）看出函數的變化（增、減）。進而結合圖象（看曲線上每一點的切線有沒有變化），可以看出一個函數的導數，也是隨著自變量的變化而變化著（每一點的導數也在變化著），由此引出22導函數的概念。觀察函數圖象理解導數的幾何意義很重要，它為學生進一步理解導數的意義，并把導數和函數、函數的曲線等內容聯系起來，為學生以后運用導數研究函數和曲線，研究圖形的變化，建立了感性基礎。第二部分是導數的計算，選修1-1和選修2-2的要求基本相同，選修2系列的要求稍高一些。開始都是根據導數定義（求Ax趨近于0時，△y/Ax趨近于什么值），推導出y=c,y=x,y=x2,y=1/x的導數。選修2里多一些，還有y=x3和y=Jx。然后，給出一些基本初等函數的導數公式，便于學生應用。（是否需要記憶？按照制訂課標時的想法是只供查閱使用的）接著是介紹導數的運算法則（加減乘除）。這四個公式應當記住.因為在選修2中，還要求學生會求簡單的復合函數的導數（課標中要求僅限于形如/（ax+b）的）關于導數的計算不要搞得太復雜，因為學習導數的重點不在這里，課標里也指出“要避免過量的形式化運算練習”。“導數及其應用”第三部分內容是在研究函數中的應用，還有生活中的優化問題舉例。這些都是導數的應用，有關的教育價值和設置理念前面講過了。有關的內容和要求后面介紹教材時再具體講。在選修2-2里還有一些定積分的內容。記得當時研制課程標準時，安排這部分內容時是考慮到，微積分是數學發展史上的一個重要的里程碑，它的發展和應用對近現代科學技術的發展，起到了巨大的推動作用。無論是從微積分的應用價值、文化價值，還是從它的教育價值來說，有條件的學生都應全面地了解一點兒微積分知識。因為微分和積分本身是一對矛盾。在學習了導數（微分）以后，如果不學習一點積分的話，似乎有些缺陷。特別是有志向繼續學習理科的高中學生，完全還可以繼續學習一點定積分的初步知識。但是，在高中教學積分，也不能像大學那樣，靠形式化的定義和推導來學，也要通過實例，借助一些具體實例的直觀背景，來使學生感受和體驗積分的過程，理解積分的思想方法。教學時，可以通過求曲邊梯形面積的例子，來使學生理解積分的過程。注意引導學生觀察圖形，發現當我們把曲邊梯形沿著縱向不斷細分之后，曲線下所有長條矩形面積的和就逐漸趨近曲邊梯形的面積。由此，在學生已經有了導數（微分）中學習的極限思想基礎之下，理解積分的概念就不太困難了。這樣通過較多的實例，讓學生觀察、體驗、思考，歸納總結出定積分的概念，并給出符號表示法。在學習了定積分的基礎上，課程標準還要求學生進一步了解微積分基本定理。這是一個非常有名的定理，也可以說是一個非常漂亮的定理。它揭示了定積23分和導數之間的聯系，也提供了一種計算定積分的方便的方法。讓學生了解微積分基本定理，可以幫助學生進一步溝通微分和積分的聯系，也可以用它來計算一些定積分的題目。注意：定積分內容對文科學生不作要求，對理科學生的要求也是“初步了解”，具體如下兩條。（1）通過實例，從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。（2）通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義。（見課標P58）最后，講一講定積分在幾何中的應用和在物理中的應用，體會微積分的應用價值，培養學生學習數學的應用意識。另外，由于微積分在數學發展中的文化價值很高，在選修1和選修2里都有介紹有關微積分的數學文化的要求（見課標P42、P58），主要是搜集資料、學習歷史、體會交流，從而提高學生的數學素養和應用意識。統計概率（必修3、選修1-2、選修2-3）在這次高中數學課程標準中，統計和概率的內容比以往受到很大的重視。無論是在內容分量上，還是在教學思想上，都發生了很大變化。這次課程改革，在義務教育階段就增加了很多統計和概率的內容，甚至單獨作為一個領域來學習（現改為四方面課程），足以看出對這部分內容的重視。這是因為統計方法在現代社會中顯得越來越重要了。現代社會里的事物越來越復雜，人們常常需要收集數據，根據收集的數據提取有價值的信息，由此作出合理的決策。而概率是研究隨機事件、隨機現象規律的學科。它所提供的思維模式和解決問題的方法，又為統計學的發展提供了理論基礎。在統計決策中，經常離不開概率的分析和計算。統計是研究如何收集數據、整理數據和分析數據的學科，可以為人們制定決策提供依據。在人類歷史上，有很多事例說明統計和概率思想對人們決策所起的重要作用。比如，18世紀英國政府為了確定如何開展人壽保險業，對各個年齡段人的死亡情況進行了統計分析，提供了重要的科學依據。再如，生物學的發展中，孟德爾的遺傳學理論的建立就依賴于統計分析。再有，如今社會上的各行各業，都離不開統計學。生物統計學、經濟統計學（市場分析）、產品的質量檢驗、醫學上更是用得更多，還有天文、地質、氣象，幾乎人類所有的生活都用到了統計的方法。這就是統計的威力。它可以應用于分析、預測，為人們的決策提供依據。24

