初三數學第五講圖形的相似（1）【新知縱橫】1、四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即________，那么這四條線段a、b、c、d叫做___________線段，簡稱_________線段2、比例的性質：（1）__________；（2）如果，那么；（合比性質）（3）如果（b＋d＋…＋n≠0），那么（等比性質）·ABC3、如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC·ABC如果，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比，且≈0618【例題講解】例題1.（1）若，則=

（2）已知x：y=3：5，y：z=2：3，求的值（3）已知線段a＝9cm，c＝4cm，線段x是a、c的比例中項，則x等于cm．（4）已知，求k的值例2：（1）如果點C是線段AB的黃金分割點，（AC＞BC）則下列比例式正確的是（）A.B.C.D.（2）頂角為36°

的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖，△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB=1cm，則DE=cm。（3）若一個矩形的短邊與長邊的比為（黃金分割數），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形。①操作：請在如圖所示的黃金矩形ABCD中（AB＞AD）中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD；②探究：在（1）中的四邊形EBCF是否黃金矩形？若是，給予證明；若不是，說明理由；③歸納：通過上述操作及探究，請概括出具有一般性的結論（不需證明）例3如圖，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．（1）研究小組猜想：在中，若點為邊上的黃金分割點（如圖2），則直線是的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3）研究小組在進一步探究中發現：過點任作一條直線交于點，再過點作直線，交于點，連接（如圖3），則直線也是的黃金分割線．請你說明理由．（4）如圖4，點是□ABCD的邊的黃金分割點，過點作，交于點，顯然直線是□ABCD的黃金分割線．請你畫一條□ABCD的黃金分割線，使它不經過□ABCD各邊黃金分割點．AAＣＢ圖1AADB圖3CFEFCBDEA圖4AADB圖2C通過一組題，掌握一個重要的定理（平行線分線段稱比例定理）例4.（2023秦淮一模）（1）如圖①，已知D、E分別是△ABC的邊AB、AC上一點，DE∥BC，連接CD、BE，CD、BE交于點F，連接AF并延長，分別交DE、BC于點H、G．求證：①eq\f(DH,BG)＝eq\f(HE,GC)；②G是BC的中點．（2）如圖②，只用一把無刻度的直尺畫出矩形ABCD的一條對稱軸．（不寫畫法，保留畫圖痕跡）HHABCDFEG①ABCD②BCADE圖（2）ABCDEFmnl1l2l3ABCDEFmnl1l2l3圖（1）圖（3）例5.（溧水期末卷）在學習探索三角形相似的條件時，我們學到了一個十分重要的基本事實：平行線分線段對應成比例．即：如圖（1），直線l1∥l2∥l3，直線m分別交l1、l2、l3于A、B、C三點，直線n分別交l1、l2、l3于D、E、F三點，則可得到如eq\F(AB,AC)=eq\F(DE,DF)、eq\F(AB,BC)=eq\F(DE,EFBCADE圖（2）ABCDEFmnl1l2l3ABCDEFmnl1l2l3圖（1）圖（3）（1）我們同時利用基本事實還得到另一個重要結論，請給出這一結論的證明過程．如圖（2），在△ABC中，D、E分別是AB、AC上兩點，且DE∥BC．求證：eq\F(AD,AB)=eq\F(DE,BC)．（友情提醒：不可用三角形相似來證明）（2）小明同學在課后的研究過程中還發現了另一個結論：如圖（1），直線l1∥l2∥l3，直線m分別交l1、l2、l3于A、B、C三點，直線n分別交l1、l2、l3于D、E、F三點，則有eq\F(AB,AC)=eq\F(BE-AD,CF-AD)．請利用上面的基本事實與第（1）題結論給出證明過程．（3）小明同學還發現在其它條件不變的情況下，當圖（1）中直線n向左平移到如圖（3）位置，且直線m、n的交點在l1、l2之間時，圖中AB、AC、AD、BE、CF這5條線段之間也有一定的關系．請你幫小明直接寫出這個關系式，不要求證明．例5.（高淳期末卷）問題導引（1）如圖①，在△ABC中，點E、F分別是邊BC、AC的中點，線段AE、BF交于點O．ABCEFO圖①判斷eq\f(EO,AO)＝eq\f(FO,BO)＝eq\f(1,2)成立嗎?說明理由．ABCEFO圖①結論應用（2）為了將線段AE三等分，小穎聯想上一題的結論，采用了如下方法：如圖②，

以E為圓心，任意長為半徑作⊙E，過圓心E作任意一條直徑（不與AE重合），交⊙E于B、C兩點，連接AB、AC．此時，AE是ΔABC的一條中線．請你按照小穎的思路，試利用圓規和直尺（無刻度）作出線段AE的三等分點M、N(保留作圖痕跡，不寫作法)．AACBE圖②解決問題C圖③ADBOEFGH（3）如圖③，⊙O是△BCD的外接圓，直徑AB、CD互相垂直，E為OD的中點，連接AE并延長交⊙O于G，連接CG分別交OB、BD于F、C圖③ADBOEFGH【練習鞏固】1、如果，求=_____________2．現有一個測試距離為5m的視力表，根據這個視力表，小華想制作一個測試距離為3m的視力表，則圖中的．3.如圖，平行于x軸的直線AC分別交函數y1=x2（x≥0）與y2=eq\f(x2,3)（x≥0）的圖象于B、C兩點，過點C作y軸的平行線交y1的圖象于點D，直線DE∥AC，交y2的圖象于點E，則eq\f(DE,AB)=.4.在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應