廣東省梅州市水寨中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在四面體ABCD中，△BCD與△ACD均是邊長為4的等邊三角形，二面角A-CD-B的大小為60°，則四面體ABCD外接球的表面積為（

）A． B．

C．

D．參考答案：A根據題意得到這個模型是兩個全等的三角形，二面角大小為，取CD的中點記為O，連結OB，OA，根據題意需要找到外接球的球心，選擇OA的離O點近的3等分店記為E，同理去OB上一點記為F，自這兩點分別做兩個面的垂線，交于點P，則點P就是球心。在三角形POE中，角POE為三十度，OE=故答案為：A.

2.若點P（x，y）滿足線性約束條件，點，O為坐標原點，則?的最大值為(

) A．0 B．3 C．﹣6 D．6參考答案：D考點：簡單線性規劃．專題：不等式的解法及應用．分析：設z=?，根據數量積的公式計算出z，作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義，即可得到結論．解答： 解：設z=?，則z=3x+y，即y=﹣x+，作出不等式組對應的平面區域如圖：平移直線y=﹣x+，由圖象可知當直線y=﹣x+經過點A時，直線y=﹣x+的截距最大，此時z最大，由，解得，即A（1，），此時z=3×1+=3+3=6，故?的最大值為6，故選：D．點評：本題主要考查線性規劃的應用，根據數量積的公式將條件化簡，以及利用數形結合是解決本題的關鍵．3.已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B=[0，4]，則A∩B=（）A．[﹣4，﹣1） B．（2，4] C．[﹣4，﹣1）∪（2，4] D．[2，4]參考答案：B【考點】交集及其運算．【分析】解不等式得集合A，根據交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}=（﹣∞，0）∪（2，+∞），B=[0，4]，則A∩B=（2，4]．故選：B．【點評】本題考查了解不等式與集合的運算問題，是基礎題．4.設是集合A到集合B的映射，若B={1，2}，則為

（

）

A．

B．{1}

C．或{2}

D．或{1}參考答案：答案:D5.過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（﹣c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2=4cx于點P，O為原點，若|FE|=|EP|，則雙曲線離心率為(

) A． B． C． D．參考答案：A考點：雙曲線的簡單性質．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：雙曲線的右焦點的坐標為（c，0），利用O為FF'的中點，E為FP的中點，可得OE為△PFF'的中位線，從而可求|PF|，再設P（x，y）過點F作x軸的垂線，由勾股定理得出關于a，c的關系式，最后即可求得離心率．解答： 解：設雙曲線的右焦點為F'，則F'的坐標為（c，0）因為拋物線為y2=4cx，所以F'為拋物線的焦點因為O為FF'的中點，E為FP的中點，所以OE為△PFF'的中位線，所以OE∥PF'因為|OE|=a，所以|PF'|=2a又PF'⊥PF，|FF'|=2c所以|PF|=2b設P（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，所以x=2a﹣c過點F作x軸的垂線，點P到該垂線的距離為2a由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1=0，∴e=．故選：A．點評：本題主要考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，考查拋物線的定義，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．6.若復數z=，其中i為虛數單位，則=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i參考答案：B【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】根據復數的四則運算先求出z，然后根據共軛復數的定義進行求解即可．【解答】解：∵z===1+i，∴=1﹣i，故選：B7.“”是“關于的方程有實數根”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A關于x的方程有實數根，則，據此可知：“a=1”是“關于x的方程有實數根”的充分不必要條件.本題選擇A選項.8.（5分）（2015?嘉峪關校級三模）四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．若AB=2，則球O的表面積為（）A．4πB．12πC．16πD．32π參考答案：C【考點】：球的體積和表面積．【專題】：計算題；空間位置關系與距離．【分析】：取CD的中點E，連結AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積．解：取CD的中點E，連結AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面體ABCD外接球的表面積為：4πR2=16π．故選：C．【點評】：本題考查球的內接體知識，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關鍵．9.等比數列中，，=4，函數，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線l1，l2，經過右焦點F且垂直于l1的直線l分別交l1，l2于A，B兩點，若，，成等差數列，且，則該雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由雙曲線的性質可得：|AF|＝b，|OA|＝a，∴tan∠AOF＝，∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝，在直角三角形OAB中求出|AB|和|OB|，再根據等差中項列等式可得a＝2b，可得離心率．【詳解】由雙曲線的性質可得：|AF|＝b，|OA|＝a，tan∠AOF＝，∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝在Rt△OAB中，tan∠AOB＝∴|OB|＝，又|OA|，|AB|，|OB|成等差數列，∴2|AB|＝|OA|+|OB|，∴，化簡得：2a2﹣3ab﹣2b2＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，∴a﹣2b＝0，即a＝2b，∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），5a2＝4c2，∴e2＝．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若的二項展開式中，所有二項式系數和為，則該展開式中的常數項為

．參考答案：1512.給出定義：若函數f(x)在D上可導，即f′(x)存在，且導函數f′(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數，記f″(x)＝(f′(x))′，

