廣西壯族自治區河池市小場中學2023年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知sin＝，則的值為A.

B.－

C.

D.－參考答案：B略2.若全集為實數集，集合=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．D．參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體為同底的三棱柱和三棱錐的組合體，代入體積公式計算即可求出體積．【解答】解：由三視圖可知幾何體為直三棱柱和三棱錐的組合體，直棱柱的底面為直角三角形，直角邊為1，2，棱柱的高為1，三棱錐的底面與棱柱的底面相同，棱錐的高為1．∴幾何體的體積V=+=1+=．故選B．4.已知點落在角θ的終邊上，且，則θ的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.函數向左平移個單位后是奇函數，則函數f（x）在上的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：A考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題： 計算題；三角函數的圖像與性質．分析： 根據圖象變換規律，把函數y=sin（2x+φ）的圖象向左平移個單位得到函數y=sin（2（x++φ））的圖象，要使所得到的圖象對應的函數為奇函數，求得φ的值，然后函數f（x）在上的最小值。解答： 解：把函數y=sin（2x+φ）的圖象向左平移個單位得到函數y=sin（2x++φ）的圖象，因為函數y=sin（2x++φ）為奇函數，故+φ=kπ，因為，故φ的最小值是﹣．所以函數為y=sin（2x﹣）．x∈，所以2x﹣∈[﹣，]，x=0時，函數取得最小值為。故選A．點評： 本題考查了三角函數的圖象變換以及三角函數的奇偶性，三角函數的值域的應用，屬于中檔題．6.已知函數的周期為4，且當時，其中．若方程恰有5個實數解，則的取值范圍為

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B7.若關于x的方程有四個不同的實數解，則實數m的取值范圍是（

）A．

B．

C．D．參考答案：C8.函數在內有極小值，則()A．

B．

C．

D．參考答案：C．，令，則或，是極小值點，，9.已知雙曲線的兩條漸近線均與相切，則該雙曲線離心率等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.若曲線與曲線在交點處有公切線，則=A.

-1

B.

0

C.

1

D.

2參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列的前項和為，，且當，時，，若，則參考答案：略12.已知數列是單調遞增的等差數列，從中取走任意三項，則剩下四項依然構成單調遞增的等差數列的概率=

參考答案：13.一個總體分為A，B兩層，其個體數之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個體數是．參考答案：40【考點】分層抽樣方法；等可能事件的概率．【分析】設出B層中的個體數，根據條件中所給的B層中甲、乙都被抽到的概率值，寫出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之間的比值，得到總體中的個體數．【解答】解：設B層中有n個個體，∵B層中甲、乙都被抽到的概率為，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵總體分為A，B兩層，其個體數之比為4：1∴共有個體（4+1）×8=40故答案為：40．14.若拋物線y2=8x的焦點恰好是雙曲線(a＞0)的右焦點，則實數a的值為

．參考答案：1【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】求得拋物線的焦點，雙曲線的右焦點，由題意可得方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：拋物線y2=8x的焦點為（2，0），雙曲線的右焦點為（，0），由題意可得為=2，解得a=1．故答案為：1．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，同時考查拋物線的焦點，考查運算能力，屬于基礎題．15.已知直角三角形ABC中，直角邊AC=6,點D是邊AC上一定點，CD=2,點P是斜邊AB上一動點，CP⊥BD,則△APC面積的最大值是

▲

；線段DP長度的最小值是

▲

．參考答案：;

16.函數的反函數參考答案：答案：

解析：由17.設函數在內可導，且，則在點處的切線方程為____________.參考答案：考點：利用導數研究函數在某點處的切線.【方法點晴】本小題主要考查函數解析式的求法、直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．利用換元法求出函數解析式，先利用導數求出在處的導函數值，再結合導數的幾何意義函數在某點處的導數即為在該點處切線的斜率即可求出切線的斜率．從而問題解決．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過其左焦點且與其長軸垂直的橢圓C的弦長為1．（1）求橢圓C的方程（2）求與橢圓C交于兩點且過點（0，）的直線l的斜率k的取值范圍．參考答案：考點：橢圓的簡單性質．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）把x=﹣c代入橢圓方程解得，可得=1．又，a2=b2+c2，聯立解得即可得出；（2）設直線l的方程為y=kx+，與橢圓方程聯立化為（1+4k2）x2++8=0，由于直線l與橢圓相交于兩點，可得△＞0，解出即可．解答： 解：（1）把x=﹣c代入橢圓方程可得：，解得，∴=1．又，a2=b2+c2，聯立解得a=2，b=1，c=．∴橢圓C的方程為=1．（2）設直線l的方程為y=kx+，聯立，化為（1+4k2）x2++8=0，∵直線l與橢圓相交于兩點，∴△=﹣32（1+4k2）＞0，化為k2，解得，或．∴直線l的斜率k的取值范圍是∪．點評：本題考查了圓錐曲線的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得△＞0等基礎知識與基本技能，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.(16)(本小題滿分13分)一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設為X,求隨機變量X的分布列和數學期望.參考答案：20.（14分）已知函數f（x）=xlnx﹣2x，g（x）=﹣ax2+ax﹣2，（a＞1）．（I）求函數f（x）的單調區間及最小值；（II）證明：f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．參考答案：見解析【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【專題】常規題型；轉化思想；綜合法；導數的概念及應用．【分析】（I）首先對f（x）求導，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；即可得到單調區間與最值；（II）要證f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立，可令h（x）=f（x）﹣g（x），判斷h（x）的單調性即可．【解答】解：（I）由題意f（x）的定義域為（0，+∞），∵f（x）=xlnx﹣2x，∴f'（x）=lnx+1﹣2=lnx﹣1，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；∴函數f（x）的單調增區間為（e，+∞），單調遞減區間為（0，e）；∴函數f（x）的最小值為f（e）=elne﹣2e=﹣e；證明：（II）令h（x）=f（x）﹣g（x），∵f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，∴h（x）min≥0，x∈[1，+∞）．∵h（x）=xlnx+ax2﹣ax﹣2x+2，∴h'（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，令m（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，x∈[1，+∞），則m'（x）=+2a，∵x＞1，a＞1∴m'（x）＞0∴m（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴m（x）≥m（1）=a﹣1，即h'（x）≥a﹣1，∵a＞1，∴a﹣1＞0，∴h'（x）＞0∴h（x）=xlnx+ax2﹣2x+2在[1，+∞）上單調遞增，∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）﹣g（x）≥0，故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立．【點評】本題主要考查了利用導數研究函數的單調區間與最值，以及構造新函數證明恒成立問題，屬中等題．

21.（本小題滿分12分）為了參加學校冬季田徑運動會100米比賽，某班50名學生進行了一次百米測試，以便進行報名選拔，該50名學生的測試成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果