廣東省佛山市疊滘中學2022年高一數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知若函數有三個不同的零點，則a的取值范圍為（

）A．(0,1) B．(0,2) C．(1,3) D．(2,3)參考答案：A由題意可知：函數f（x）的圖象如下：由關于x的方程f（x）﹣a=0有三個不同的實數解，可知函數y=a與函數y=f（x）有三個不同的交點，由圖象易知：實數a的取值范圍為（0，1）。故答案選A。

2.過點(1,2)，且與原點距離最大的直線方程是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A解析：

由分析可知當直線過點且與垂直時原點到直線的距離最大．因為，所以，所以所求直線方程為，即．3.若函數且在上既是奇函數又是增函數，則的圖象是（

）參考答案：C4.下列函數中既是偶函數又在（0，+∞）上是增函數的是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2x+1參考答案：B【考點】函數奇偶性的判斷；函數單調性的判斷與證明．【分析】對四個選項分別利用函數奇偶性的定義判斷f（﹣x）與f（x）的關系．【解答】解：四個選項的函數定義域都是R；對于選項A，（﹣x）3=﹣x3，是奇函數；對于選項B，|﹣x|+1=|x|+1；在（0，+∞）是增函數；對于選項C，﹣（﹣x）2+1=﹣x2+1，是偶函數，但是在（0，+∞）是減函數；對于選項D，﹣2x+1≠2x+1，﹣2x+≠2x+1，是非奇非偶的函數；故選B．5.已知函數f（x）在定義域[2﹣a，3]上是偶函數，在[0，3]上單調遞增，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），則m的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】根據函數奇偶性的定義先求出a的值，根據函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化進行求解即可．【解答】解：因為函數f（x）在定義域[2﹣a，3]上是偶函數，所以2﹣a+3=0，所以a=5．所以，即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2），所以函數f（x）在[﹣3，0]上單調遞減，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m﹣1）2﹣1＜0，所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得，，解得．故選：D6.函數y＝f(x)(x∈R)的圖象如下圖所示，則函數g(x)＝f(logax)(0<a<1)的單調減區間是()參考答案：B7.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發現烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點…，用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節相吻合的是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關系；確定直線位置的幾何要素．【分析】分別分析烏龜和兔子隨時間變化它們的路程變化情況，即直線的斜率的變化．問題便可解答．【解答】解：對于烏龜，其運動過程可分為兩段：從起點到終點烏龜沒有停歇，其路程不斷增加；到終點后等待兔子這段時間路程不變，此時圖象為水平線段．對于兔子，其運動過程可分為三段：開始跑得快，所以路程增加快；中間睡覺時路程不變；醒來時追趕烏龜路程增加快．分析圖象可知，選項B正確．故選B．【點評】本題考查直線斜率的意義，即導數的意義．8.函數的零點所在的一個區間是

()A．(－2,－1)

B．(－1,0)

C．(0,1)

D．(1,2)參考答案：B9.函數的簡圖（）A．B．C． D．參考答案：B【考點】3O：函數的圖象．【分析】根據三角函數的圖形和性質進行判斷即可．【解答】解：當x=0時，y=﹣sin0=0，排除A，C．當x=時，y=﹣sin=1，排除D，故選：B．10.函數的圖象是圖中的

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義：關于的不等式的解集叫的鄰域．若的鄰域為區間，則的最小值是_______．參考答案：12.給定集合與，則可由對應關系＝_________（只須填寫一個

符合要求的解析式即可），確定一個以為定義域，為值域的函數．參考答案：，，13.奇函數上是增函數，在區間[3，6]上的最大值為8，最小值為-1，則=．參考答案：－1514.定義集合運算:設,,則集合的所有元素之和為參考答案：615.已知數列是等差數列，a1=-9，S3=S7，那么使其前n項和Sn最小的ｎ是_____________.參考答案：5略16.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為．參考答案：14π17.在等差數列中，為數列的前項和，若

