廣東省中山市小欖鎮實驗高級中學2021-2022學年高二數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題，；命題恒成立，則，那么()A．“p”是假命題

B．“q”是真命題C．“p∧q”為真命題

D．“p∨q”為真命題參考答案：D2.設等差數列的前項和為,則(

)A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：C略3.已知一個三棱錐的三視圖如下圖所示，其中俯視圖是頂角為的等腰三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．20π B．16π C．8π D．17π參考答案：A【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】作出幾何體的三視圖，建立空間坐標系，求出外接球的球心，從而得出半徑，再計算面積．【解答】解：作出幾何體的直觀圖如圖所示：由三視圖可知底面ACD是等腰三角形，∠ACD=，AD=2，BC⊥平面ACD，BC=2，取AD的中點E，連接CE，則CE⊥AD，以E為原點，以AD為x軸，以EC為y軸，以平面ACD的垂線為z軸建立空間直角坐標系E﹣xyz，則A（﹣，0，0），B（0，1，2），C（0，1，0），D（，0，0），設三棱錐的外接球的球心為M（x，y，z），則MA=MB=MC=MD．∴（x+）2+y2+z2=x2+（y﹣1）2+（z﹣2）2=x2+（y﹣1）2+z2=（x﹣）2+y2+z2，解得x=0，y=﹣1，z=1．∴外接圓的半徑r=MA==．∴外接球的表面積S=4πr2=20π．故選：A．4.有20位同學，編號從1至20，現從中抽取4人作問卷調查，用系統抽樣法所抽的編號為（） A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、14參考答案：A【考點】系統抽樣方法． 【專題】常規題型． 【分析】系統抽樣，要求編號后，平均分租，每一組只抽一個樣本，兩個相鄰的樣本的編號間距相等 【解答】解：從20人中用系統抽樣抽4個人，須把20人平均分成4組，每一組只抽1人，且所抽取的號碼成等差數列 只有A選項滿足 故選A 【點評】本題考查系統抽樣，要求掌握系統抽樣的特點：平均分租，每一組只抽一個樣本，號碼成等差數列．屬簡單題 5.將函數的圖象F向右平移，再向上平移3個單位，得到圖象F′,若F′的一條對稱軸方程是,則的一個可能取（）A.

B.

C. D.參考答案：B略6.過點（2,1）的直線中，被圓截得弦長最長的直線方程為（

）A. B. C. D.參考答案：A7.如果P是等邊△ABC所在平面外一點，且PA=PB=PC=，△ABC邊長為1，那么PA與底面ABC所成的角是（

）．A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：A如圖，易知為正三棱錐，面，與底面所成的角，即為，，，∴，故．故選．8.函數的單調遞增區間是（

）A.

B.(0,3)

C.(1,4)

D.參考答案：D

9.圓關于對稱的圓方程是（

）A.

B.C.

D.參考答案：A10.數列3，5，9，17，33…的一個通項公式是（）A．an=2n B．an=2n+1 C．an=3n D．an=2n﹣1參考答案：B考點：數列的概念及簡單表示法．

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法．分析：根據數列的項的特點，根據規律性即可得到結論．解答：解：∵3=2+1，5=4+1，9=8+1，17=16=1，33=32+1，∴數列的通項公式可以是an=2n+1，故選：B．點評：本題主要考查數列的通項公式的求解，根據數列項的規律是解決本題的關鍵二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實數滿足不等式的取值范圍是

參考答案：略12.若曲線處的切線平行于直線的坐標是_____.參考答案：P(e,e)略13.設平面的法向量為(1,－2,2)，平面的法向量為，若∥，則的值為

▲

參考答案：－4設平面的法向量，平面的法向量，因為∥，所以，所以存在實數，使得，所以有，解得，故答案為.

14.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為． 參考答案：【考點】由三視圖求面積、體積． 【專題】計算題． 【分析】由已知中的三視圖，我們可以判斷出幾何體的形狀，進而求出幾何體的底面面積和高后，代入棱錐體積公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三視圖可得幾何體是一個三棱錐 且棱錐的底面是一個以（2+1）=3為底，以1為高的三角形 棱錐的高為3 故棱錐的體積V=（2+1）13= 故答案為： 【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積，其中根據已知判斷出幾何體的形狀是解答本題的關鍵． 15.在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x﹣4，設圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為．參考答案：[0，]【考點】直線與圓相交的性質．【分析】設M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．【解答】解：設點M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化簡得：x2+（y+1）2=4，∴點M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，又∵點M在圓C上，∴圓C與圓D的關系為相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化簡可得0≤a≤，故答案為：[0，]．【點評】本題主要考查圓與圓的位置關系的判定，兩點間的距離公式，圓和圓的位置關系的判定，屬于基礎題．16.為了解某社區居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如右統計數據表，根據右表可得回歸直線方程中＝0.76，據此估計，該社區一戶收入為15萬元家庭年支出為

收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8參考答案：11.8萬元17.計算機執行下面的程序后，輸出的結果分別是①

；②

。.

IF

THEN

ELSE

ENDIFPRINT

y-xEND

①

a=0j=1DO

a=(a+j)MOD5

j=j+1LOOPUNTILj>5PRINT

aEND②

參考答案：①–22

；②0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某車間20名工人年齡數據如下表：年齡（歲）19242630343540合計工人數（人）133543120

（1）求這20名工人年齡的眾數與平均數；（2）以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；（3）從年齡在24和26的工人中隨機抽取2人，求這2人均是24歲的概率.參考答案：（1）30；（2）詳見解析；（3）.試題分析：（1）利用車間名工人年齡數據表能求出這名工人年齡的眾數和平均數．

（2）利用車間名工人年齡數據表能作出莖葉圖．

（3）記年齡為歲的三個人為；年齡為歲的三個人為，利用列舉法能求出這人均是歲的概率．試題解析：（1）由題意可知，這名工人年齡的眾數是，這名工人年齡的平均數為：.（2）這名工人年齡的莖葉圖如圖所示：（3）記年齡為歲的三個人為；年齡為歲的三個人為，則從這人中隨機抽取人的所有可能為：，，共種.滿足題意的有種，故所求的概率為.點睛：古典概型中基本事件數的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.19.已知復數的虛部為2。

（1）求復數z；

（2）設在復平面上的對應點分別為A，B，C，求△ABC的面積；

（3）若復數z在復平面內所對應的點位于第一象限，且復數m滿足的最值。參考答案：略20.（12分）如圖，三棱柱中，側棱底面，且各棱長均相等，D、E、F分別為棱AB、BC、的中點.（1）證明：.（2）證明：平面.（3）求直線BC與平面所成角的正弦值.參考答案：21.已知數列中，，當時，，（1）證明數列是一個等差數列；（2）求.

參考答案：解：１）當n=1時，S1=a1=1當n≥2時an=Sn-Sn-1=(+)(-)