若f″(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數，以下四個函數在(0，)上不是凸函數的是(把你認為正確的序號都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；

②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；

④f(x)＝xex.參考答案：④略13.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的k=．參考答案：4略14.某產品的廣告費用x（單位：萬元）的統計數據如下表：廣告費用x（單位：萬元）2345利潤y（單位：萬元）26●4954根據上表可得線性回歸方程=9.4x+9.1，表中有一數據模糊不清，請推算該數據的值為

．參考答案：49考點：線性回歸方程．專題：計算題；概率與統計．分析：設●為a，求出=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，即可求得a的值．解答： 解：設●為a，則由題意，=3.5，=（129+a），代入=9.4x+9.1，可得（129+a）=9.4×3.5+9.1，∴a=49故答案為：49．點評：本題考查線性回歸方程，考查學生的計算能力，利用回歸方程恒過樣本中心點是關鍵．15.曲線在點處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積為____________.參考答案：16.設定義域為R的函數f(x)滿足，則不等式的解集為__________．參考答案：(1,+∞)【分析】根據條件構造函數F（x），求函數的導數，利用函數的單調性即可得到結論．【詳解】設F（x），則F′（x），∵，∴F′（x）＞0，即函數F（x）在定義域上單調遞增．∵∴，即F（x）＜F（2x）∴，即x＞1∴不等式的解為故答案為【點睛】本題主要考查函數單調性的判斷和應用，根據條件構造函數是解決本題的關鍵．17.已知函數在區間(0,1)上是減函數，則實數a的取值范圍是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）求函數f（x）的最小值．參考答案：考點：絕對值不等式的解法；函數單調性的性質．專題：計算題；壓軸題；數形結合；分類討論．分析：根據絕對值的代數意義，去掉函數f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|中的絕對值符號，求解不等式f（x）＞2，畫出函數函數f（x）的圖象，根據圖象求得函數f（x）的最小值．解答： 解：f（x）=（1）①由，解得x＜﹣7；②，解得＜x≤4；③，解得x＞4；綜上可知不等式的解集為{x|x＜﹣7或x＞}．（2）如圖可知f（x）min=﹣．點評：考查了絕對值的代數意義，去絕對值體現了分類討論的數學思想；根據函數圖象求函數的最值，體現了數形結合的思想．屬中檔題．19.（本小題滿分13分）

已知等差數列

（I）求數列的通項公式，寫出它的前n項和；

（II）求數列的通項公式；

（III）若參考答案：解：（Ⅰ）設，由題意得，，所以，；

（Ⅱ），，所以，，……

（）又時，所以數列的通項；

（Ⅲ）

20.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥側面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是線段AB中點．（1）求證：PE⊥CD；（2）求三棱錐P﹣CDE的表面積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（1）證明AD⊥PE，PE⊥AB．即可證明PE⊥平面ABCD．然后證明PE⊥CD．（2）求出三棱錐的棱長，各個面的面積，然后求解三棱錐P﹣CDE的表面積．【解答】證明：（1）因為AD⊥側面PAB，PE?平面PAB，所以AD⊥PE．…又因為△PAB是等邊三角形，E是線段AB的中點，所以PE⊥AB．

…因為AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．

…．因為AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．而CD?平面ABCD，所以PE⊥CD…．解：（2）由（1）可知PE⊥底面ABCD，PE==．EC=，ED==．CD==，PC===，PD===．S△CDE=﹣=，S△CDP==．S△CPE==；S△PDE==三棱錐P﹣CDE的表面積：…21.(12分)已知函數f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過點(－1，－6)，且函數g(x)＝＋6x的圖象關于y軸對稱．

(1)求m、n的值及函數y＝f(x)的單調區間；（6分）(2)若a>0，求函數y＝f(x)在區間(a－1，a＋1)內的極值．（6分）參考答案：21.(1)由函數f(x)的圖象過點(－1，－6)，得m－n＝－3.①…由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得＝3x2＋2mx＋n，………………2分則g(x)＝＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的圖象關于y軸對稱，所以－＝0，解得m＝－3.代入①得n＝0.于是＝3x2－6x＝3x(x－2)．………4分由>0得x>2或x<0，故f(x)的單調遞增區間是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………5分由<0，得0<x<2，故f(x)的單調遞減區間是(0,2)．………6分(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2.………………7分當x變化時，，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)＋0－0＋f(x)增函數極大值減函數極小值增函數由此可得：當0<a<1時，f(x)在(a－1，a＋1)內有極大值f(0)＝－2，無極小值；當a＝1時，f(x)在(a－1，a＋1)內無極值；當1<a<3時，f(x)在(a－1，a＋1)內有極小值f(2)＝－6，無極大值；

略22.已知函數，（1）若對于定義域內的恒成立，求實數的取值范圍；（2）設有兩個極值點，且，求證：（3）設，若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數的取值范圍.參考答案：解：（1），

…………1分設，

………………2分當時，，當時，，

…………4分（2）

（）………5分解法1：，，且（）…6分（）…………8分設