§1引言.................................................................................................................................................................2一、理論分析法...............................................................................................................................................2二、試驗方法...................................................................................................................................................2§2物理現象的數學描述單值條件.....................................................................................................................3§3相似的概念.......................................................................................................................................................4一、幾何相似...................................................................................................................................................4二、運動相似...................................................................................................................................................4三、力相似：...................................................................................................................................................5§4相似第一定理（相似性質）...........................................................................................................................5一、相似指標...................................................................................................................................................5二、相似準則：...............................................................................................................................................6三、相似第一定理...........................................................................................................................................7§5相似第二定理（相似條件）.............................................................................................................................7§6相似第三定理.....................................................................................................................................................8§7方程分析法求相似準則...................................................................................................................................9一、相似轉換法...............................................................................................................................................9二、積分類比法..............................................................................................................................................11三、相似函數和非相似函.............................................................................................................................12§8因次分析法求相似準則.................................................................................................................................14一、因次的概念：.........................................................................................................................................14二、因次分析法求相似準則.........................................................................................................................15三、獨立相似準則的完整集合.....................................................................................................................16四、用矩陣求相似準則（因次分析法求相似準則的規格化）..................................................................18§9相似準則形式的選擇和試驗數據的處理.....................................................................................................22一、相似準則的轉換.....................................................................................................................................22二、試驗數據的處理.....................................................................................................................................22§10模型試驗的局限；近似模型試驗...............................................................................................................231相似理論——模型試驗的理論基礎§1引言人們研究自然現象的規律的方法,概括起來有兩種：理論分析法（數學分析法）和實驗方法。這兩種方法不是截然分開的。理論分析是建立在前人根據試驗得到的基本定律的基礎上，實驗方法中也離不開理論分析。一、理論分析法理論分析法是在自然科學的各種定律基礎上， 以數學為主要工具， 把自然規律（各物理量之間的關系）用數學方程式表達出來。