第14章勾股定理一、選擇題（共13小題）1．如圖，點E在正方形ABCD內，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）A．48 B．60 C．76 D．802．如圖是我國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數學問題是（）A．黃金分割 B．垂徑定理 C．勾股定理 D．正弦定理3．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，則BE的長度為何？（）A．10 B．11 C．12 D．134．下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=55．下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，6．一直角三角形的兩邊長分別為3和4．則第三邊的長為（）A．5 B． C． D．5或7．設a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為，則ab的值是（）A． B．2 C． D．38．如圖，若∠A=60°，AC=20m，則BC大約是（結果精確到0.1m）（）A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m9．如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN．若四邊形MBND是菱形，則等于（）A． B． C． D．10．如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（）A．2 B．4 C． D．11．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A．只有1個 B．可以有2個C．有2個以上，但有限 D．有無數個12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．過點C作直線l∥AB，P為直線l上一點，且AP=AB．則點P到BC所在直線的距離是（）A．1 B．1或 C．1或 D．或13．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面積是（）A． B． C．2 D．二、填空題（共15小題）14．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣6，0）、（0，8）．以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C，則點C的坐標為．15．在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，點D在BC邊上，連接AD，若tan∠CAD=，則BD的長為．16．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3=．17．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于．18．如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE=．19．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是．20．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長為．21．如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點，矩形ABCD的周長是20cm，AE=5cm，則AB的長為cm．22．如圖，我國古代數學家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比值為．

第14章勾股定理參考答案與試題解析一、選擇題（共13小題）1．如圖，點E在正方形ABCD內，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）A．48 B．60 C．76 D．80【考點】勾股定理；正方形的性質．【分析】由已知得△ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB，用S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面積．【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，∴S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE，=AB2﹣×AE×BE=100﹣×6×8=76．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的運用，正方形的性質．關鍵是判斷△ABE為直角三角形，運用勾股定理及面積公式求解．2．如圖是我國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數學問題是（）A．黃金分割 B．垂徑定理 C．勾股定理 D．正弦定理【考點】勾股定理的證明．【專題】幾何圖形問題．【分析】“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關系，解決了勾股定理的證明．【解答】解：“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關系，解決的問題是：勾股定理．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理證明的方法最常用的思路是利用面積證明．3．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，則BE的長度為何？（）A．10 B．11 C．12 D．13【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．【分析】根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質可求出AB的長，再根據勾股定理即可求出BE的長．【解答】解：∵BE⊥AC，∴△AEB是直角三角形，∵D為AB中點，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，∴BE==12，故選C．【點評】本題考查了勾股定理的運用、直角三角形的性質：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，題目的綜合性很好，難度不大．4．下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5【考點】勾股定理的逆定理．【分析】根據勾股定理的逆定理對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：A、∵12+22=5≠32，∴不能構成直角三角形，故本選項錯誤；B、∵22+32=13≠42，∴不能構成直角三角形，故本選項錯誤；C、∵22+42=20≠52，∴不能構成直角三角形，故本選項錯誤；D、∵32+42=25=52，∴能構成直角三角形，故本選項正確．故選D．【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵．5．下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，【考點】勾股定理的逆定理．【分析】根據勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可．【解答】解：A、12+22≠32，不能組成直角三角形，故錯誤；B、22+32≠42，不能組成直角三角形，故錯誤；C、42+52≠62，不能組成直角三角形，故錯誤；D、12+（）2=（）2，能夠組成直角三角形，故正確．故選D．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．6．一直角三角形的兩邊長分別為3和4．則第三邊的長為（）A．5 B． C． D．5或【考點】勾股定理．【專題】分類討論．【分析】本題中沒有指明哪個是直角邊哪個是斜邊，故應該分情況進行分析．【解答】解：（1）當兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為5，（2）當4為斜邊時，由勾股定理得，第三邊為，故選：D．【點評】題主要考查學生對勾股定理的運用，注意分情況進行分析．7．（2023?德宏州）設a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為，則ab的值是（）A． B．2 C． D．3【考點】勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】由該三角形的周長為6，斜邊長為可知a+b+=6，再根據勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．【解答】解：∵三角形的周長為6，斜邊長為，∴a+b+=6，∴a+b=，①∵a、b是直角三角形的兩條直角邊，∴a2+b2=，②由①②可得ab=3，故選D．【點評】本題考查了勾股定理和三角形的周長以及完全平方公式的運用．8．如圖，若∠A=60°，AC=20m，則BC大約是（結果精確到0.1m）（）A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形．【分析】首先計算出∠B的度數，再根據直角三角形的性質可得AB=40m，再利用勾股定理計算出BC長即可．【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m，∴BC====20≈（m），故選：B．【點評】此題主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性質，關鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．9．如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN．若四邊形MBND是菱形，則等于（）A． B． C． D．【考點】勾股定理；菱形的性質；矩形的性質．【分析】首先由菱形的四條邊都相等與矩形的四個角是直角，即可得到直角△ABM中三邊的關系．【解答】解：∵四邊形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°．設AB=x，AM=y，則MB=2x﹣y，（x、y均為正數）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．故選：C．【點評】此題考查了菱形與矩形的性質，以及直角三角形中的勾股定理．解此題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用．10．如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（）A．2 B．4 C． D．【考點】勾股定理．