參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)證明：AA1⊥BD；(2)證明：CC1∥平面A1BD.參考答案：(1)法一：因為D1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D⊥BD.又因為AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2.因此AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD.法二：因為D1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD⊥D1D.取AB的中點G，連接DG，在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD，又∠BAD＝60°，所以△ADG為等邊三角形．因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB，又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°.故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°.所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1·又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD.(2)連接AC，A1C1.設AC∩BD＝E，連接EA1，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以EC＝AC.由棱臺定義及AB＝2AD＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四邊形A1ECC1為平行四邊形．因此CC1∥EA1.又因為EA1?平面A1BD，CC1?平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.19.某小區提倡低碳生活，環保出行，在小區提供自行車出租．該小區有40輛自行車供小區住戶租賃使用，管理這些自行車的費用是每日92元，根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過5元，則自行車可以全部出租，若超過5元，則每超過1元，租不出的自行車就增加2輛，為了便于結算，每輛自行車的日租金x元只取整數，用f（x）元表示出租自行車的日純收入（日純收入=一日出租自行車的總收入﹣管理費用）（1）求函數f（x）的解析式及其定義域；（2）當租金定為多少時，才能使一天的純收入最大？參考答案：【考點】函數最值的應用．【分析】（1）利用函數關系建立各個取值范圍內的凈收入與日租金的關系式，寫出該分段函數，是解決該題的關鍵，注意實際問題中的自變量取值范圍；（2）利用一次函數，二次函數的單調性解決該最值問題是解決本題的關鍵．注意自變量取值區間上的函數類型．應取每段上最大值的較大的即為該函數的最大值．【解答】解：（1）由題意：當0＜x≤5且x∈N*時，f（x）=40x﹣92

…（1分）當x＞5且x∈N*時，f（x）=[40﹣2（x﹣5）]x﹣92=﹣2x2+50x﹣92…∴…其定義域為{x|x∈N*且x≤40}…（6分）（2）當0＜x≤5且x∈N*時，f（x）=40x﹣92，∴當x=5時，f（x）max=108（元）

…（8分）當x＞5且x∈N*時，f（x）=﹣2x2+50x﹣92=﹣2（x﹣）2+∵開口向下，對稱軸為x=，又∵x∈N*，∴當x=12或13時f（x）max=220（元）

…（10分）∵220＞108，∴當租金定為12元或13元時，一天的純收入最大為220元

…（12分）【點評】本題考查學生的函數模型意識，注意分段函數模型的應用．將每一段的函數解析式找準相應的函數類型，利用相關的知識進行解決．20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O．（Ⅰ）若AC⊥PD，求證：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：PB=PD；（Ⅲ）在棱PC上是否存在點M（異于點C），使得BM∥平面PAD？說明理由．參考答案：（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）不存在，理由詳見解析.【分析】（Ⅰ）根據菱形的對角線互相垂直，再結合已知垂直條件，利用線面垂直的判定定理可以證明出平面；（Ⅱ）由面面垂直的性質定理和菱形的對角線互相垂直，可以得到，再根據菱形對角線互相平分，這樣可以證明出；（Ⅲ）假設存在，根據菱形的性質和已知的平行條件，可以得到平面平面，顯然不可能，故假設存在不成立，故不存在，命題得證.【詳解】（Ⅰ）證明：因為底面是菱形，所以．因為，，平面，所以平面．（Ⅱ）證明：連接．由（Ⅰ）可知．因為平面平面，所以平面．因為平面，所以．因為底面是菱形，所以．所以．（Ⅲ）解：不存在，證明如下．假設存在點（異于點），使得平面．因為菱形中，，且平面，所以平面．又因為平面，所以平面平面．這顯然矛盾！從而，棱上不存在點，使得平面．【點睛】本題考查了菱形的幾何性質、線面平行的判定定理、面面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，考查了推理論證能力.21.用“五點法”畫出函數,的簡圖并寫出它在的單調區間和最值參考答案：詳見解析試題分析：根據五點法列表，五點分別為，用光滑曲線連接，根據圖像可得函數的單調區間和最值.試題解析：：列表

x012101

畫圖：.............5分函數的單調遞增區間為，遞減區間為當時，取得最大值2，當時取得最小值0.....10分考點：1.五點法做圖；2.三角函數的性質.22.（12分）已知函數．（1）判斷并證明函數f（x）的奇偶性（2）判斷并證明當x∈（﹣1，1）時函數f（x）的單調性；（3）在（2）成立的條件下，解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．參考答案：考點： 函數奇偶性的判斷；函數單調性的判斷與證明；函數單調性的性質．專題： 計算題；轉化思想．分析： （1）由于函數的定義域為R，關于原點對稱，故我們可利用函數奇偶性的性質判斷方法來解答問題；（2）由函數f（x）的解析式，我們易求出原函數的導函數的解析式，結合x∈（﹣1，1），確定導函數的符號，即可判斷函數的單調性；（3）結合（1）、（2）的結論，我們