1自動控制原理華中科技大學(xué)控制科學(xué)與工程系

2

7.2采樣過程的數(shù)學(xué)描述

7.3信號恢復(fù)

7.4Z變換理論

7.5采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

7.6離散控制系統(tǒng)分析第7章線性離散控制系統(tǒng)

7.1引言

7.7數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)

37.1引言

7.1.1直接數(shù)字控制系統(tǒng)（DDC—DirectDigitalControl）DigitalComputeDigital-to-analogconverterActuatorprocessAnalog-to-digitalconverterMeasurementsensorinputdigital圖7-1直接數(shù)字控制系統(tǒng)（DDC）

47.1.2計(jì)算機(jī)監(jiān)督控制系統(tǒng)（SCC—puterControlSystem）ComputerDigital-to-analogOutputAnalog-to-digitalInputAnalogueregulatorsensorprocessactuator…………圖7-2計(jì)算機(jī)監(jiān)督控制系統(tǒng)（SCC）7.1引言

57.1.3集散控制系統(tǒng)（TDC—TotalandDistributedControl）

MISSCCSCCSCCDDCDDCDDCDDCprocessprocessMISMISSCC集中調(diào)度控制中心

子調(diào)度控制中心……….………圖7-3集散控制系統(tǒng)（TDC）7.1引言

67.2采樣過程的數(shù)學(xué)描述

采樣過程及其數(shù)學(xué)描述

7.2.1

采樣定理7.2.2采樣周期的選擇7.2.3

77.2.1采樣過程及其數(shù)學(xué)描述

在采樣控制系統(tǒng)中將連續(xù)信號變?yōu)閿嗬m(xù)信號的過程稱為采樣過程。實(shí)現(xiàn)這個采樣過程的裝置稱為采樣裝置，如圖7-4所示。e*（t）

e（t）

圖7-4采樣開關(guān)將斷續(xù)信號用如下數(shù)學(xué)式子表示e*(t)=

8對離散信號e*（t）取拉氏變換，可得:E*(s)=L[e*(t)]=L

=

圖7-5連續(xù)信號e（t）與斷續(xù)信號e(t)

7.2.1采樣過程及其數(shù)學(xué)描述

97.2.2采樣定理

為了能不失真的從離散信號中恢復(fù)原有的連續(xù)信號，采樣頻率必須大于等于原連續(xù)信號所含最高頻率的兩倍，即或

T(7-1)(7-2)

10理想濾波器的濾波特性10-其頻率特性如右圖(7-3)圖7-6理想濾波器的頻率特性7.2.2采樣定理

117.2.3采樣周期的選擇控制過程采樣周期T（秒）流量1壓力5液位5溫度20成分20工程實(shí)踐表明，根據(jù)表7-1給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期T，可以取得滿意的控制效果。

表7-1工業(yè)過程T的選擇

12隨動系統(tǒng)的采樣角頻率可近似取為：由于T＝2，所以采樣周期可按下式選取：

采樣周期T可通過單位接躍響應(yīng)的上升時間tr或調(diào)節(jié)時間ts按下列經(jīng)驗(yàn)公式選取：7.2.3采樣周期的選擇

137.3信號恢復(fù)零階保持器17.3.1

一階保持器7.3.2

147.3.1零階保持器零階保持器是最常用的一種保持器，它把采樣時刻的采樣值恒定不變地保持（或外推）到下一采樣時刻。如圖7-7所示，零階保持器的輸出為階梯信號。

x*(t)x(t)Ka)采樣開關(guān)

保持器圖7-7零階保持器

15由于，（k=0,1,2,…）所以保持器的輸出與連續(xù)輸入信號之間的關(guān)系式為

(7-4)的拉式變換則為

(7-5)上式與式（7-1）比較后，知道零階保持器的傳遞函數(shù)為

(7-6)7.3.1零階保持器

16

b)圖7-8應(yīng)用零階保持器恢復(fù)信號零階保持器的頻率特性為

(7-7)7.3.1零階保持器

177.3.2一階保持器

一階保持器以兩個采樣時刻的值為基礎(chǔ)實(shí)行外推，它的外推輸出式中t`為kT到（k＋1）T之間的時間變量。如圖7-9所示。

(7-8)0t2t3t…..圖7-9應(yīng)用一階保持器恢復(fù)信號

18

根據(jù)一階保持器脈沖響應(yīng)函數(shù)的分解，可得保持器的傳遞函數(shù)

