廣東省揭陽市真理中學2021年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，直二面角中，，垂足分別為，且，則的長等于

（

）A．

B．C．

D．參考答案：B2.集合，，則=（

）A． B．

C． D．參考答案：D略3.已知函數與的圖象如圖所示，則函數（其中e為自然對數的底數）的單調遞減區間為（

）A．(0,4)

B．，

C．

D．(0,1)，(4,+∞)參考答案：D4.設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值是（

）A.0 B.1 C. D.3參考答案：B5.右圖所示的算法流程圖中，輸出的S表達式為（

）A．

B．C．

D

參考答案：A略6.已知是首項為1的等比數列，是的前n項和，且，則數列的前5項和為A．或5

B.

或5

C.

D.參考答案：C7.下列結論正確的是（

）A． B． C． D．參考答案：D8.某生產基地有五臺機器，現有五項工作待完成，每臺機器完成每項工作后獲得的效益值如表所示，若每臺機器只完成一項工作，且完成五項工作后獲得的效益值總和最大，則下列敘述正確的是（）

工作效益機器一二三四五甲1517141715乙2223212020丙913141210丁7911911戊1315141511A．甲只能承擔第四項工作 B．乙不能承擔第二項工作C．丙可以不承擔第三項工作 D．丁可以承擔第三項工作參考答案：B【考點】進行簡單的合情推理．【分析】由表知道，五項工作后獲得的效益值總和最大為17+23+14+11+15=80，但不能同時取得，再分類討論，得出乙若不承擔第二項工作，承擔第一項，甲承擔第二項工作，則戊承擔第四項工作，即可得出結論．【解答】解：由表知道，五項工作后獲得的效益值總和最大為17+23+14+11+15=80，但不能同時取得．要使總和最大，甲可以承擔第一或四項工作，丙只能承擔第三項工作，丁則不可以承擔第三項工作，所以丁承擔第五項工作；乙若承擔第四項工作；戊承擔第一項工作，此時效益值總和為17+23+14+11+13=78；乙若不承擔第二項工作，承擔第一項，甲承擔第二項工作，則戊承擔第四項工作，此時效益值總和為17+22+14+11+15=79，所以乙不承擔第二項工作，故選：B．9.從寫上0,1,2,…,9十張卡片中，有放回地每次抽一張，連抽兩次，則兩張卡片數字各不相同的概率是

(

)A.

B.

C.

D.1參考答案：A10.已知i為虛數單位，a為實數，復數z＝(a－2i)(1＋i)在復平面內對應的點為M，則“點M在第四象限”是“a＝1”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】把復數的表示形式寫成標準形式，根據復數在第四象限，得到復數的坐標所滿足的條件，橫標大于零，縱標小于零，得到a的取值范圍，得到結果．【詳解】解：∵復數z＝（a﹣2i）（1+i）＝a+2+（a﹣2）i，∴在復平面內對應的點M的坐標是（a+2，a﹣2），若點在第四象限則a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“點M在第四象限”是“a＝1”的必要而不充分條件，故選：B．【點睛】本題考查充要條件問題，考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查各個象限的點的坐標特點，本題是一個基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設橢圓上一點到左準線的距離為10，是該橢圓的左焦點，若點M滿足，則=

．參考答案：212.若焦點在x軸上的橢圓的離心率為，則m=

參考答案：略13.已知函數的圖象過原點，且在處的切線的傾斜角均為，現有以下三個命題：①；②的極值點有且只有一個；③的最大值與最小值之和為零其中真命題的序號是

.參考答案：1），（3）略14.函數f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在區間（﹣∞，4]上遞減，則實數a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣3]【考點】二次函數的性質．【分析】f（x）是二次函數，所以對稱軸為x=1﹣a，所以要使f（x）在區間（﹣∞，4]上遞減，a應滿足：4≤1﹣a，解不等式即得a的取值范圍．【解答】解：函數f（x）的對稱軸為x=1﹣a；∵f（x）在區間（﹣∞，4]上遞減；∴4≤1﹣a，a≤﹣3；∴實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]．故答案為：（﹣∞，﹣3]．15.在數學歸納法的遞推性證明中，由假設成立推導成立時，增加的項的個數是______（用k表示）參考答案：【分析】觀察中各項分母的變化規律可得增加的項的個數.【詳解】因為，各項的分母從1變化到，故共有個項，，共有，故增加的項的個數為，填【點睛】數學歸納法由歸納起點、歸納假設和歸納證明組成，其中歸納證明必須用到歸納假設，因此歸納證明的等式或不等式在歸納假設的基礎上變化了多少項要明確.16.若實數滿足不等式的取值范圍是

參考答案：略17.已知直線l1：ax+y﹣6=0與l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于點P，若l1⊥l2，則a=

，此時點P的坐標為

．參考答案：1，（3，3）．【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系．【專題】直線與圓．【分析】由直線垂直的性質得a×1+1×（a﹣2）=0，由此能求出a，再由直線l1和l2聯立方程組，能求出點P的坐標．【解答】解：∵直線l1：ax+y﹣6=0與l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于點P，l1⊥l2，∴a×1+1×（a﹣2）=0，解得a=1，解方程，解得x=3，y=3，∴P（3，3）．故答案為：1，（3，3）．【點評】本題考查兩直線垂直時直線方程中參數值的求法，考查兩直線交點坐標的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意直線垂直的性質的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知位于y軸左側的圓C與y軸相切于點（0，1），且被x軸分成的兩段弧長之比為2：1，過點H（0，t）的直線l與圓C相交于M,N兩點，且以MN為直徑的圓恰好經過坐標原點O.(1)

求圓C的方程；(2)

當t=1時，求出直線l的方程；(3)

求直線OM的斜率k的取值范圍。參考答案：19.已知函數。(1)求函數的單調區間；(2)若函數的圖像在點處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數在區間上總不是單調函數，求的取值范圍；(3)求證：。參考答案：略20.（本小題滿分12分）設命題p：（4x-3）2≤1;命題q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.參考答案：設A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}．………6分由是的必要不充分條件，得p是q的充分不必要條件，即A真包含于B，∴…………10分故所求實數a的取值范圍是.…………………12分21.已知直線l的傾斜角為30°，（結果化成一般式）（1）若直線l過點P（3，﹣4），求直線l的方程．（2）若直線l在x軸上截距為﹣2，求直線l的方程．（3）若直線l在y軸上截距為3，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線的點斜式方程；直線的斜截式方程．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】先求出直線的斜率，分別根據直線的點斜式和斜截式方程，代入求出即可．【解答】解：直線l的傾斜角為30°，則直線的斜率為：．（1）過點P（3，﹣4），由點斜式方程得：y+4=（x﹣3），∴y=x﹣﹣4，即x﹣3y﹣3﹣12=0；（2）在x軸截距為﹣2，即直線l過點（﹣2，0），由點斜式方程得：y﹣0=（x+2），則y=x+，即x﹣3y+2=0；（3）在y軸上截距為3，由斜截式方程得：y=x+3．即：x﹣3y+9=0．【點評】本題考查了求直線的斜率問題，考查直線的點斜式和斜截式方程，是一道基礎題．22.已知圓C經過A（1，3），B（﹣1，1）兩點，且圓心在直線y=x上．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）設直線l經過點（2，﹣2），且l與圓C相交所得弦長為，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）設圓C的圓心坐標為（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圓C的方程；（Ⅱ）分類討論，利用圓心到直線的距離公式，求出斜率，即可得出直線方程．【解答】解：（Ⅰ）設圓C的圓心坐