第六章用有限元法解平面問題第五節單元的結點力列陣與勁度矩陣第四節單元的應變列陣和應力列陣第三節單元的位移模式與解答的收斂性第二節有限單元法的概念第一節基本量及基本方程的矩陣表示概述第六節荷載向結點移置單元的結點荷載列陣第六章用有限元法解平面問題例題第十一節應用變分原理導出有限單元法的基本方程第十節計算實例第九節計算成果的整理第八節解題的具體步驟單元的劃分第七節結構的整體分析結點平衡方程組1、有限元法（FiniteElementMethod）

FEM2、FEM的特點

概述(1)具有通用性和靈活性。

首先將連續體變換為離散化結構，然后再利用分片插值技術與虛功原理或變分方法進行求解。簡稱FEM，是彈性力學的一種近似解法。(2)對同一類問題,可以編制出通用程序,應用計算機進行計算。(3)只要適當加密網格，就可以達到工程要求的精度。3、FEM簡史

1943年柯朗(Currant)第一次提出了FEM的概念。FEM是上世紀中期才出現，并得到迅速發展和廣泛應用的一種數值解法。§6-1基本量和基本方程的矩陣表示

本章無特別指明,均表示為平面應力問題的公式。采用矩陣表示,可使公式統一、簡潔,且便于編制程序。1、基本物理量的矩陣表示體力:位移函數:應變:應力:結點位移列陣:結點力列陣:面力:基本物理量

(2)物理方程:2、FEM中應用的方程(1)幾何方程:應用的方程其中,D為彈性矩陣,對于平面應力問題是:(3)虛功方程:為結點虛位移及對應的虛應變。其中，在FEM中用結點的平衡方程代替平衡微分方程,后者不再列出。(3)整體分析。

§6-2有限單元法的概念

FEM的概念，可以簡述為：FEM的概念(1)將連續體變換為離散化結構(結構的離散化)；

(2)單元分析；FEM的分析過程：該方法的理論基礎是分片插值技術與變分原理。采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實際具有無限自由度的考察體，是一種在力學模型上進行近似的數值計算方法。圖(c)與圖(a)相比,兩者都是離散化結構；區別是，桁架的單元是桿件，而圖(c)的單元是三角形塊體（注意:三角形單元內部仍是連續體）。結構離散化比如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用鉸連接起來。將連續體變換為離散化結構(圖(c))：即將連續體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結點處用絞連結起來，構成所謂“離散化結構”。1.

結構離散化FEM的分析過程(1)2.單元分析求解方法每個三角形單元仍然假定為連續的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內部仍是連續體，應按彈性力學方法進行分析。取各結點位移

為基本未知量，然后對每個單元,分別求出各物理量,并均用來表示。FEM的分析過程(2)(1)應用插值公式,由單元結點位移,

求單元的位移函數該插值公式稱為單元的位移模式,記為單元分析的主要內容：(2)應用幾何方程,由單元的位移函數d,求出單元的應變求解方法(4)應用虛功方程,由單元的應力,求出單元的結點力表示為(3)應用物理方程,由單元的應變,求出單元的應力其中，

為結點對單元的作用力，作用于單元，稱為結點力，以正標向為正。2.單元分析FEM的分析過程(2)(1)應用插值公式,由單元結點位移,

求單元的位移函數該插值公式稱為單元的位移模式,記為單元分析的主要內容：(2)應用幾何方程,由單元的位移函數d,求出單元的應變(5)將每一單元中的各種外荷載,按虛功等效原則移置到結點上,化為結點荷載

求解方法

3.整體分析

2.對單元進行分析

1.將連續體變換為離散化結構歸納起來，FEM分析的主要步驟：（1）單元的位移模式（2）單元的應變列陣（4）單元的結點力列陣（5）單元的等效結點荷載列陣建立結點平衡方程組，求解各結點的位移。（3）單元的應力列陣思考題1.有限單元法求解問題的基本步驟是什么？2.試說明單元分析的主要內容。復習1、基本物理量與基本方程的矩陣表示

(2)物理方程:(1)幾何方程:(3)虛功方程:

3.整體分析

2.對單元進行分析

1.將連續體變換為離散化結構2.FEM分析的主要步驟：位移模式應變列陣結點力列陣等效結點荷載列陣應力列陣將式(a)按未知數歸納為:三角形單元或用矩陣表示為:N

稱為形函數矩陣,其非零元素為其中，A為△ijm的面積(圖示坐標系中,i,j,m按逆時針編號),有：三結點三角形單元的位移模式，略去了2次以上的項，因而其誤差量級是且其中只包含了x,y的1次項，所以在單元中Ni的分布如圖(a)所示,u,v的分布如圖(b)、(c)所示。三角形單元所以當單元趨于很小時，即時，為了使FEM之解逼近于真解。則為了保證FEM收斂性,位移模式應滿足下列條件：

