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第14章勾股定理一、選擇題(共13小題)1.如圖,點E在正方形ABCD內,滿足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是()A.48 B.60 C.76 D.802.如圖是我國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時給出的“弦圖”,它解決的數學問題是()A.黃金分割 B.垂徑定理 C.勾股定理 D.正弦定理3.如圖,△ABC中,D為AB中點,E在AC上,且BE⊥AC.若DE=10,AE=16,則BE的長度為何?()A.10 B.11 C.12 D.134.下列四組線段中,能組成直角三角形的是()A.a=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4 C.a=2,b=4,c=5 D.a=3,b=4,c=55.下列各組線段中,能夠組成直角三角形的一組是()A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,6 D.1,,6.一直角三角形的兩邊長分別為3和4.則第三邊的長為()A.5 B. C. D.5或7.設a、b是直角三角形的兩條直角邊,若該三角形的周長為6,斜邊長為,則ab的值是()A. B.2 C. D.38.如圖,若∠A=60°,AC=20m,則BC大約是(結果精確到0.1m)()A.34.64m B.34.6m C.28.3m D.17.3m9.如圖,在矩形ABCD中,AD=2AB,點M、N分別在邊AD、BC上,連接BM、DN.若四邊形MBND是菱形,則等于()A. B. C. D.10.如圖,正六邊形ABCDEF中,AB=2,點P是ED的中點,連接AP,則AP的長為()A.2 B.4 C. D.11.如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x,那么x的值()A.只有1個 B.可以有2個C.有2個以上,但有限 D.有無數個12.在等腰△ABC中,∠ACB=90°,且AC=1.過點C作直線l∥AB,P為直線l上一點,且AP=AB.則點P到BC所在直線的距離是()A.1 B.1或 C.1或 D.或13.如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,AD∥BC,∠ABC=60°,∠BCD=30°,BC=6,那么△ACD的面積是()A. B. C.2 D.二、填空題(共15小題)14.如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為(﹣6,0)、(0,8).以點A為圓心,以AB長為半徑畫弧,交x正半軸于點C,則點C的坐標為.15.在Rt△ABC中,CA=CB,AB=9,點D在BC邊上,連接AD,若tan∠CAD=,則BD的長為.16.我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理,創制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖(1)).圖(2)由弦圖變化得到,它是由八個全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3.若正方形EFGH的邊長為2,則S1+S2+S3=.17.如圖是“趙爽弦圖”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形,四邊形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10,EF=2,那么AH等于.18.如圖,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,則AE=.19.如圖是一株美麗的勾股樹,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面積分別為2,5,1,2.則最大的正方形E的面積是.20.在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,則邊AC的長為.21.如圖,矩形ABCD中,E是BC的中點,矩形ABCD的周長是20cm,AE=5cm,則AB的長為cm.22.如圖,我國古代數學家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形,若小正方形與大正方形的面積之比為1:13,則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比值為.
第14章勾股定理參考答案與試題解析一、選擇題(共13小題)1.如圖,點E在正方形ABCD內,滿足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是()A.48 B.60 C.76 D.80【考點】勾股定理;正方形的性質.【分析】由已知得△ABE為直角三角形,用勾股定理求正方形的邊長AB,用S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面積.【解答】解:∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,∴S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE,=AB2﹣×AE×BE=100﹣×6×8=76.故選:C.