我們在教學中就是要突出這種統計的思想，使學生體會統計在人類生活和工作中發揮的巨大作用。同時，我們在教學中也要提醒學生注意，由于很多事物帶有隨機性，所以統計的結果的正確與否也會有隨機性。也就是說，統計對于我們是非常重要的，我們應當善于使用統計方法，同時也要注意它的結果的隨機性。（1）關于統計那么，應當怎樣學習統計的方法呢？課程里要求學生重點體會的是為什么要抽樣、怎樣的抽樣才是科學的，以及怎樣用樣本估計總體。首先，要先讓學生理解抽樣的必要性和重要性。因為在很多情況下，是不能把全體統計對象（總體）都拿來進行統計的，必須進行抽樣統計。而抽樣能否代表所有的統計對象，就要采用科學的抽樣方法（怎樣把湯攪勻，嘗出湯的味道）。這些內容在義務教育階段，學生就已經感受了一些，這里需要再強化一下。比以前的學習更進一步的，是教給學生一些具體的抽樣方法（簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣）。教學中不能只告訴學生這些方法是怎么樣做的，而且還應通過具體的實例，使學生理解為什么這樣抽樣是科學的，什么樣的情況下采用什么樣的抽樣方法更合理。建立了用樣本估計總體的思想之后，再教學一些用樣本估計總體的具體方法。學習用樣本頻率分布估計總體分布、列頻率分布表、畫頻率直方圖、頻率折線圖、莖葉圖。這些方法在以往的高中教材里也都學過，只是今天的教學更加注重讓學生理解應用這樣方法的統計原理及其特點（優缺點）。以往的教學經常是只注意講解方法的步驟本身，而學生往往對自己正在做的是什么搞不清楚，也就失去了學習這些統計知識的意義。莖葉圖是這次新增加的一種方法，比較方便直觀。莖葉圖在統計數據較少時好用，數據多了就不好用了。例如，統計兩個籃球運動員多場比賽每次得分的情況。甲：12,甲：12,15，24，25,31，31，36，36，37，39，44，49，50。乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51。乙：976611教學用樣本的數字特征估計總體的數字特征時，不僅要使學生掌握數字特征25的計算方法，更要注意讓學生弄清楚這些樣本的數字特征所代表的意義，以及運用不同的數字特征時的優缺點（眾數、中位數、平均數、標準差）。例如，用標準差描述一組樣本數據時，可以更好地發現這組樣本數據的分散程度，以確定這組樣本數據所反映的整個統計對象的平均性質。減少我們從樣本的數字特征對統計對象的總體作出估計的偏差。以上這些特征的比較和認識，都要通過盡可能多的實例來讓學生體驗和思考，防止只講例子的計算方法而忽視學生體驗的傾向。關于變量間的相關關系，要注意借助圖形，加強學生的直觀理解。通過在坐標系中作出兩個變量對應數據的散點圖，觀察它們的集中程度，來分析它們是否相關。（注意讓學生理解，這兩個變量不一定就有像函數一樣的對應關系，此處研究的就是其是否有關，怎樣相關）然后，再進一步介紹線性相關和回歸直線的概念，同時介紹一點兒最小二乘法的思想，并讓學生試著求出回歸直線的方程。解題不要太難，著重注意理解回歸思想。具體教學要求，在介紹教材時還會講到。（2）關于概率概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現象和概率的意義。隨機現象在日常生活中大量存在，比如降水概率、感冒指數、體育彩票、風險投資、各種保險等等。這實際上是人們對客觀世界某些現象的一種描述，其中都涉及了大量的數據。面對這些數據，人們就要作出分析和判斷。因此，在不確定的情境中，根據大量無組織的信息作出合理的決策，就成為未來公民必備的基本素養。另一方面，隨機思想實質上是揭示偶然事件的內部規律性的，在利用隨機思想解決問題的過程中，將大量地運用到統計的思想和方法，同時統計決策的過程中也蘊涵著隨機的思想。所以，課程中把概率的內容放在統計之后，作為統計學發展的理論基礎。我們應當注意統計和概率的聯系，以及統計概率知識廣泛的應用。