4．2二次函數的性質1．理解二次函數的定義域、值域、單調性、對稱性．(重點)2．能利用配方法或圖像法掌握二次函數的重要性質．(重點)3．會求二次函數在給定閉區間上的最大值與最小值．(難點、易混點)[基礎·初探]教材整理二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質閱讀教材P45～P47本節有關內容，完成下列問題.a的符號性質a>0a<0圖像開口方向開口向上開口向下頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)x＝－eq\f(b,2a)單調區間在區間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減少的，在區間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增加的在區間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增加的，在區間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減少的最大值、最小值當x＝－eq\f(b,2a)時，函數取得最小值eq\f(4ac－b2,4a)；無最大值當x＝－eq\f(b,2a)時，函數取得最大值eq\f(4ac－b2,4a)；無最小值判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有最小值．()(2)二次函數y＝x2－2x＋2的對稱軸為x＝－1.()(3)二次函數y＝－x2＋4x－3在區間[2，＋∞)上是增函數．()【答案】(1)×(2)×(3)×[小組合作型]二次函數的性質已知函數y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.(1)求這個函數圖像的頂點坐標和對稱軸；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝1，不計算函數值，求f(0)；(3)不直接計算函數值，試比較feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))的大小.【導學號：04100030】【精彩點撥】eq\x(fx＝3x2＋2x＋1)→eq\x(配方得頂點式)【嘗試解答】y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(2,3).(1)頂點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))，對稱軸是直線x＝－eq\f(1,3).(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝1，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＝eq\f(1,3)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＝eq\f(1,3)，所以結合二次函數的對稱性可知f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝1.(3)由f(x)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(2,3)知二次函數圖像開口向上，且對稱軸為x＝－eq\f(1,3)，所以離對稱軸越近，函數值越小．又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＜eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4))).1．已知二次函數的解析式求頂點坐標及對稱軸，一般先用配方法把二次函數解析式寫成頂點式：y＝a(x＋h)2＋k，進而確定頂點坐標為(－h，k)，對稱軸為x＝－h.2．比較兩點函數值的大小，可以先比較兩點離對稱軸的距離大小，然后結合二次函數的開口方向，從而得到它們的大小關系，也可以將要比較的兩個點轉化到同一單調區間上，利用函數的單調性比較它們的大小．[再練一題]1．已知二次函數f(x)＝－x2＋2ax，分別在下列條件下求實數a的取值(范圍)．(1)f(x)在(－∞，2)上是增函數；(2)f(x)的遞增區間為(－∞，2)．【解】∵函數f(x)＝－(x－a)2＋a2的圖像開口向下，對稱軸為x＝a，∴f(x)的單調遞增區間為(－∞，a]．(1)由題意知(－∞，2)?(－∞，a]，∴a≥2，即實數a的取值范圍是[2，＋∞)．(2)由題意知，對稱軸x＝a＝2，即實數a的取值為2.二次函數的實際應用某企業生產一種電器的固定成本(即固定投資)為萬元，每生產一臺這種電器還需可變成本(即另增加投資)25元，市場對這種電器的年需求量為5百臺．已知這種電器的銷售收入(R)與銷售量(t)的關系用拋物線段表示，如圖2-4-2.圖2-4-2(年產量與銷售量的單位：百臺；純收益的單位：萬元，生產成本＝固定成本＋可變成本，精確到1臺和萬元)(1)寫出如圖的銷售收入(R)與銷售量(t)之間的函數關系R＝f(t)；(2)認定銷售收入減去生產成本為純收益，寫出純收益與去年生產量的函數關系式，并求去年生產量是多少時純收益最大．【精彩點撥】解答本題可先由圖求出銷售收入與銷售量之間的函數關系式，即R＝f(t)，然后建立純收益與銷售量之間的函數關系式，進而求出純收益的最大值．【嘗試解答】(1)由圖可知：R＝a(t－5)2＋eq\f(25,2)，由t＝0時，R＝0得a＝－eq\f(1,2).∴R＝－eq\f(1,2)(t－5)2＋eq\f(25,2)(0≤t≤5)．(2)年純收益y＝－eq\f(1,2)t2＋5t－－eq\f(1,4)t＝－eq\f(1,2)t2＋eq\f(19,4)t－，故t＝eq\f(19,4)＝時，y取得最大值為萬元．故年產量為475臺，純收益取得最大值為萬元．求解實際問題“四部曲”：讀題：分為讀懂和深刻理解兩個層次，把“問題情景”譯為數學語言，找出問題的主要關系目標與條件的關系.2建模：把問題中的關系轉化成函數關系，建立函數解析式，把實際問題轉換成函數問題.3求解：選擇合適的數學方法求解函數.4評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以改正，最后將結果應用于現實，做出解釋或預測.也可認為分成“設元——列式——求解——作答”四個步驟.[再練一題]2．