對于運動看，變化著的現象，將其中的某一微元抽出來進行分析，建立起微分方程，給出邊界條件、初始條件，這個方程的解就是表征現象的各物理量之間的關系式。這種方法的優點是嚴格，準確，通用性強。這種方法的缺點是：①對于復雜的微分方程，求解往往是非常困難的； ②對于很多錯綜復雜的現象，甚至不能列出微分方程。這些缺點使理論分析受到局限。二、試驗方法1）直接試驗直接試驗就是用原型進行試驗。其優點是直觀。但是，①試驗結果只能應用于完全相同的現象，推廣受到局限；②對于有些現象無法進行直接試驗 ,如還沒有建造出的設備設施、 對于已建造出的設備但受到條件的限制（尺寸太大或太小，溫度、壓力的限制）、對造價高的設備作破壞性試驗、一些不常發生的自然現象（如地震）等，都是難于應用直接試驗法的。2）模型試驗模型試驗是通過模型來研究原型。 模型應該根據需要， 在形態、工作規律、信息傳遞規律和原型相似。模型分類：a．參觀用模型——供參觀、教學用。一般僅保持外形、活動狀態的相似。b．定性分析用的簡易模型——它體現設想，幫助構思，供分析討論用。一般僅保持外形、活動狀態相似。c．定量研究用的模型——分物理模型和數學模型。物理模型是供研究某種現象用的模型。它保持工作規律相似，物理本質不變，與原型比較僅是物理量大小比例不同。數學模型是供研究某系統在改變輸入信息后，工作過程的變化的模型。它保持信息傳遞規律相似。它和原型所進行的物理過程本質不同，但信息傳遞按同一規律進行。如計算機模擬。本課程討論的模型試驗是指“定量研究用的物理模型。 ”要求模型保證工作規律相似，所反映的現象物理本質不變。而不僅僅是外形尺寸，活動狀態相似。因此，模型試驗所說的 “模型”是指的模型現象，而不僅是一個物體的模型。模型試驗的優點：（1）試驗結果可以推廣到一切相似的現象； （2）經濟性好，節約人力、物力、時間。如阿波羅指令倉有關外殼剛度與減速度試驗，實物試驗費需 50萬美元，模型試驗費只需 9千美元，下降約15倍。土星V運截火箭實物試驗費 1000萬美元，模型試驗費 50萬美元，下降約 20倍；（3）可以對直2接試驗無法進行的現象進行試驗；（4）可以嚴格控制試驗條件，突出主要因素；（5）可以反復再現試驗。由于這些優點，模型試驗廣泛應用于各個科學領域。在汽車的研究中，模型試驗應用于研究汽車的空氣阻力，汽車的碰撞、輪胎在各種土壤條件下的牽引性能等方面。本章的內容主要是討論怎樣設計模型和怎樣整理和推廣試驗結果?！?物理現象的數學描述 單值條件現象，常用各種物理量來表征。任何現象都有其客規律。當人們認識到這個規律時，都可以把表征這個現象的各種物理量及其它參量組成一組數學方程式，一般是一組微分方程式。具體運用這個規律時，需要把方程解出來。由微分方程可得到通解。這個方程組或其通解反映了各物理量間的關系，是用數學形式對這種類型的現象的一種描述。它適合于一切這種類型的現象。例如：對于圖示振動系統，可根據牛頓第二定律，列出描述系統運動現象的微分方程：mx cx kx F解這個方程，得描述物體位移規律的通解：kcxx1x2mx1——方程對應的齊式方程mxcxkx0的通解；x2——方程的一個特解F這個微分方程和這個能解適合于一切如圖示系統的運動現象。這種現象有無數多個。每個具體的現象有它獨有的特性，或是無阻尼的、欠阻力的、過阻尼的，或是自由振動、衰減振動、受迫振動等等。上面這個方程包括了這些現象，但要區分或要描述某一個具體現象，還要給出附加條件。這個附加條件和方程組一起，才能描述個別的、具體的某一特定現象。能從服從于同一方程組的無數現象，單一地劃分出某一具體現象的附加條件，叫 單值條件。單值條件是同類現象中各個現象相互區別的標志。單值條件一給定，具體現象即確定。如給出上述振動現象的單值條件：m m0， k k0， c c0， F F0sin 0tt 0時： x 0， x 0， x 0就描述了一個具體的振動現象（一個零初始狀態的受迫振動現象） 。單值條件包括：⑴空間(幾何)條件:參與現象的物體的幾何形狀尺寸大小。如懸臂梁的長度和受力位置。⑵物理條件:參與現象的物理介質的物理性質。如振動體的質量 m；流體的密度 ,粘度 .⑶邊界條件條件 ：發生在現象邊界的對象有影響的約束情況。如懸臂梁的一端轉角 θ為零。⑷初始條件：現象的初狀態。這個初始狀態直接影響現象的演變過程。如自由振動和衰減振動現象的初始狀態x(0),x(0)決定了振幅A和初相位角α。把同類現象作為一個集合，其中每一個具體現象就是這集合的元素，而相似現象是這個集合的一個子集。如上述振動系統，每一種不同的單值條件的取值都是同類現象的一個具體現象；而根據相似的概念，相似現象的每一單值條件物理量都應是成比例的，而不是任意取的。（下一節將講述這些比例是有一定約束關系的）。因此，在模型試驗中，控制試驗條件就是控制單值條件，以使模型與原型相似，試驗結果才有意義。