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎的。

收斂性條件所以當單元趨于很小時，即時，為了使FEM之解逼近于真解。則為了保證FEM收斂性,位移模式應滿足下列條件：

因為當單元尺寸趨于0時，單元中的位移和應變都趨近于基本量－－剛體位移和常量位移。(1)位移模式必須能反映單元的剛體位移。

(2)位移模式必須能反映單元的常量應變?？梢妱傮w位移項在式(a)中均已反映。而剛體位移形式(P17(2-9)式)為，將式(a)寫成對式(a)求應變,得：可見常量應變也已反映。思考題1.應用泰勒級數公式來選取位移模式，為什么必須從低次項開始選取？2.試考慮：將結構力學解法引入到求解連續體的問題時，位移模式的建立是一個關鍵性工作，它使得單元(連續體)內部的分析工作都有可能進行了。§6-4單元的應變列陣和應力列陣應用幾何方程，求出單元的應變列陣：位移函數其中，單元中的位移函數用位移模式表示為應變,應力應用幾何方程，求出單元的應變列陣：其中,B

稱為應變矩陣，用分塊矩陣表示，再應用物理方程，求出單元的應力列陣：思考題如果在位移模式中取到泰勒級數中的二次冪項，略去高階小量，試考慮位移、應變和應力的誤差量級?！?-5單元的結點力列陣與勁度矩陣現在來考慮其中一個單元：模型,結點力在FEM中，首先將連續體變換為離散化結構的模型。(2)單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯系,只在結點i,j,m互相聯系。

(1)將作用于單元上的各種外荷載,按靜力等效原則移置到結點上去,化為等效結點荷載。故單元內已沒有外荷載。假想將單元與結點i切開，則：其數值與相同，而方向相反。以沿正坐標向為正。對單元而言,這是作用在其上的“外力”。(1)結點作用于單元上的力，稱為結點力，(2)單元作用于結點的力，為：對于三角形單元，B矩陣內均為常數，有代入B，D，即得平面應力問題中三結點三角形單元的剛(勁)度矩陣，可寫成如下分塊矩陣的形式：其中，(1)k是6×6的方陣,

k中元素表示僅在單元結點s沿n方向產生單位位移時引起結點r沿l方向的結點力。(2)由反力互等定理，所以k是對稱矩陣，以對角線為對稱軸。單元勁度矩陣k的性質：(3)當單元作剛體平移時，如三角形內不產生應力和應變，結點力也為0。(4)由(3)可導出行列式(即k為奇異矩陣

)。(5)k的元素與單元的形狀和方位等有關，但與單元的大小和剛體的平動以及作度轉動無關。即,k中每一行（或列）元素之和為0（其中第1、3、5元素之和(對應x向)或2、4、6元素之和(對應y向)也為0）。例題

某等腰直角三角形單元ijm如圖所示,已知在所選取的坐標系中,單元結點坐標分別為:

應用

可得

應用公式可得該單元的應力轉換矩陣為可得該單元的應力轉換矩陣為應用教材式(6-37)及式(6-38)可得該單元的單元剛度矩陣為現考察結點力與單元中的應力之間的關系。為了簡單起見，假定只有結點i發生位移ui，如右圖(a)所示。由上面的單元剛度矩陣得相應的結點力為：其中，。相應的結點位移及結點力如圖所示另一方面，由于發生了位移ui,則根據上面得到的應力轉換矩陣，可得應力分量為如上圖(b)中單元的兩直角面所示。根據單元的平衡條件,還可得出斜面上的應力,如圖所示。若將這三個面上的應力分別按靜力等效原則積銖累寸到結點上去，可以得到圖(a)中相同的結點力。■思考題試求出書中例題(P117)的位移模式?！?-6荷載向結點移置,單元的結點荷載列陣在FEM中,須將作用于單元上的外荷載向結點移置，化為等效結點荷載，(2)變形體靜力等效原則:

即在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。

1、等效原則剛體靜力等效原則只從運動效應來考慮,得出移置荷載不是唯一的解;變形體的靜力等效原則考慮了變形效應,在一定的位移模式下,其結果是唯一的,且滿足了前者條件。所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。(1)剛體靜力等效原則:使原荷載與移置荷載的主矢量以及對同一點的主矩也相同。移置原則假設發生一組結點虛位移,則點的虛位移為使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功：原荷載作用于單元中任一點(x,y),為單位厚度上的作用力;移置荷載作用于結點ijm。集中力,面力,體力2、集中力的移置公式對于任意的虛位移,虛功方程都必須滿足,得：3、單元邊界上面力的移置公式

