廣東省湛江市雷州白沙中學2023年高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是兩個命題， (A)充分非必要條件 (B)必要非充分條件 (C)充要條件 (D)既非充分又非必要條件參考答案：B由,解得，由得，即，所以是的必要不充分條件。2.已知等差數列的前項和為，若（

）A．72

B．68

C．54

D．90參考答案：A略3.如圖所示的是一塊兒童玩具積木的三視圖，其中俯視圖中的半曲線段為半圓，則該積木的表面積為（

）A．26

B．26+π

C．26－π

D．參考答案：A該積木為一個柱體,前面為兩個正方形加半個圓柱側面積,后面為矩形,上下為一個矩形去掉半圓,左右為矩形,因此表面積為,選A.點睛:空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．

4.復數的共軛復數是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B,所以其共軛復數為.

5.在等差數列{an}中，若，，則（

）A．8

B．16

C．20

D．28參考答案：C設的公差為，由得，由得聯立解得，所以，故選C.6.命題“?x＞0，＞0”的否定是（）A．?x＜0，≤0 B．?x＞0，0≤x＜1 C．?x＞0，≤0 D．?x＜0，0≤x≤1參考答案：B【考點】命題的否定．【分析】寫出命題“?x＞0，＞0”的否定，再等價轉化即可得到答案．【解答】解：命題“?x＞0，＞0”的否定是“?x＞0，≤0“，又由≤0得0≤x＜1”，故命題“?x＞0，＞0”的否定是“?x＞0，0≤x＜1”，故選：B．7.（12分）在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎券3張，可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎.某顧客從此10張獎券中任抽2張，求：（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得的獎品總價值不低于20元的概率.參考答案：解析：（1）該顧客中獎的概率為：

…6分

(2)方法1：該顧客獲得的獎品總價值不低于20元，有以下三種情形：

該顧客獲得的獎品總價值為20元的概率為：；

該顧客獲得的獎品總價值為50元的概率為：；

該顧客獲得的獎品總價值為60元的概率為：；故該顧客獲得的獎品總價值不低于20元的概率為：.…12分

方法2：可考慮其對立事件的概率：

.…12分8.設實數a，b滿足，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知正項等比數列滿足。若存在兩項使得，則的最小值為(

)（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：略10.如圖，點O為坐標原點，點A（1，1），若函數y=ax（a＞0，且a≠1）及logbx（b＞0，且b≠1）的圖象與線段OA分別交于點M，N，且M，N恰好是線段OA的兩個三等分點，則a，b滿足(

)A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1參考答案：A【考點】指數函數的圖像與性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】先由圖象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根據反函數的定義可以得出y=ax經過點M，則它的反函數y=logax也經過點M，根據對數函數的圖象即可得到a＜b．【解答】解：由圖象可知，函數均為減函數，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因為點O為坐標原點，點A（1，1），所以直線OA為y=x，因為y=ax經過點M，則它的反函數y=logax也經過點M，又因為logbx（b＞0，且b≠1）的圖象經過點N，根據對數函數的圖象和性質，∴a＜b，∴a＜b＜1故選：A．【點評】本題考查了對數函數和指數函數的圖象及性質，以及反函數的概念和性質，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數，.若存在使得，則實數的取值范圍是________________．參考答案：12.下列命題中，正確的命題序號是．①已知a∈R，兩直線l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，則“a=﹣1”是“l1∥l2”的充分條件；②命題p：“?x≥0，2x＞x2”的否定是“?x0≥0，2x0＜x02”；③“sinα=”是“α=2kπ+，k∈Z”的必要條件；④已知a＞0，b＞0，則“ab＞1”的充要條件是“a＞”．參考答案：①③④【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】①，a=﹣1代入直線方程即可判斷；②，“＞”的否定是“≤”；③“sinα=”不能得到“α=2kπ+，k∈Z”，“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”；④，已知a＞0，b＞0，則“ab＞1”?“a＞”反之也成立．【解答】解：對于①，a=﹣1時，把a=﹣1代入直線方程，得l1∥l2，故正確；對于②，命題p：“?x≥0，2x＞x2”的否定是“?x0≥0，2x0≤x02”故錯；對于③“sinα=”不能得到“α=2kπ+，k∈Z”，“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”故正確；對于④，已知a＞0，b＞0，則“ab＞1”?“a＞”反之也成立，故正確．故答案為：①③④．【點評】本題考查了命題真假的判定，涉及到命題的否定，充要條件的判斷，屬于中檔題．13.已知，函數的圖象過(0，1)點，則的最小值是

．參考答案：略14.已知平面向量，，與垂直，則＝

參考答案：15.某中學開學后從高一年級的學生中隨機抽取80名學生進行家庭情況調查，經過一段時間后再次從這個年級隨機抽取100名學生進行學情調查，發現有20名同學上次被抽到過，估計這個學校高一年級的學生人數為

.