在實際中，由于現象的規律往往是不知道的，單值條件也不知道。準確地判定單值條件，是很重要的，也3是很困難的。綜上所述，有以下幾點：① 單值條件是指表征現象的一些 (不是全部)物理量。② 在同一類現象中，單值條件一給定，具體現象即確定，非單值條件物理量也由現象的規律而被確定。由于單值條件物理量和非單值條件物理量之間有這種從屬關系， 我們稱單值條件物理量叫 “定性量”；稱非單值條件物理量叫“ 非定性量”。③ 哪些物理量是單值條件還與研究的問題有關 .如研究應力與撓度的關系時 ,應力和撓度都可以分別作為單值條件?！?相似的概念'1"l3'1l3"一、幾何相似l1'h'l1"'h"""''"l2l22相似的概念首先出現在幾何學里。323兩個相似三角形的對應尺寸不同，但形狀一樣。相似三角形的性質（相似性質）：各對應線段的比例相等，各對應角相等，即：l1'l2'l3''hClCl——相似倍數l1"l2"l3"h"l1l2l3hCllllh'",'"'"1122,33反過來講，滿足“相似條件”的兩個三角形是相似三角形。此條件為：l1'l2'l3''hCll1"l2"l3"h"“相似性質”是指彼此已相似的現象具有的性質；“相似條件”是指滿足此條件，現象就彼此相似。幾何學中的相似概念可推廣到其它物理概念中。幾何相似（空間相似）：指對應尺寸不同，但形狀一樣的幾何體。它表現為所有對應線段都成一定比例，所有對應角都相等。t'yy。't1"二、運動相似。s’t2。t2"。s”"'tS、時間T、速度V物體的運動現象可以用路程0。t3。x等物理量來描述。運動相似就是指這些表征運動現象x0的物理量分別相似。(a)時間相似：指對應的時間間隔的比值相等：ss''12Ct常數""22’’tτ1τ2

t1”τ2”Ct是時間的相似倍數。（b）速度相似：指速度場的幾何相似。表現為在對應時刻上各對應點速度的方向一致，大小成比例：VA'VB'VC'Ct(常數）V’V”VA"VB"VC"4C）運動軌跡幾何相似：表現為軌跡曲線每對應點的坐標值成比例，斜率相等：X1'X2'y1'y2'S1'S2'ClX1"X2"y1"y2"S1"S2"三、力相似：力相似指力場的幾何相似。表現為對應點上的作用力方向一致，大小成一定比例。F1'F2'F3'CFF1"F2"F3"首先，受力體應該是幾何相似。否則就無所謂對應點了。分布載荷表現為力場幾何相似，集中載荷表現為力多邊形幾何相似。若力隨時間變化，還需時間相似，即對應時刻的力方向一致，大小成一定比例。此外，還有溫度相似、濃度相似等等?，F象相似是指在對應時刻、對應點上描述這類現象的所有同名物理量各自成一定比例關系，若是向量則方向一致。由此可知①相似只能是同類現象,這些現象能用相同的微分方程描述；②現象相似首先在空間要幾何相似和時間相似。同類現象能用相同的關系方程式或微分方程式描述。兩相似現象的同名物理量的比例值，稱為相似倍數。

F1'F2'F1"F2"F3'F3"重力場幾何相似F3'F1'F1"F3"'"Ny"Nx"NyF2'F2Nx'力多邊形幾何相 似相似倍數是一個常數?！?相似第一定理（相似性質）本節研究彼此相似的現象具有什么性質的問題。相似第一定理的內容就是說明什么是相似現象的相似性質。一、相似指標以物體受力產生加速度這種現象為例：表征兩個現象的物理量分別為Fˊ、mˊ、aˊ和F″、m″、a″。描述第一個現象的運動方程式為：Fˊ=mˊaˊ（1）描述第二個現象的運動方程式為：F″=m″a″（2）設這兩個現象相似。根據相似的概念，知道它們的同名物理量成比例：F'CF,m'Cm,a'Ca（3）F"m"a"或F'CFF",m'Cmm",a'Caa"5代入（1）式，則描述第一個現象的運動方程式為：CFF"CmCam"a"F"CmCam"a"（1*）CF因為相似現象是同類現象，描述它們的方程式應完全一致，因此比較（1*）式和（2）式得：CmCa1CF此式表明，各物理量的相似倍數不是任意的，是受到這個式子的約束的。（這是由于兩個現象都遵從于同一規律，各物理量間都有確定的函數關系）。這種約束關系用C表示，CmCa1（4）即：CCFC稱為“相似指標”。CC對于相似現象，=1?！?的，就不是相似現象。所表示的約束關系是由這類現象的自然規律所確定的，具體的說就是由描述這類現象的方程所表達的各物理量間的函數關系所確定。 C在一定程度上表達了各物理量之間的關系（即現象的規律） 。相似現象的相似指標 C的個數一般有若干個。二、相似準則：將（3）式代入（4）式，得m'a'm"a" 1'FF"整理后,這種約束關系就表示成另外一種形式：m'a' m"a"F' F"此式表明：由描述兩現象的物理量組成的這個綜合量對應相等。 （“對應”是指這些物理量是在對應時刻、對應幾何點上的取值）。這個綜合量稱為“ 相似準則”，用符號п(或π)表示:m'a'm"a"F'F"或maidem(不變量)F相似準則是表征某一現象的物理量組成的綜合量。