（優選）合情推理歸納推理與類比推理ppt講解第一頁，共四十五頁。華羅庚教授曾舉過一個例子：從一個袋子里摸出來一個紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，我們立刻會出現一種猜想：“是不是袋里的東西全部都是紅玻璃球？”但是，當我們有一次摸出一個白玻璃球的時候，這個猜想失敗了；這時我們會出現另外一個猜想：“是不是袋里的東西全部都是玻璃球？”但是，當我們有一次摸出一個木球的時候，這個猜想又失敗了；那時我們又會出現第三個猜想：“是不是袋里的東西全部都是球？”這個猜想對不對，還必須加以檢驗……從上面的情境中，我們看到了探索活動是一個不斷地提出猜想——驗證猜想——再提出猜想——再驗證猜想的過程第二頁，共四十五頁。已知的判斷新的判斷確定

根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程就叫推理.第三頁，共四十五頁。問題情境11、對自然數n，考查n012345611111331172341都是質數結論：對所有的自然數n，都是質數。第四頁，共四十五頁。2、前提：矩形的對角線的平方等于其長和寬的平方和。

結論：長方體的對角線的平方等于其長、寬、高的平方和。3、前提：所有的樹都是植物，梧桐是樹。結論：梧桐是植物。思考:這三個情境有什么共同特點？這三個情境各什么特點？都由前提和結論兩部分構成推理的結構形式有不同的特點推理第五頁，共四十五頁。推理：從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理.說明：（1）任何推理都包括前提和結論兩個部分；（2）前提是推理所依據的命題，它告訴我們已知什么；結論是根據前提推得的命題，它告訴我們推出什么（3）推理包括：合情推理和演繹推理其中合情推理包括歸納推理和類比推理第六頁，共四十五頁。歸納推理第七頁，共四十五頁。3＋7＝103＋17＝2013＋17＝3010＝3＋720＝3＋1730＝13＋176＝3+3，8＝3+5,10＝5+5,……1000＝29+971，1002=139+863,……

猜想任何一個不小于6的偶數都等于兩個奇質數的和.數學皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想一個規律：偶數＝奇質數＋奇質數第八頁，共四十五頁。哥德巴赫猜想的過程：具體的材料觀察分析猜想出一般性的結論歸納推理的過程：第九頁，共四十五頁。

由某類事物的具有某些特征,推出該類事物的都具有這些特征的推理,或者由概括出的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).部分對象全部對象個別事實一般結論歸納推理第十頁，共四十五頁。例1.蛇是用肺呼吸的,

鱷魚是用肺呼吸的，海龜也是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動物。例2三角形的內角和是,

凸四邊形的內角和是,

凸五邊形的內角和是…例題解析：由此我們猜想:凸n邊形的內角和是所以，所有的爬行動物都是用肺呼吸的。第十一頁，共四十五頁。例3:由此我們猜想:第十二頁，共四十五頁。歸納推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,……Sn具有P,(S1,S2,…,Sn是A類事物的對象）所以A類事物具有P第十三頁，共四十五頁。歸納推理的幾個特點;1.歸納是依據特殊現象推斷一般現象,因而,由歸納所得的結論超越了前提所包容的范圍.2.歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象推斷尚屬未知的現象,因而結論具有猜測性.3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經驗和實驗的基礎之上.歸納是立足于觀察、經驗、實驗和對有限資料分析的基礎上.提出帶有規律性的結論.需證明第十四頁，共四十五頁。歸納推理的基礎歸納推理的作用歸納推理觀察、分析發現新事實、獲得新結論由部分到整體、個別到一般的推理注意歸納推理的結論不一定成立第十五頁，共四十五頁。第十六頁，共四十五頁。（3）地圖的“四色猜想”：數學家猜想，任何地圖著色只需四種顏色就足夠了。直到1976年9月，美國伊利諾斯大學的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了地圖的四色猜想是正確的!他們將地圖的四色問題化為2000個特殊的圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了1200個小時，終于證明了四色問題。第十七頁，共四十五頁。（4）哥尼斯堡七橋猜想：18世紀在哥尼斯堡城的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結，如圖1所示。城中的居民經常沿河過橋散步，于是提出了一個問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。這就是七橋問題，一個著名的圖論問題。第十八頁，共四十五頁。類比推理第十九頁，共四十五頁。