【分析】連接AE，求出正六邊形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并求出AE的長，再求出PE的長，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式進行計算即可得解．【解答】解：如圖，連接AE，在正六邊形中，∠F=×（6﹣2）?180°=120°，∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF=（180°﹣120°）=30°，∴∠AEP=120°﹣30°=90°，AE=2×2cos30°=2×2×=2，∵點P是ED的中點，∴EP=×2=1，在Rt△AEP中，AP===．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理，正六邊形的性質，等腰三角形三線合一的性質，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．11．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A．只有1個 B．可以有2個C．有2個以上，但有限 D．有無數個【考點】勾股定理；相似三角形的判定與性質．【專題】分類討論．【分析】兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，即已知邊均為直角邊或者8為斜邊，運用勾股定理分別求出第三邊后，和另外三角形構成相似三角形，利用對應邊成比例即可解答．【解答】解：根據題意，兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，一種是6和8為直角邊，那么根據勾股定理可知斜邊為10；另一種可能是6是直角邊，而8是斜邊，那么根據勾股定理可知另一條直角邊為．所以另一個與它相似的直角三角形也有兩種可能，第一種是，解得x=5；第二種是，解得x=．所以可以有2個．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理和三角形相似的有關知識．本題學生常常漏掉第二種情況，是一道易錯題．12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．過點C作直線l∥AB，P為直線l上一點，且AP=AB．則點P到BC所在直線的距離是（）A．1 B．1或 C．1或 D．或【考點】勾股定理；平行線之間的距離；等腰直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】如圖，延長AC，做PD⊥BC交點為D，PE⊥AC，交點為E，可得四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=，又AB=AP；所以，在直角△AEP中，可運用勾股定理求得DP的長即為點P到BC的距離．【解答】解：①如圖，延長AC，做PD⊥BC交點為D，PE⊥AC，交點為E，∵CP∥AB，∴∠PCD=∠CBA=45°，∴四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC，∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，∴AB==，∴AP=；∴在直角△AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2∴（1+DP）2+DP2=（）2，解得，DP=；②如圖，延長BC，作PD⊥BC，交點為D，延長CA，作PE⊥CA于點E，同理可證，四邊形CDPE是正方形，∴CD=DP=PE=EC，同理可得，在直角△AEP中，（EC﹣1）2+EP2=AP2，∴（PD﹣1）2+PD2=（）2，解得，PD=；故選D．【點評】本題考查了勾股定理的運用，通過添加輔助線，可將問題轉化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了學生的空間想象能力．13．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面積是（）A． B． C．2 D．【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形．【專題】計算題．【分析】如圖，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F．構建矩形AEFD和直角三角形，通過含30度角的直角三角形的性質求得AE的長度，然后由三角形的面積公式進行解答即可．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F．設AB=AD=x．又∵AD∥BC，∴四邊形AEFD是矩形，∴AD=EF=x．在Rt△ABE中，∠ABC=60°，則∠BAE=30°，∴BE=AB=x，∴DF=AE==x，在Rt△CDF中，∠FCD=30°，則CF=DF?cot30°=x．又∵BC=6，∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，解得x=2∴△ACD的面積是：AD?DF=x×x=×22=，故選：A．【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積以及含30度角的直角三角形．解題的難點是作出輔助線，構建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底邊AD以及該邊上的高線DF的長度．二、填空題（共15小題）14．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣6，0）、（0，8）．以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C，則點C的坐標為（4，0）．【考點】勾股定理；坐標與圖形性質．【分析】首先利用勾股定理求出AB的長，進而得到AC的長，因為OC=AC﹣AO，所以OC求出，繼而求出點C的坐標．【解答】解：∵點A，B的坐標分別為（﹣6，0）、（0，8），∴AO=6，BO=8，∴AB==10，∵以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，∴AB=AC=10，∴OC=AC﹣AO=4，∵交x正半軸于點C，∴點C的坐標為（4，0），故答案為：（4，0）．【點評】本題考查了勾股定理的運用、圓的半徑處處相等的性質以及坐標與圖形性質，解題的關鍵是利用勾股定理求出AB的長．15．在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，點D在BC邊上，連接AD，若tan∠CAD=，則BD的長為6．【考點】勾股定理；等腰直角三角形；銳角三角函數的定義．【分析】根據等腰直角三角形的性質可求AC，BC的長，在Rt△ACD中，根據銳角三角函數的定義可求CD的長，BD=BC﹣CD，代入數據計算即可求解．【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，∴CA2+CB2=AB2，∴CA=CB=9，∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=3，∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6．故答案為：6．【點評】綜合考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數的定義，線段的和差關系，難度不大．16．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3=12．【考點】勾股定理的證明．【分析】根據八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根據S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12．【解答】解：∵八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=KG，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG?DG=GF2+2CG?DG，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF?NF，∴S1+S2+S3=GF2+2CG?DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF?NF=3GF2=12，故答案是：12．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形的性質，根據已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解題的難點．17．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于6．【考點】勾股定理的證明．【分析】根據面積的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．【解答】解：∵AB=10，EF=2，∴大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，∴四個直角三角形面積和為100﹣4=96，設AE為a，DE為b，即4×ab=96，∴2ab=96，a2+b2=100，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，∴a+b=14，∵a﹣b=2，解得：a=8，b=6，∴AE=8，DE=6，∴AH=8﹣2=6．故答案為：6．【點評】此題考查勾股定理的證明，關鍵是應用直角三角形中勾股定理的運用解得ab的值．18．如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE=3．【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．【分析】根據等腰三角形的性質可知：兩腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的長．【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，∴AD=BE=4，∵AB=5，∴AE==3，故答案為：3．【點評】本題考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的運用，題目比較簡單．19．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是10．【考點】勾股定理．【分析】根據正方形的面積公式，結合勾股定理，能夠導出正方形A，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積．【解答】解：根據勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10．故答案是：10．【點評】本題考查了勾股定理的應用．能夠發現正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直