其中的物理量不一定是表征現象的全部物理量。相似準則的特點因次為1，是無因次量（無量綱）。反之，由表征現象的物理量組成的無因次量就是相似準則。必須注意：6①相似準則包含的物理量屬同一個現象；（如m'a"）F'②相似準則中各物理量取值應是同一時刻同一點上的值（如m1a1,m1a2,腳標i表示時刻ti時的F1F1,取值）；③相似準則是時間和空間的函數 ,不是常數，即同一現象的同一準則在不同點、不同時刻的值一般不同（如m1a1m2a2）。（相似倍數在任意時刻、任意點都是一定值，是常數const）。F1F2全由定性量組成的相似準則稱“定性準則”；不全由定性量組成的相似準則稱“非定性準則”。三、相似第一定理相似第一定理：“彼此相似的現象，其相似指標為 1?！被颉氨舜讼嗟默F象，其似準則的數值相等 ?！毕嗨频谝欢ɡ肀硎隽讼嗨片F象的性質。此定理包含了如下內容（根據相似的概念， “彼此相似的現象”一句表明了①、②內容）：①相似現象屬于同一類現象，它們都可被文字上完全相同的方程式（包括描述單值條例的方程式）所描述。②相似倍數的同名物理量各自成比例關系，相似倍數是常數。③相似倍數不全都能任意取值，而是彼此有一定的約束關系?！?相似第二定理（相似條件）相似第二定理：“凡同類現象，當單值條件相似， 而且由單值條件物理量組成的相似準則在數值上相等， 則這些現象就必定相似。”此定理說明了相似條件：① 是同類現象；② 全部單值條件分別對應相似；③ 定性準則相等。由條件“③定性準則相等”，經代換整理可得由定性量（單值條件物理量）的相似倍數組成的相似指標等于1，限制了條件“②單值條件相似”的相似倍數不能任意取值。條件③的意義就在于此。第二定理的條件是相似的充要條件：⑴充分條件：若單值條件條件相似，非單值條件按現象的規律也就自行相似了。這樣，全部物理量都成比例，現象相似。單值條件確定（單值條件相似）→現象確定（現象相似）→非單值條件確定（非單值條件相似）⑵必要條件：由第一定理可知，若相似現象，則全部參數成比例，相似準則相等，即滿足②③條件。 （第一定理本身就可看作是必要條件） 。從“相似性質”和“相似條件”的意義出發，相似第一、第二定理又分別稱為“相似正定理”和“相似逆定理”。7第二定理的指導意義：是模型設計的原則?！?相似第三定理相似第三定理（又叫定理、巴金漢定理）：“描述現象的物理量關系方程式，可以轉化為相似準則之間的關系式f(1,2,,n0）?！眆(1,2,,n0）稱為“準則關系式”。相似第三定理可以證明。（證明略）說明：⑴“物理關系式”要是完整的物理方程。“完整的”是指方程的因次和諧或方程具有因次齊次性：（a）每項的因次相同。同因次的量相加、減才有物理意義。（b）方程適合于任何單位制。物理量不管取哪種單制（工程制、cgs制、國際制、英制），只要單位是統一的（屬同一單位制），方程都永遠成立。例如：F=ma因次上齊次，是一完整的物理方程。而當m=1時，F=a。F=a這個方程在因次上不和諧，不是完整的物理方程。又例如：T2lg=9.8時，Tkl（k是一常數）。因次上齊次，是一完整的物理方程。而當取gkl2.01l這個方程在因次上不和諧，不是完整的物理方程。對一些限定了物理量單位的方程，因次上不是齊次的。如 1摩爾理想氣體的狀態方程PV=RT 是一個完整的物理方程，但 PV=8.31T （P—帕 V —米3 T —開）PV=8.2×102T(ρ—大氣壓 V—升 T —開)因次沒有齊次性，不是一個完整的物理方程。（2） 1,2 n均是表征現象的物理量組成的相似準則，包括定性準則和非定性準則。相似準則是無因次量，所以，不管選擇哪種單位制，準則關系式中的各變量在數值數上都是不變的。準則關系式是描述物理量之間關系的另一種形式。是微分方程的解。相似現象的準則數值相等，因此它們的準則關系式在形式上和數值上完全相同。所以說，準則關系式適用于一切相似現象。這就為我們提供了模型試驗結果推廣的依據。定性量給定后，現象就被確定，非定性量也隨之確定了。定性量給定后，定性準則被確定，非定性準則也隨之被確定，由于這種關系，我們把準則關系式表示成非if(定1,定2,)由此可以研究非隨定變化的規律。研究的目的主要是在于研究其中的非定性量。以粘性不可壓縮流液體的穩定等溫流動為例，來說明如何利用準則關系式來整理、推廣試驗結果和利用準則關系式的優點。研究的問題：流體壓力p的規律。P是非定性量，l（幾何尺寸）、ρ（流體密度）、η（流體動力粘度）、g（重力加度）、v（流體速度）是單值8條件物理量。（如果研究流速 v的規律，則 V是非定性量）。已知的三個相似準則RevlFrglEup、v2、2v中，Eu是非定性準則，則準則關系式為Euf(Re，Fr)即p2f(vl,gl2)vvPf(evlglv2或,v2)試驗的目的就是要找出函數關系f。