除了歸納，在人們的創造發明活動中，還常常應用類比。例如：2.人們仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發明了潛水艇.1.古代工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發明了鋸．3、火星上是否存在生命？第二十頁，共四十五頁?？赡苡猩嬖谟猩嬖跍囟冗m合生物的生存一年中有四季的變更有大氣層大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的變更有大氣層行星、圍繞太陽運行、繞軸自轉行星、圍繞太陽運行、繞軸自轉火星地球火星上是否存在生命第二十一頁，共四十五頁?；鹦桥c地球類比的思維過程：火星地球存在類似特征地球上有生命存在猜測火星上也可能有生命存在第二十二頁，共四十五頁。..探究試將平面上的圓與空間的球進行類比第二十三頁，共四十五頁。圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓弦直徑周長面積球截面圓大圓表面積體積第二十四頁，共四十五頁。圓的概念和性質球的類似概念和性質圓心與弦(非直徑)中點連線垂直于弦.與圓心距離相等的兩弦相等;與圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦較長.以點P(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.球心與截面圓(不經過球心的截面圓)圓心連線垂直于截面圓.與球心距離相等的兩截面圓面積相等;與球心距離不等的兩截面圓面積不等,距球心較近的截面圓面積較大.以點P(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.第二十五頁，共四十五頁。

由具有，在此基礎上，根據,推出，我們把這種的推理稱為類比推理.類比推理兩類對象某些類似特征一類對象的某些已知特征另一類對象也具有這些特征第二十六頁，共四十五頁。1、進行類比推理的步驟：

(1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；(2)用一類對象的已知特征去猜測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；(3)檢驗這個猜想.2、類比推理的一般模式:所以B類事物可能具有性質d’.A類事物具有性質a,b,c,d,B類事物具有性質a’,b’,c’,(a,b,c與a’,b’,c’相似或相同）觀察、比較聯想、類推猜想新結論第二十七頁，共四十五頁。類比推理類比推理以舊的知識為基礎,推測新的結果，具有發現的功能，啟發思路、提供線索、舉一反三、觸類旁通的作用。由特殊到特殊的推理類比推理的結論不一定成立注意第二十八頁，共四十五頁。1．下面幾種推理是類比推理的是(

)A．因為三角形的內角和是180°×(3－2)，四邊形的內角和是180°×(4－2)，…，所以n邊形的內角和是180°×(n－2)B．由平面三角形的性質，推測空間四邊形的性質C．某校高二年級有20個班，1班有51位團員，2班有53位團員，3班有52位團員，由此可以推測各班都超過50位團員D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶數能被2整除答案：

B第二十九頁，共四十五頁。2．已知{bn}為等比數列，b5＝2，則b1b2b3…b8b9＝29，若{an}為等差數列，a5＝2，則{an}類似的結論為(

)

A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29

C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9

解析：在等差數列中“積”變“和”得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.答案：

D第三十頁，共四十五頁。第三十一頁，共四十五頁。例題：類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想。第三十二頁，共四十五頁。直角三角形∠C＝90°2條直角邊a，b和1條斜邊c3個面兩兩垂直的四面體∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°三個兩兩垂直的面S1，S2，S3和1個“斜面”S例題:類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想。ABCbacs1s3△PEF的面積為SPEs2DF？c2=a2+b2分析：M第三十三頁，共四十五頁?！鱌EF的面積為S下面證明猜想是否成立：過D點作DM⊥EF,垂足為M，連接PM，則PM⊥EFPEDFM第三十四頁，共四十五頁。

變式練習：在三角形ABC中有結論：AB+BC>AC，類似地在四面體P-ABC中有

.PＡＣＢABCS1S2S3△PAB的面積為S第三十五頁，共四十五頁。平面圖形（二維）立體圖形（三維）點點或線線線或面平面直角坐標系空間直角坐標系幾何中常見的類比對象第三十六頁，共四十五頁。幾何中常見的類比對象三角形四面體（各面均為三角形）四邊形六面體（各面均為四邊形）圓球代數中常見的類比對象復數向量方程函數不等式交集，并集，補集且，或，非運算第三十七頁，共四十五頁。數有限相等四面體（各面均為三角形）球面線幾何中常見的類比對象三角形圓向量無限不等代數中常見的類比對象線平面幾何立體幾何點第三十八頁，共四十五頁。例1、試根據等式的性質猜想不等式的性質。等式的性質：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;猜想不等式的性質：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;例題解析：問：這樣猜想出的結論是否一定正確？第三十九頁，共四十五頁。例2類比實數的加法和乘法,列出它們相似的運算性質.類比角度實數的加法實數的乘法運算結果若a,b∈R,則a+b∈R運算律(交換律和結合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆運算加法的逆運算是減法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a單位元a+0=a若a,b∈R,則ab∈Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆運算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/aa·1=a第四十頁，共四十五頁。圓的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