【點評】本題考查了勾股定理的運用,正方形的性質.關鍵是判斷△ABE為直角三角形,運用勾股定理及面積公式求解.2.如圖是我國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時給出的“弦圖”,它解決的數學問題是()A.黃金分割 B.垂徑定理 C.勾股定理 D.正弦定理【考點】勾股定理的證明.【專題】幾何圖形問題.【分析】“弦圖”,說明了直角三角形的三邊之間的關系,解決了勾股定理的證明.【解答】解:“弦圖”,說明了直角三角形的三邊之間的關系,解決的問題是:勾股定理.故選:C.【點評】本題考查了勾股定理的證明,勾股定理證明的方法最常用的思路是利用面積證明.3.如圖,△ABC中,D為AB中點,E在AC上,且BE⊥AC.若DE=10,AE=16,則BE的長度為何?()A.10 B.11 C.12 D.13【考點】勾股定理;直角三角形斜邊上的中線.【分析】根據在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質可求出AB的長,再根據勾股定理即可求出BE的長.【解答】解:∵BE⊥AC,∴△AEB是直角三角形,∵D為AB中點,DE=10,∴AB=20,∵AE=16,∴BE==12,故選C.【點評】本題考查了勾股定理的運用、直角三角形的性質:直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半,題目的綜合性很好,難度不大.4.下列四組線段中,能組成直角三角形的是()A.a=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4 C.a=2,b=4,c=5 D.a=3,b=4,c=5【考點】勾股定理的逆定理.【分析】根據勾股定理的逆定理對各選項進行逐一分析即可.【解答】解:A、∵12+22=5≠32,∴不能構成直角三角形,故本選項錯誤;B、∵22+32=13≠42,∴不能構成直角三角形,故本選項錯誤;C、∵22+42=20≠52,∴不能構成直角三角形,故本選項錯誤;D、∵32+42=25=52,∴能構成直角三角形,故本選項正確.故選D.【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理,熟知如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵.5.下列各組線段中,能夠組成直角三角形的一組是()A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,6 D.1,,【考點】勾股定理的逆定理.【分析】根據勾股定理的逆定理:如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形判定則可.【解答】解:A、12+22≠32,不能組成直角三角形,故錯誤;B、22+32≠42,不能組成直角三角形,故錯誤;C、42+52≠62,不能組成直角三角形,故錯誤;D、12+()2=()2,能夠組成直角三角形,故正確.故選D.【點評】本題考查了勾股定理的逆定理,在應用勾股定理的逆定理時,應先認真分析所給邊的大小關系,確定最大邊后,再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系,進而作出判斷.6.一直角三角形的兩邊長分別為3和4.則第三邊的長為()A.5 B. C. D.5或【考點】勾股定理.【專題】分類討論.【分析】本題中沒有指明哪個是直角邊哪個是斜邊,故應該分情況進行分析.【解答】解:(1)當兩邊均為直角邊時,由勾股定理得,第三邊為5,(2)當4為斜邊時,由勾股定理得,第三邊為,故選:D.【點評】題主要考查學生對勾股定理的運用,注意分情況進行分析.7.(2023?德宏州)設a、b是直角三角形的兩條直角邊,若該三角形的周長為6,斜邊長為,則ab的值是()A. B.2 C. D.3【考點】勾股定理.【專題】壓軸題.【分析】由該三角形的周長為6,斜邊長為可知a+b+=6,再根據勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值.【解答】解:∵三角形的周長為6,斜邊長為,∴a+b+=6,∴a+b=,①∵a、b是直角三角形的兩條直角邊,∴a2+b2=,②由①②可得ab=3,故選D.【點評】本題考查了勾股定理和三角形的周長以及完全平方公式的運用.8.如圖,若∠A=60°,AC=20m,則BC大約是(結果精確到0.1m)()A.34.64m B.34.6m C.28.3m D.17.3m【考點】勾股定理;含30度角的直角三角形.【分析】首先計算出∠B的度數,再根據直角三角形的性質可得AB=40m,再利用勾股定理計算出BC長即可.【解答】解:∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°,∴AB=2AC,∵AC=20m,∴AB=40m,∴BC====20≈(m),故選:B.【點評】此題主要考查了勾股定理,以及直角三角形的性質,關鍵是掌握在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.在任何一個直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.9.如圖,在矩形ABCD中,AD=2AB,點M、N分別在邊AD、BC上,連接BM、DN.若四邊形MBND是菱形,則等于()A. B. C. D.【考點】勾股定理;菱形的性質;矩形的性質.【分析】首先由菱形的四條邊都相等與矩形的四個角是直角,即可得到直角△ABM中三邊的關系.【解答】解:∵四邊形MBND是菱形,∴MD=MB.