某工廠以x千克/小時的速度生產某種產品(生產條件要求1≤x≤10)，每小時可獲得的利潤是100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元，若生產該產品900千克，求該工廠獲得的最大利潤，以及此時的生產速度是多少？【解】設利潤為y元，則y＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))·eq\f(900,x)＝9×104eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))＝9×104eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋\f(61,12)))，∴當x＝6時，函數有最大值，最大值為×105元．∴該工廠獲得的最大利潤為×105元，此時的生產速度為6千克/小時．[探究共研型]二次函數的值域(最值)探究1求二次函數f(x)＝x2－2x＋3在[－2,0]上的最值．【提示】由f(x)＝(x－1)2＋2知拋物線開口向上，對稱軸為x＝1，∴f(x)在[－2,0]上單調遞減，∴當x＝－2時，f(x)有最大值f(－2)＝11；當x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝3.探究2求探究1中函數f(x)在[－2,3]上的最值．【提示】當x∈[－2,3]時，f(x)在[－2,3]上是先減后增的，故當x＝1時，f(x)有最小值f(1)＝2，又|－2－1|＞|3－1|，∴f(x)的最大值為f(－2)＝11.求探究1中函數f(x)在[t，t＋1]的最小值g(t)．【精彩點撥】可分析x＝1與區間[t，t＋1]的關系，就x＝1是否落在區間[t，t＋1]內展開討論．【嘗試解答】①當t＞1時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞增，所以當x＝t時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②當t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時，f(x)在區間[t，t＋1]上先減后增，故當x＝1時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(1)＝2.③當t＋1＜1，即t＜0時，f(t)在[t，t＋1]上單調遞減，所以當x＝t＋1時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2.綜上得g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t＋3，t＞1，,2，0≤t≤1，,t2＋2，t＜0.))求二次函數fx＝ax2＋bx＋ca＞0在[m，n]上的最值的步驟：1配方，找對稱軸.2判斷對稱軸與區間的關系.3求最值.若對稱軸在區間外，則fx在[m，n]上單調，利用單調性求最值；若對稱軸在區間內，則在對稱軸取得最小值，最大值在[m，n]端點處取得.[再練一題]3．求探究1中函數f(x)在[t，t＋1]上的最大值h(t)．【解】①當t＞1時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞增，所以當x＝t＋1時，f(x)取得最大值f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋3＝t2＋2.②當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≤1≤t＋1，,1－t≤t＋1－1，))即eq\f(1,2)≤t≤1時，f(x)在[t，t＋1]上先減后增，且對稱軸更靠近于端點t，此時當x＝t＋1時，f(x)取得最大值f(t＋1)＝t2＋2.③當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≤1≤t＋1，,1－t＞t＋1－1，))即0≤t＜eq\f(1,2)時，f(x)在[t，t＋1]上先減后增，且對稱軸更靠近于端點t＋1，此時當x＝t時，f(x)取得最大值f(t)＝t2－2t＋3.④當t＋1＜1，即t＜0時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞減，所以當x＝t時，f(x)取得最大值f(t)＝t2－2t＋3.綜上，h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋2，t≥\f(1,2)，,t2－2t＋3，t＜\f(1,2).))1.函數f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關于直線x＝1對稱，則()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1【解析】函數f(x)＝x2＋mx＋1的圖像的對稱軸為x＝－eq\f(m,2)，且只有一條對稱軸，所以－eq\f(m,2)＝1，即m＝－2.【答案】A2.下列區間中，使函數y＝－2x2＋x為增函數的是()A．R B．[2，＋∞)\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))【解析】函數y＝－2x2＋x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2＋eq\f(1,8)的對稱軸是直線x＝eq\f(1,4)，圖像開口向下，所以函數值在對稱軸x＝eq\f(1,4)的左邊是增加的．【答案】D3．二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c，滿足a＋b＋c＝0，則其圖像一定過點________.【導學號：04100031】【解析】∵a＋b＋c＝0，∴f(1)＝0，∴二次函數的圖像過點(1,0)．【答案】(1,0)4．拋物線y＝2x2－x－1的頂點坐標是________．【解析】∵y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2－eq\f(9,8)，∴拋物線的頂點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－\f(9,8))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)