參考答案：400略16.函數f(x)＝cos(π＋2x)－sinx的最大值為________。參考答案：217.設分別為的三個內角A，B，C所對邊的邊長，且滿足條件，則的面積等于

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數，0≤α＜π）．以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=4sinθ．（1）求直線l與曲線C的平面直角坐標方程；（2）設直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，若|AB|=8，求α的值．參考答案：【考點】直線的參數方程；簡單曲線的極坐標方程．【專題】直線與圓．【分析】（1）先利用消去參數t得到曲線C的直角坐標方程．再將原極坐標方程ρcos2θ=4sinθ兩邊同時乘以ρ，利用極坐標與直角坐標之間的關系即可得出其直角坐標方程；（2）將代入曲線C的標準方程：x2=4y得：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，利用直線的參數方程中t的幾何意義結合根與系數的關系建立關于α的方程即可求出求出α的值．【解答】解：（1）消去參數t，得直線l的直角坐標方程為：sinαx﹣cosαy+cosα=0．曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，曲線C的標準方程：x2=4y．（2）將代入曲線C的標準方程：x2=4y得：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，∴|AB|=|t1﹣t2|==8，∴cosα=．∴或．【點評】本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，以及利用平面幾何知識解決最值問題．利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換即得．19.2017年5月14日,第一屆“一帶一路”國際高峰論壇在北京舉行,為了解不同年齡的人對“一帶一路”關注程度,某機構隨機抽取了年齡在歲之間的100人進行調查,并按年齡繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,其分組區間為:,,,,,.把年齡落在區間和內的人分別稱為“青少年”和“中老年”.(1)根據頻率分布直方圖求樣本的中位數(保留兩位小數)和眾數(2)根據已知條件完成下面的2×2列聯表,并判斷能否有99%的把握認為關注“帶一路”是否和年齡段有關?

關注不關注合計青少年15

中老年

合計5050100附:參考公式，其中臨界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.828參考答案：(1)根據頻率分布直方圖可知樣本的眾數為40,因為設樣本的中位數為,則,所以,即樣本的中位數為36.43.(2)依題意知,抽取的“青少年”共有人,“中老年人”共有人,完成列聯表如下：

關注不關注合計青少年153045中老年352055合計5050100結合數據得，因為，，所以有的把握認為關注“一帶一路”和年齡段有關.20.已知函數，x∈R．（Ⅰ）求函數f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）如圖，函數f（x）在[﹣1，1]上的圖象與x軸的交點從左到右分別為M、N，圖象的最高點為P，求與的夾角的余弦．參考答案：解：（Ⅰ）∵=∵x∈R∴，∴函數f（x）的最大值和最小值分別為1，﹣1．（Ⅱ）解法1：令得，∵x∈[﹣1，1]∴或∴，由，且x∈[﹣1，1]得∴，∴，∴=．解法2：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，由三角函數的性質知，，由余弦定理得=．解法3：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，由三角函數的性質知，在Rt△PAM中，∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos2∠MPA﹣1=．考點：三角函數的最值；數量積表示兩個向量的夾角；正弦函數的圖象．專題：計算題．分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，然后求函數f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）解法一：通過函數為0，求出M，N的坐標，確定P的位置，求出與，求出與的夾角的余弦．

解法二：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出與的夾角的余弦．

解法三：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，在Rt△PAM中，求出，通過二倍角公式求出與的夾角的余弦．解答：解：（Ⅰ）∵=∵x∈R∴，∴函數f（x）的最大值和最小值分別為1，﹣1．（Ⅱ）解法1：令得，∵x∈[﹣1，1]∴或∴，由，且x∈[﹣1，1]得∴，∴，∴=．解法2：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，由三角函數的性質知，，由余弦定理得=．解法3：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，由三角函數的性質知，在Rt△PAM中，∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos2∠MPA﹣1=．點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，向量的夾角的求法，可以通過向量的數量積解決，也可以通過三角形解決，考查計算能力，?？碱}型．21.已知函數（1）求的值；（2）設求的值.參考答案：

略22.如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E．（Ⅰ）若D為AC的中點，證明：DE是⊙O的切線；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．參考答案：【考點】圓的切線的判定定理的證明．【專題】直線與圓．【分析】（Ⅰ）連接AE和OE，由三角形和圓的知識易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切線；（Ⅱ）設CE=1，AE=x，由射影定理可得關于x的方