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°.設AB=x,AM=y,則MB=2x﹣y,(x、y均為正數).在Rt△ABM中,AB2+AM2=BM2,即x2+y2=(2x﹣y)2,解得x=y,∴MD=MB=2x﹣y=y,∴==.故選:C.【點評】此題考查了菱形與矩形的性質,以及直角三角形中的勾股定理.解此題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用.10.如圖,正六邊形ABCDEF中,AB=2,點P是ED的中點,連接AP,則AP的長為()A.2 B.4 C. D.【考點】勾股定理.【分析】連接AE,求出正六邊形的∠F=120°,再求出∠AEF=∠EAF=30°,然后求出∠AEP=90°并求出AE的長,再求出PE的長,最后在Rt△AEP中,利用勾股定理列式進行計算即可得解.【解答】解:如圖,連接AE,在正六邊形中,∠F=×(6﹣2)?180°=120°,∵AF=EF,∴∠AEF=∠EAF=(180°﹣120°)=30°,∴∠AEP=120°﹣30°=90°,AE=2×2cos30°=2×2×=2,∵點P是ED的中點,∴EP=×2=1,在Rt△AEP中,AP===.故選:C.【點評】本題考查了勾股定理,正六邊形的性質,等腰三角形三線合一的性質,作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵.11.如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x,那么x的值()A.只有1個 B.可以有2個C.有2個以上,但有限 D.有無數個【考點】勾股定理;相似三角形的判定與性質.【專題】分類討論.【分析】兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能,即已知邊均為直角邊或者8為斜邊,運用勾股定理分別求出第三邊后,和另外三角形構成相似三角形,利用對應邊成比例即可解答.【解答】解:根據題意,兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能,一種是6和8為直角邊,那么根據勾股定理可知斜邊為10;另一種可能是6是直角邊,而8是斜邊,那么根據勾股定理可知另一條直角邊為.所以另一個與它相似的直角三角形也有兩種可能,第一種是,解得x=5;第二種是,解得x=.所以可以有2個.故選:B.【點評】本題考查了勾股定理和三角形相似的有關知識.本題學生常常漏掉第二種情況,是一道易錯題.12.在等腰△ABC中,∠ACB=90°,且AC=1.過點C作直線l∥AB,P為直線l上一點,且AP=AB.則點P到BC所在直線的距離是()A.1 B.1或 C.1或 D.或【考點】勾股定理;平行線之間的距離;等腰直角三角形.【專題】壓軸題.【分析】如圖,延長AC,做PD⊥BC交點為D,PE⊥AC,交點為E,可得四邊形CDPE是正方形,則CD=DP=PE=EC;等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,所以,可求出BC=1,AB=,又AB=AP;所以,在直角△AEP中,可運用勾股定理求得DP的長即為點P到BC的距離.【解答】解:①如圖,延長AC,做PD⊥BC交點為D,PE⊥AC,交點為E,∵CP∥AB,∴∠PCD=∠CBA=45°,∴四邊形CDPE是正方形,則CD=DP=PE=EC,∵在等腰直角△ABC中,AC=BC=1,AB=AP,∴AB==,∴AP=;∴在直角△AEP中,(1+EC)2+EP2=AP2∴(1+DP)2+DP2=()2,解得,DP=;②如圖,延長BC,作PD⊥BC,交點為D,延長CA,作PE⊥CA于點E,同理可證,四邊形CDPE是正方形,∴CD=DP=PE=EC,同理可得,在直角△AEP中,(EC﹣1)2+EP2=AP2,∴(PD﹣1)2+PD2=()2,解得,PD=;故選D.【點評】本題考查了勾股定理的運用,通過添加輔助線,可將問題轉化到直角三角形中,利用勾股定理解答;考查了學生的空間想象能力.13.如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,AD∥BC,∠ABC=60°,∠BCD=30°,BC=6,那么△ACD的面積是()A. B. C.2 D.【考點】勾股定理;含30度角的直角三角形.【專題】計算題.【分析】如圖,過點A作AE⊥BC于E,過點D作DF⊥BC于F.構建矩形AEFD和直角三角形,通過含30度角的直角三角形的性質求得AE的長度,然后由三角形的面積公式進行解答即可.【解答】解:如圖,過點A作AE⊥BC于E,過點D作DF⊥BC于F.設AB=AD=x.又∵AD∥BC,∴四邊形AEFD是矩形,∴AD=EF=x.在Rt△ABE中,∠ABC=60°,則∠BAE=30°,∴BE=AB=x,∴DF=AE==x,在Rt△CDF中,∠FCD=30°,則CF=DF?cot30°=x.又∵BC=6,∴BE+EF+CF=6,即x+x+x=6,解得x=2∴△ACD的面積是:AD?DF=x×x=×22=,故選:A.【點評】本題考查了勾股定理,三角形的面積以及含30度角的直角三角形.解題的難點是作出輔助線,構建矩形和直角三角形,目的是求得△ADC的底邊AD以及該邊上的高線DF的長度.二、填空題(共15小題)14.如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為(﹣6,0)、(0,8).以點A為圓心,以AB長為半徑畫弧,交x正半軸于點C,則點C的坐標為(4,0).【考點】勾股定理;坐標與圖形性質.【分析】首先利用勾股定理求出AB的長,進而得到AC的長,因為OC=AC﹣AO,所以OC求出,繼而求出點C的坐標.