(7-9)或(7-10)一階保持器的頻率特性為(7-11)7.3.1零階保持器

197.4Z變換理論Z變換17.4.1

Z變換的性質(zhì)Z反變換47.4.3

7.4.2

207.4.1Z變換由式（7-1）可知，斷續(xù)函數(shù)x*（t）的拉氏變換為

X*（S）=(7-12)若令

=Z(7-13)則將在S域分析的問題變成Z域的分析問題。

X(Z)=(7-14)

21X（Z）稱為X*（t）的z變換，記為z

z=X(Z)=(7-15)在Z變換中，X（Z）為采樣脈沖序列的Z變換，即只考慮采樣時刻的信號值。由于在采樣時刻，X（t）的值就是X（kT）,所以從這個意義上說，X（Z）既是X*（t）的Z變換，也可以寫為X(t)的Z變換，即Z=z=X(Z)=(7-16)7.4.1Z變換

227.4.2Z變換的性質(zhì)線性定理

z=a1X1(Z)+a2X2(Z)+···

(7-17)(7-18)z=Z-mX(Z)

(7-19)式中a1,a2,···為常數(shù)。(2)實(shí)平移定理

23(3)復(fù)平移定理

z

(7-20)例已知,求X（Z）解

zz7.4.2Z變換的性質(zhì)

24(4)復(fù)域微分定理Z(7-21)例已知x(t)=t3,求X(Z)解

=

=-TZ7.4.2Z變換的性質(zhì)

25(5)初值定理(7-22)

證明：由Z變換的定義有(6)終值定理

(7-23)7.4.2Z變換的性質(zhì)

267.4.3Z反變換

冪級數(shù)法通常Z變換表達(dá)式有如下形式：

(7-24)實(shí)際的物理系統(tǒng)滿足

n,則用綜合除法有

X(Z)=(7-25)

27由Z變換的定義式可知

則即為x(z)的原函數(shù)（2）部分分式法部分分式法又稱查表法。它的基本思想是將X（Z）/Z展開成部分分式，7.4.3Z反變換

28(7-26)然后，查Z變換表，即可求取X（Z）的原函數(shù)x(kT)（3）留數(shù)法由Z變換的定義式有

X(Z)==x(0)+x(T)Z+x(2T)Z+…上式兩端乘以Z有K-1-1-27.4.3Z反變換

29X(Z)Zk-1=x(0)Zk-1+x(T)Zk-2

+…+x(kT)Z-1+…

(7-27)所以x(kT)=根據(jù)留數(shù)定理，則上式可寫成：

x(kT)=Res7.4.3Z反變換

307.5采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述離散控制系統(tǒng)的線性差分方程

7.5.1

脈沖傳遞函數(shù)7.5.2

317.5.1描述離散控制系統(tǒng)的線性差分方程

線性定常離散系統(tǒng)可以用后向差分方程來描述

y(k)+a1y(k-1)+……+any(k-n)=b0r(k)+b1r(k-1)+……+r(k-m)

(7-28)也可用前向差分方程來描述線性定常離散控制系統(tǒng)y(k+n)+a1y(k+n-1)+……+an-1y(k+1)+any(k)=b0r(k+m)+b1r(k+m-1)+……+bm-1r(k+1)+bmr(k)

(7-29)

32（1）迭代法

若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程式（7-28）或式（7-29），并且給定輸出序列初值，則可以利用遞推關(guān)系，在計(jì)算機(jī)上一步一步計(jì)算出輸出序列。7.5.1描述離散控制系統(tǒng)的線性差分方程

求解差分方程常用的有迭代法和Z變換法。

33（2）Z變換法若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程描述，則根據(jù)Z變換的實(shí)位移定理，對差分方程兩邊取Z變換，再根據(jù)初始條件及給定輸入控制信號的Z變換表達(dá)式，可求取離散控制系統(tǒng)輸出的Z變換表達(dá)式，再求輸出Z變換的Z反變換表達(dá)式，即可求取離散控制系統(tǒng)輸出的實(shí)域表達(dá)式Y(jié)(K)。7.5.1描述離散控制系統(tǒng)的線性差分方程

347.5.2脈沖傳遞函數(shù)1.