應用式(a),將代之為并在邊界上積分,得:應用式(a)，將代之為并對單元域A積分,得4、單元內體力f的移置公式

說明：當位移模式為線性函數時，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結點荷載相同。思考題1.試導出書中例題(P119)的荷載移置公式。

在單元分析中，從單元的結點位移→求位移分布→求應變→求應力→求結點力，為單元的內力分析；外荷載移置到結點荷載，為單元的外力分析。§6-7結構的整體分析結點平衡方程組假設將結點i與周圍的單元切開，則圍繞i結點的每個單元對i結點有結點力()的作用,也有外荷載移置的結點荷載()的作用。下面考慮整體分析。對某一個單元ijm，其中是對圍繞i結點的單元求和。結點i的平衡條件為

結點平衡條件其中,ijm是單元結點的局部編號;i=1,2,…,n是其整體編號。

代入式(a)，可表示為將式(b)按整體結點編號排列,得整個結構的平衡方程組。對某一個單元ijm，其中是對圍繞i結點的單元求和。結點i的平衡條件為

其中，分別為整體結點位移列陣，整體結點荷載列陣和整體勁度矩陣。

考慮結構的約束條件后,從式(c)求出,就可以求出各單元的位移和應力。結點平衡方程組例2例1列出圖示結構i結點的平衡條件。（見書中P.121）■1、有限單元法的具體計算步驟§6-8解題的具體步驟單元的劃分1、劃分單元網格，對單元和結點編號。2、選定直角坐標系，按程序要求填寫和輸入有關信息。單元內的ijm的局部編號應按書中規定的右手規則編號。否則會使三角形的面積出現負號等問題。3、使用已編好的程序進行上機計算。事先須將有限單元法的公式，計算方法和步驟都編入程序。4、對成果進行整理、分析。

對第1步和第4步的工作，也盡可能由計算機完成，以減少人工的工作量。如自動劃分網格，整理成果等。2、單元劃分注意事項（8）結構具有凹槽或孔洞等應力集中處等。（1）單元大小問題；（2）單元在不同部位的合理布置問題；（3）三角形三個內角最好較接近；（4）利用對稱性和反對稱性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問題；在FEM中，位移的精度較高，其誤差量級是，即與單元尺度的二次冪成正比。應力的誤差量級是，即與單元的大小成正比。

§6-9計算成果的整理三結點三角形單元的應力的成果，不但應力的精度較低，而且還產生了所謂應力的波動性。對于結點位移的成果，不需整理就可以直接采用。應力的波動性在三結點三角形單元中較為顯著。這是由于計算出的應力的精度較低。假設Ⅰ單元的應力成果為，其中為真解，為誤差。則由于在結點都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的Ⅱ單元的應力趨近于。這就產生了應力的波動性。為提高應力精度，解決其波動性問題，可采取以下應力成果整理方法：1)兩相鄰單元平均法;2)繞結點平均法。一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因為它涉及的區域范圍較小。在面力邊界線附近，求得的應力誤差較大?？刹捎孟蛲獠逯档姆椒ǎɡ龗佄锞€插值）來解決。為了提高應力精度，可采用兩種方法：一是加密網格，減少單元的尺寸，以提高應力的精度。二是可以采用較多結點的單元，并使位移模式中包含一些高冪次的項，從而提高位移和應力的精度。應力的波動性在三結點三角形單元中較為顯著。這是由于計算出的應力的精度較低。假設Ⅰ單元的應力成果為，其中為真解，為誤差。則由于在結點都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的Ⅱ單元的應力趨近于。這就產生了應力的波動性。為提高應力精度，解決其波動性問題，可采取以下應力成果整理方法：1)兩相鄰單元平均法;2)繞結點平均法。一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因為它涉及的區域范圍較小。書中應用三結點三角形單元，計算了下列例題：§6-10計算實例1.楔形體受自重及齊頂水壓力。2.簡支梁受均布荷載。3.圓孔附近的應力集中。在整理應力成果時,讀者應注意,應用三角形單元時，(1)采用兩單元平均法和繞結點平均法的應力成果比較接近，但前者的精度略好于后者。(2)邊界面的應力,宜采用向外插值的方法求出。在FEM中，將連續體變換為離散化結構之后，有兩種導出FEM公式的主要方法，即靜力法與變分原理法。§6-11應用變分原理導出有限單元法基本方程(