2022-2023學年河南省周口市淮陽區(qū)淮陽中學高一上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】根據(jù)題意可得或，進而討論a的范圍，確定出，最后得到答案.【詳解】因為，，所以或，由，得，關于x的方程，當時，即時，易知，符合題意；當時，即或時，易知0，-a不是方程的根，故，不符合題意；當時，即時，方程無實根，若a=0，則B={0}，，符合題意，若或，則，不符合題意.所以，故.故選：B.【點睛】對于新定義的問題，一定要讀懂題意，一般理解起來不難，它一般和平常所學知識和方法有很大關聯(lián)；另外當時，容易遺漏a=0時的情況，注意仔細分析題目.2．已知為第三象限角，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)為第三象限角，由三角函數(shù)在象限的正負，判斷選項.【詳解】是第三象限角，，，，故AB不正確；，故C不正確；，故D正確.故選：D3．如果兩個正方形的邊長之和為，那么它們的面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設兩個正方形的邊長分別為、，可得，利用基本不等式可求得兩個正方形的面積之和的最小值.【詳解】設兩個正方形的邊長分別為、，則，且，由基本不等式可得，所以，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，兩個正方形的面積之和的最小值為.故選：B.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.4．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將分式化為整式后可得的值.【詳解】因為，故即，若，則，與平方和為1矛盾，故即，故選：D.5．如果方程的解為，則實數(shù)的值分別是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將兩根代入二次方程，待定系數(shù)求解即可【詳解】由題意，方程的解為，故，解得.故選：A6．“”是“函數(shù)是定義在上的減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】本題首先可以根據(jù)函數(shù)是定義在上的減函數(shù)得出，然后根據(jù)是的真子集即可得出結果.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得，因為是的真子集，所以“”是“函數(shù)是定義在上的減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B.【點睛】本題考查充分條件以及必要條件的判斷，可借助集合的方式進行判斷，考查分段函數(shù)的單調性，分段函數(shù)在定義域上單調遞減時，每段函數(shù)都遞減，且要注意分界點處函數(shù)值的處理，是中檔題.7．已知函數(shù)，是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一條對稱軸，若在區(qū)間上單調，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設函數(shù)的最小正周期為，根據(jù)題意分析得出，其中，可得出，利用函數(shù)的單調性可得出的取值范圍，可得出的可能取值，然后對的值由大到小進行檢驗，可得結果.【詳解】設函數(shù)的最小正周期為，因為是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一條對稱軸，則，其中，所以，，，因為函數(shù)在區(qū)間上單調，則，所以，.所以，的可能取值有：、、、、.（i）當時，，，所以，，則，，，所以，，當時，，所以，函數(shù)在上不單調，不合乎題意；（ii）當時，，，所以，，則，，，所以，，當時，，所以，函數(shù)在上單調遞減，合乎題意.因此，的最大值為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)中的最值的求解，解題的關鍵在于利用函數(shù)的周期確定的表達式與取值范圍，再進行檢驗即可.8．設函數(shù)，若對于任意實數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】，只需要研究的根的情況，借助于和的圖像，根據(jù)交點情況，列不等式組，解出的取值范圍.【詳解】令，則令，則則問題轉化為在區(qū)間上至少有兩個，至少有三個t，使得，求的取值范圍.作出和的圖像，觀察交點個數(shù)，可知使得的最短區(qū)間長度為2π，最長長度為，由題意列不等式的：解得：.故選：B【點睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性質通常用換元法（令），轉化為研究的圖像和性質較為方便.二、多選題9．設集合，且，則實數(shù)a可以是（

）A． B．1 C． D．0【答案】ACD【分析】由，可得，對集合N分類討論可得結果.【詳解】，因為，所以，因為，所以當時，，滿足，當時，，滿足，當時，，滿足，故選：ACD.10．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到的圖象，則（

）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．是函數(shù)的一個零點C．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增 D．函數(shù)的圖象關于直線對稱【答案】BCD【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換可得，根據(jù)函數(shù)圖象性質逐項判斷即可.【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），可得，對于A選項，令，則，，故函數(shù)不是偶函數(shù)，A不正確；對于B選項，因為，故是函數(shù)的一個零點，B正確；對于C選項，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，C正確；對于D選項，因為對稱軸滿足，解得，則時，，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，D正確．故選：BCD．11．已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)的圖象不過定點B．函數(shù)在區(qū)間上單調遞減C．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0D．若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【答案】CD【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質逐一判斷【詳解】對于A，因為對任意都有，所以的圖象過定點，故A錯誤；對于B，時，，在上單調遞增，故B錯誤；對于C，由以上知在上單調遞減，在上單調遞增，在區(qū)間上的最小值為，故C正確；對于D，對任意，恒成立，則有，解得，故D正確．