開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)一離散開環(huán)控制系統(tǒng)如圖7-10所示。

G(s)r*(t)

r(t)

y*(t)

y(t)

圖7-10開環(huán)離散控制系統(tǒng)

35脈沖傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，輸出Y*(t)的Z變換Y(Z)與輸入r*(t)的Z變換R(Z)之比。脈沖傳遞函數(shù)用G(Z)表示，則(7-30)假定動態(tài)環(huán)節(jié)的單位脈沖過渡函數(shù)為h(t)。該環(huán)節(jié)的輸入為r*(t)(7-31)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

36利用線性環(huán)節(jié)滿足疊加原理，無窮多個脈沖作用在線性環(huán)節(jié)G(s)上，其輸出Y(t)為y(t)=r(0)h(t)+r(T)h(t–T)+….+r(nT)h(t–nT)+…(7-32)將輸出信號離散化，得到y(tǒng)(kT)=r(0)h(kT)+r(T)h[(k-1)T]+…+r(nT)h[(k-n)T]+…=r(nT)h[(k-n)T](7-33)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

37上式兩邊用乘以e－KTS，并求和，得到(7-35)考慮到前面的給定，當(dāng)t＜0時，h(t)=0，于是有(7-36)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

38同理有：(7-37)所以(7-38)采樣周期與所用時間變量文字描述無關(guān)，則上式可改寫為7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

39(7-39)即(7-40)式中

(7-41)若令式中Z=eTS,則可知又因

G(s)=?h(t)(7-42)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)可得

G(Z)=zG(s)

(7-43)

402.串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

1）兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)的連接圖7-11串連環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)

r*(t)

Y(t)

Y*(t)G1(s)G2(s)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

41等價于下圖G1(s)G2(s)

r*(t)

r(t)

Y*(t)Y(t)

圖7-12等價開環(huán)離散系統(tǒng)

有z

(7-44)將z

記為G1G2(Z)z

(7-45)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

422)串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)連接，且采樣開關(guān)都是同步采樣，如圖G1(s)G2(s)

r*(t)

r(t)

Y*(t)Y(t)Y1*(t)

圖7-13串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)所以(7-46)

43

3.

帶零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G1(s)

r*(t)

r(t)

Y*(t)Y(t)

圖7-14帶零階保持器開環(huán)離散系統(tǒng)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

44由脈沖傳遞函數(shù)的定義有G(Z)=z

=z

(7-47)即(7-48)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

454.閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

G1(s)G2(s)H(s)r(t)

e(t)

e*(t)

d(t)

b(t)

Y*(t)Y(t)-++

圖7-15帶干擾的閉環(huán)線性離散控制系統(tǒng)假定d(t)=0,得到如圖7-16所示的結(jié)構(gòu)圖7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

46G1(s)G2(s)H(s)r(t)

e*(t)

Y*(t)Y(t)

圖7-16線性閉環(huán)離散控制系統(tǒng)

根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義可知(7-49)(7-50)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

47(7-51)將（7-51）代入（7-50），有(7-52)于是得到：

(7-53)定義誤差脈沖傳遞函數(shù)

為7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

48(7-54)將式（7-54）代入式（7-49），有(7-55)于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)GB(Z)為(7-56)7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

497.6離散控制系統(tǒng)分析線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

7.6.1

離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)7.6.2離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

7.6.3

507.6.1線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

線性離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，如圖7-17所示

G（s）

r(t)

y*(t)

y(t)_

圖7-17線性離散控制系統(tǒng)

51可求得為：

GB（Z）=

(7-57)則線性離散控制系統(tǒng)的特征方程為

1+G(Z)=0

(7-58)考察下式

Z

=eTs

(7-59)7.6.1線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

52假定在s平面上任有一點(diǎn)

s=δ+jω(7-60)則通過Z變換，映射到Z平面為

Z=eδT.ejωT

(7-61)當(dāng)δ=0，即s平面的虛軸，對應(yīng)Z平面的單位圓。

當(dāng)δ<0，.即左半s平面對應(yīng)Z平面的單位圓。7.6.1線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

53內(nèi)部區(qū)域，即s平面的穩(wěn)定域映射到Z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域?yàn)榉€(wěn)定區(qū)域。當(dāng)δ>0，.即右半s平面對應(yīng)Z平面的單位圓外部區(qū)域，也即s平面不穩(wěn)定域映射到Z平面單位圓外的部分為不穩(wěn)定域。上面映射關(guān)系如圖7-18所示。線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：線性離散閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程的根的模小于1，則線性離散控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

7.6.1線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

54ReRe

Im

Im圖7-18s平面到Z平面映射7.6.1線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

557.6.2離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

閉環(huán)零極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系:通常離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可表示為如下形式

GB(Z)=K=K(7-62)

56當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍時，其系統(tǒng)輸出Y（Z）為Y(Z)=K

(7-62)展開成部分分式，有Y(Z)=K+(7-63)..7.6.2離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