概率的意義是教學的重點，教學中要通過引用日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手實驗，正確理解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性。比如，可以用隨機實驗（擲硬幣的實驗）來引出概率的概念，理解什么是隨機事件，什么是頻率和頻率的穩定性。另外，可以通過澄清日常生活中的錯誤認識（買1000張中獎率是1/1000的彩票就一定能中獎），對于氣象預報中降水概率的解釋等等，說明隨機事件發生的不確定性。然而，由于隨機事件發生的頻率又有著穩定性，盡管它有不確定性，我們也可以用數學的方法來計算它。這就是概率的研究。比如，等可能事件的概率，概率的基本性質和加法公式：0VP（A）V1,若A、B互斥，則P（AUB）=P（A）+P（B）O26這說明學習統計和概率時，仍然要使用研究確定性現象的數學手段，仍然需要抽象概括、運算求解、推理論證。這有助于培養學生綜合運用數學知識、解決問題的能力。古典概型是最簡單的概率模型，學習古典概型可以有助于學生對概率的理解。它是一種很經典的概率模型，在日常生活中有著廣泛的應用。但是，以往的教學沒有很好地突出它所反映的概率思想，經常是只注意到如何計算。新課程要求我們，教學古典概型也要讓學生通過實例來理解它的特征，實驗結果的有限性，和每一個實驗結果的等可能性，并讓學生初步學會把一些實際問題轉化成古典概型來解決。教學的重點不在于學會如何計算上，而是讓學生體會和理解古典概型在處理隨機問題時的作用。幾何概型是這次課程標準新增加的。課程標準中的要求是初步了解。教學時可以通過輪盤游戲來介紹幾何概型的概念。實際就是運用隨機事件的產生所占幾何圖形的長度、面積或體積比例大小來估計概率。學生通過一些實例的介紹，或者是動手實驗（在畫有正方形和內接圓的紙上撒豆子），來了解幾何概型及其應用。課程標準還要求學生了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率（包括用計算機產生隨機數）。這也是本次課程標準新增加的內容。用計算機或隨機數表產生隨機數，可以用于統計中的隨機抽樣，也可以用隨機數做模擬實驗估計隨機事件的概率。所以，學生應當了解什么叫做隨機數，以及隨機數是怎么產生的，為統計概率中的應用做準備。以上是在必修3中關于統計和概率的內容和要求。選修1-2選修2-3的統計內容是這次課程標準新增加的，統計案例前面講過了。在選修2-3中還有一部分概率的內容，是在必修3學習概率的基礎上，繼續學習如何用一些數學的方法去描述某些隨機現象發生的規律。我們知道，隨機現象有結果的隨機性和頻率的穩定性兩個特點。怎樣了解一種隨機現象發生的規律呢？一是可以設法知道這種隨機現象所有可能出現的結果，二是設法知道每種可能的結果出現的概率，然后把所有這些的概率構成一個0到1之間的數列（概率分布列）。有了這個分布列，就可以把這個隨機現象發生的情況搞清楚了。我們在高中里講的隨機現象出現的結果僅限于離散的，這就是課標中要求學生學習的“離散型隨機變量及其分布列”。由于現實世界中的隨機現象形形色色、多種多樣，我們要研究它們也是非常復雜的。所以就采取了數學中常用的方法，分類來進行研究。就像我們研究幾何27圖形，不是逐個地研究每個圖形一樣，而是分成三角形、四邊形等等，去研究不同類型的概率分布列。例如，二項分布、超幾何分布、正態分布等等。課程標準對于學習選修系列2的學生，初步學習和理解這些分布列，并能解決一些簡單的問題。有關的內容和要求，等到教材介紹中再講。長期以來，由于我國在數學教育中對概率統計內容的忽視，很多人認為數學只能研究確定的對象，得出確定的結論。因此對于隨機現象的數學學習就感到比較困難。從現代社會的發展和科技的發展來看，統計概率的作用對人類越來越重要，我們應當像對待推理論證、運算求解一樣，把數據分析也當作人們最普通最必須的數學素養。不過，隨機數學雖然有它自己獨特的思維方式，卻仍然需要使用排列組合、數據演算的確定性的數學工具。二者互相并不矛盾。對于統計推斷得出的結果不一定符合客觀實際，有出錯的可能，運用統計的結果要慎重這些觀念，我們通過不斷地熟悉和理解，逐漸就習慣了。（3）關于計數原理（選修2-3）計數原理的內容在以前的大綱里面也有。過去是放在概率內容的前面，似乎只是為概率的有關計算做準備。現在把它單獨列出來，為的是強調對計數思想的理解。計數是人