故選：CD12．函數(shù)的圖像關于對稱，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)輔助角公式化簡，然后根據(jù)其圖像關于對稱，可得之間的關系，從而得到，然后對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】因為，其中因為函數(shù)的圖像關于對稱，所以，即化簡得，故A正確.則即，因為，故B正確.因為，故C錯誤.因為故D正確.故選:ABD.三、填空題13．不等式的解集為，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】由題意可得恒成立，分別對，，討論，結合二次不等式、二次函數(shù)圖像與性質即可求出答案.【詳解】由不等式的解集為等價于恒成立，當時，成立，符合條件；當時，根據(jù)二次函數(shù)圖像開口向上，肯定會有函數(shù)值大于0，故不符合；當時，只需讓，解得，綜上所述，a的取值范圍為，故答案為：14．已知，，且，則的最大值是______．【答案】【分析】利用，，且，求出的范圍，將消元得，利用二次函數(shù)的最值及倒數(shù)法則即可求得的最大值.【詳解】解：因為，，且，所以，，當時，取最小值，所以取最大值，故的最大值是.故答案為：.15．已知函數(shù)，則________.【答案】##【分析】可令，，利用倒序相加法，將角度之和為的兩項結合（如化簡整理即可．【詳解】解：，，令，①，②①②得：，，即．故答案為：.16．若正實數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】【解析】由題設，由結合基本不等式可得，從而可得的最大值.【詳解】因為，所以，而，故，所以，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ实淖畲笾禐?故答案為：.【點睛】本題為三元等式條件下的最值問題，注意將欲求范圍的變量分離出來，再結合代數(shù)式的特點把最值問題轉化為整體的范圍問題，而后者可根據(jù)基本不等式來處理，本題屬于中檔題.四、解答題17．設集合，（1）請寫出一個集合，使“”是“”的充分條件，但“”不是“”的必要條件；（2）請寫出一個集合，使“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件．【答案】（1）（答案不唯一）；（2）（答案不唯一）【分析】根據(jù)充分必要性判斷集合與集合之間的包含關系，從而寫出符合題意的集合.【詳解】（1）由于“”是“”的充分條件，但“”不是“”的必要條件，所以集合是集合的真子集，由此可得符合題意.（2）由于于“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件，所以集合是集合的真子集，由此可知符合題意.18．已知函數(shù)，a不為0．(1)當時，解不等式；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）結合開口方向以及判別式求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，，即，，解得或所以不等式的解集為.（2）恒成立，因為a不為0，所以且，即，a的取值范圍為：．19．已知函數(shù)與.(1)判斷的奇偶性；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)偶函數(shù)(2)【分析】（1）根據(jù)奇偶性定義判斷；（2）函數(shù)只有一個零點，轉化為方程只有一個根，用換元法轉化為二次方程只有一個正根（或兩個相等正根），再根據(jù)二次方程根分布分類討論可得．【詳解】（1）∵的定義域為R，∴，∴為偶函數(shù).（2）函數(shù)只有一個零點即即方程有且只有一個實根.令，則方程有且只有一個正根.①當時，，不合題意；②當時，若方程有兩相等正根，則，且，解得；滿足題意③若方程有一個正根和一個負根，則，即時，滿足題意.∴實數(shù)a的取值范圍為.20．已知一次函數(shù)滿足，．(1)求的解析式；(2)若，，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，設，代入條件，得到方程組，解出參數(shù)即可；（2）將函數(shù)解析式代入即可轉化為一個不等式恒成立的問題.【詳解】（1）設，則．由得．因為，所以．所以，的解析式為．（2）將代入得（*）．即，．①當時，不等式*變?yōu)椋瑵M足條件；②當時，原問題等價于解得．綜上，實數(shù)的取值范圍為．21．在①f(x)的圖像關于直線對稱，②f(x)的圖像關于點對稱，③f(x)在上單調遞增這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的正實數(shù)a存在，求出a的值；若a不存在，說明理由.已知函數(shù)的最小正周期不小于，且___________，是否存在正實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在[0，]上有最大值3？注∶如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【分析】若選擇①，即的圖像關于直線對稱，則可推出，進而利用正弦型函數(shù)的性質，求得的最大值，從而得到，不符合題意.若選擇②，可得，進而求得的最大值，，從而得到，不符合題意.若選擇③，可得，進而求得的最大值，從而得到，符合題意.【詳解】解：由于函數(shù)的最小正周期不小于，所以，所以，，若選擇①，即的圖像關于直線對稱，有，解得，由于，，，所以，，此時，，由，得，因此當，即時，取得最大值，令，解得，不符合題意.故不存在正實數(shù)a，使得函數(shù)在上有最大值若選擇②，即的圖象關于點對稱，則有，解得，由于，，，所以，此時，由，得，因此當，即時，取得最大值，令，解得，不符合題意.故不存在正實數(shù)a，使得函數(shù)在上有最大值3；若選擇③，即在上單調遞增，則有，解得，由于，，，所以，此時，由，得，因此當，即時，取得最大值，令，解得，符合題意.故存在正實數(shù)，使得函數(shù)在上有最大值22．若點在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱是的點．函數(shù)的所有點構成的集合稱為的集．(1)判斷是否是函數(shù)的點，并說明理由；(2)若函數(shù)的集為，求的最大值；(3)若定義域為的連續(xù)函數(shù)的集滿足，求證：．【答案】(1)不是，理由見解析；(2)；(3)見解析【分析】（1）直接求出，再判斷出，即可得到，即可得到結論；（2）先說明，若，則，由題設得到，推出矛盾即可證得；再說明的值可以等于，令，利用三角函數(shù)的值域加以證明即可；（3）由題設知，必存在，使得，結合零點存在定理說明函數(shù)必存在零點，即可證明.【詳解】（1）不是函數(shù)的點，理由如下：設，則，，因為，所以，所以，所以不是函數(shù)的點；（2）先證明，若，則函數(shù)的最小正周期，因為函