57(7-64)式中Ck=K

閉環(huán)極點(diǎn)對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響

1)Pk為正實(shí)根，對應(yīng)的瞬態(tài)分量=Z–1[]=7.6.2離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

58令Pk=eaT,a=lnPk

則yk(nT)=CkeanT

(7-65)若Pk=1，即閉環(huán)極點(diǎn)位于右半Z平面上圓周上，閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)為等幅脈沖。若Pk<1,則閉環(huán)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，此時a<0,則輸出響應(yīng)呈指數(shù)衰減狀。若Pk>1，閉環(huán)極點(diǎn)位于單位圓外，此時a>0,則輸出響應(yīng)呈指數(shù)z增加狀。7.6.2離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

592)當(dāng)為負(fù)實(shí)根，則對應(yīng)的瞬態(tài)分量為

(7-66)

若=-1，輸出響應(yīng)分量對應(yīng)圖7-19中d點(diǎn)波形，呈等幅跳躍輸出。若||<1，輸出響應(yīng)分量

對應(yīng)圖7-19中e點(diǎn)波形。若||>1，輸出響應(yīng)分量

對應(yīng)圖7-19中d點(diǎn)波形，呈發(fā)散跳躍變化。

7.6.2離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

603)

當(dāng)Pk,Pk+1為一對共軛復(fù)根時,為Pk=Pk+1=

(7-67)此時,Ck,Ck+1也為一對共軛復(fù)數(shù)Ck=Ck+1=

(7-68)則它們對應(yīng)的瞬態(tài)分量Yk,k+1（nT）為

7.6.2離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

61yk,k+1(nT)=+

=2

(7-69)若|Pk|<1，則對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量為振幅衰減的正弦振蕩，對應(yīng)圖7-19中a點(diǎn)對應(yīng)的波形。若|Pk|>1，則對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量為發(fā)散正弦振蕩，對應(yīng)圖7-19中b點(diǎn)對應(yīng)的波形。7.6.2離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

62

圖7-19閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)分布與相應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)7.6.2離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

637.6.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對于如圖7-20所示的單位反饋的閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)Ge（Z）為G（s）

r(t)

y(t)e*(t)

-Ge(Z)=

(7-70)圖7-20單位反饋閉環(huán)離散系統(tǒng)

64E(Z)=R(Z)

由終值定理，有

(7-71)(7-72)與連續(xù)系統(tǒng)類似，根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)在Z=1的極點(diǎn)的個數(shù)而分為0型、1型、2型……系統(tǒng)。

7.6.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差所以

657.7數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系的7.7.1

具有單位圓上和單位圓外零極點(diǎn)的情況，數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)7.7.2無紋波無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

7.7.3

66D(z)G(z)7.7.1無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

R(t)

Y(t)-

圖7-21數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對于如圖7-21所示的系統(tǒng)、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可求得為

67

GB(z)

=

(7-73)D(z)=

(7-74)

設(shè)計(jì)出的數(shù)字控制器D(z)，還必須滿足物理可實(shí)現(xiàn)條件：數(shù)字控制器D(z)分子多項(xiàng)式的階次不得大于分母多項(xiàng)式的階次；D(z)沒有單位圓上（除有一個z=1的極點(diǎn)外）和單位圓外的極點(diǎn)。7.7.1無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

68設(shè)給定系統(tǒng)輸入為

r(t)=(7-75)則其z變換表達(dá)式為

R(t)=

(7-76)式中r=p+1，且A(z-1)為z-1的多項(xiàng)式，沒有z=1的零點(diǎn)。系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)

Ge(z)與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)GB(z)存在以下關(guān)系:

7.7.1無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

69

Ge(z)=1-GB(z)

(7-77)E(z)=[1-GB(z)]R(z)

(7-78)根據(jù)終值定理

e(∞)=(1-z–1)[1-GB(z)]

(7-79)為使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，可令

7.7.1無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

701-GB(z)=(1-z–1)rF(z–1)

(7-80)式中F(z–1)在z=1處無零點(diǎn)

GB(z)=1-(1-z–1)rF(z–1)==(7-81)7.7.1無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

71典型輸入閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)數(shù)字控制器最少拍（T）1(t)1Tt2T3T表7-2無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果7.7.1無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

727.7.2具有單位圓上和單位圓外零極點(diǎn)時數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)

(7-82)當(dāng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)有單位圓上或單位圓外零點(diǎn)時，由式

D(z)=

可知它必將成為數(shù)字控制器的極點(diǎn)，D(Z)將不穩(wěn)定，其物理實(shí)現(xiàn)不可能。

73為此，令GB(z)包含z–1因子。GB(z)包含開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z