【解答】解:∵點A,B的坐標分別為(﹣6,0)、(0,8),∴AO=6,BO=8,∴AB==10,∵以點A為圓心,以AB長為半徑畫弧,∴AB=AC=10,∴OC=AC﹣AO=4,∵交x正半軸于點C,∴點C的坐標為(4,0),故答案為:(4,0).【點評】本題考查了勾股定理的運用、圓的半徑處處相等的性質以及坐標與圖形性質,解題的關鍵是利用勾股定理求出AB的長.15.在Rt△ABC中,CA=CB,AB=9,點D在BC邊上,連接AD,若tan∠CAD=,則BD的長為6.【考點】勾股定理;等腰直角三角形;銳角三角函數的定義.【分析】根據等腰直角三角形的性質可求AC,BC的長,在Rt△ACD中,根據銳角三角函數的定義可求CD的長,BD=BC﹣CD,代入數據計算即可求解.【解答】解:如圖,∵在Rt△ABC中,CA=CB,AB=9,∴CA2+CB2=AB2,∴CA=CB=9,∵在Rt△ACD中,tan∠CAD=,∴CD=3,∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6.故答案為:6.【點評】綜合考查了等腰直角三角形的性質,勾股定理,銳角三角函數的定義,線段的和差關系,難度不大.16.我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理,創制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖(1)).圖(2)由弦圖變化得到,它是由八個全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3.若正方形EFGH的邊長為2,則S1+S2+S3=12.【考點】勾股定理的證明.【分析】根據八個直角三角形全等,四邊形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,得出CG=KG,CF=DG=KF,再根據S1=(CG+DG)2,S2=GF2,S3=(KF﹣NF)2,S1+S2+S3=12得出3GF2=12.【解答】解:∵八個直角三角形全等,四邊形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,∴CG=KG,CF=DG=KF,∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG?DG=GF2+2CG?DG,S2=GF2,S3=(KF﹣NF)2=KF2+NF2﹣2KF?NF,∴S1+S2+S3=GF2+2CG?DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF?NF=3GF2=12,故答案是:12.【點評】此題主要考查了勾股定理的應用,用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形的性質,根據已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解題的難點.17.如圖是“趙爽弦圖”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形,四邊形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10,EF=2,那么AH等于6.【考點】勾股定理的證明.【分析】根據面積的差得出a+b的值,再利用a﹣b=2,解得a,b的值代入即可.【解答】解:∵AB=10,EF=2,∴大正方形的面積是100,小正方形的面積是4,∴四個直角三角形面積和為100﹣4=96,設AE為a,DE為b,即4×ab=96,∴2ab=96,a2+b2=100,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196,∴a+b=14,∵a﹣b=2,解得:a=8,b=6,∴AE=8,DE=6,∴AH=8﹣2=6.故答案為:6.【點評】此題考查勾股定理的證明,關鍵是應用直角三角形中勾股定理的運用解得ab的值.18.如圖,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,則AE=3.【考點】勾股定理;全等三角形的判定與性質;等腰三角形的性質.【分析】根據等腰三角形的性質可知:兩腰上的高相等所以AD=BE=4,再利用勾股定理即可求出AE的長.【解答】解:∵在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,∴AD=BE=4,∵AB=5,∴AE==3,故答案為:3.【點評】本題考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的運用,題目比較簡單.19.如圖是一株美麗的勾股樹,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面積分別為2,5,1,2.則最大的正方形E的面積是10.【考點】勾股定理.【分析】根據正方形的面積公式,結合勾股定理,能夠導出正方形A,B,C,D的面積和即為最大正方形的面積.【解答】解:根據勾股定理的幾何意義,可得A、B的面積和為S1,C、D的面積和為S2,S1+S2=S3,于是S3=S1+S2,即S3=2+5+1+2=10.故答案是:10.【點評】本題考查了勾股定理的應用.能夠發現正方形A,B,C,D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直
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