試驗時，可通過改變V來改變Re、Fr的值。每一Re、Fr的值對應一個Eu的值，在座標上描下這些點。用曲線擬合這些點，這個曲線就是準則關系曲線，也就是要找的函數關系f。和按有因次的物理量整理試驗結果比較，準則關系式有如下優點：⑴減少了試驗的內容。如果不按準則關系式組織試驗，就要分別探討l、ρ、η、ɡ、ν、對ρ的影響。而上例只需探討Re、Fr對Eu的影響。只用改變v來改變Re、Fr意味著只需要一種試驗設備和一種流體就行了。(2)便于控制。要想控制、改變ρ、η是較困難的，但按準則關系式只需要控制Re和Fr就行了，這可以通過控制易于控制的V來達到。試驗結果同樣能反映ρ、η和P的關系。（3）反映了現象的本質。按有因次量整理試驗結果，得到的是pf1(v)、pf2()、pf3()等關系式，不能反映現象的本質，只反映了p分別和其它量的關系。相似三定理是相似理論的主要內容，構成了模型試驗的理論基礎：①怎樣由原型設計模型?由第二定理知：必須保證單值條件相似、定性準則相等的相似條件。②試驗時測哪些數據?由第一定理可知：應該測量（這里的“測量”還有“控制”的意思）相似準則中包含的所有物理量。因為相似準則體現了模型和原型的聯系。③ 試驗結果如何處理？由第三定理可知：應該整理成準則關系式。這樣就可以推廣到一切相似現象?！? 方程分析法求相似準則方程分析法有相似轉換法和積分類比法兩種。它是根據已知的微分方程組和單值條件來求相似準則。既然方程都知道了，為什么還要作試驗？這是因為有時方程很復雜，求解非常困難，只得依靠試驗來求解。有時得到的方程式在建立過程中，為了簡便起見，作了許多假設，這時就僅是利用這個假設的方程來求相似準則而己。一、相似轉換法（例）圖示系統，求相似準則。kx解：mF9⑴ 寫出方程式和初始條件：方程式d2xkxF0m2dt初始條件:t=0時,x x0(單值條件只需寫出那些隨現象的進行而要發生變化的物理量，即初始條件。 )（2）寫出相似倍數表示式Cmm'，Cxx'，Ctt'，Ckk'，CFF'，Cx0x'0；m"x"t"k"F"x"0(3)相似轉換第一現象：'d2x'k'x'F'0（1）mdt2第二現象：m"d2x"k"x"F"0（2）dt"2由相似倍數表示式有m'Cmm"，t'Ctt"，x'Cxx",k'Ckk",F'CFF",x'0Cx0x0"代入（1）式得：（注意d(cx)=cdxd(cx)=cd2xd(cx)2cdx2）到'Cxm"d2x""x"CFF"0（1*）CmCt2dt"2CkCxk比較（1*）、（2）式有CmCxCkCxCF（3）Ct2同樣地、由兩個現象的單值條件：x'x0'，x"x0"得CxCx0（4）*（3）和（4）式可以等于任意值，也可以等（注意：（1）式右端為0；左端每一項都有一個相似倍數因子。于1，但不恒等于1，故不能在右邊寫“=1”。若等于1時，不能將CmCx、CkCx、CF、Cx、Cx0等誤認為Ct2是相似指標。這可容易地用因次等于1證明mx、kx、F等不是相似準則。）t2由（3）、（4）式有10CmCxCkCx得相似指標Cm1相似準則1mCt22kCt2CktCkCxCFChCx1kxCF2FCxCFCmCx1mxCmCt2CF32FCt2tCxCx0Cx014x0Cxx描述此現象的物理量m、k、t、F、x0、x中，前五個是定性量，只有1是定性準則。在這些物理量中，往往容易漏掉 x0。所以應該特別注意初始條件的物理量和由初始條件得到的相似準則，不要遺漏了。在以上準則中，因 3 1 2，故 1、2和 3中只有（任意）兩個是獨立的。對于相似現象，只要獨立的相似準則相等了，由獨立相似準則導出的相似準則自然也就是相等的。因此在模型試驗中，只需要討論獨立的相似準則。在用方程法求相似準則時，只討論（3）式中某1個量分別和其它量相等的情況，其它量相等則不需討論。二、積分類比法描述相似現象的方程是完全一樣的。方程式中，任意對應的兩項比值應該相等。由于方程的因次是諧和的，即各項的因次相同，所以任意兩項的比值是無因次量。因而這個比值就是一個相似準則。如m'd2x'k'x'F'0dt'2m"d2x"k"x"F"0dt"2'd2x'"k'x'k"x"mm"d2x的任意對應兩項之比相等：dt'2dt"2F'F"、F'F"第一個等式是一個相似準則kx1，第二個等式里有微分符號。下面講怎樣處理微分符號。Fu1'u2'Cuui（有腳標i）表示同一現象的第i個狀態的u值。設u2"u1"u2'u1'u'u'Cu常數u2"u1'u"u"取極限，由于常數的極限等于它本身，有11u'du'limCuu"0u"du"∵du'u'du"u"du'du'u'u'du'u'∴dt'du"u"t'dt't'du"dt't'u"即du"u"dt"dt"t"t"dt"t"dnu'dnu'u'u'dnu'u'同理dt'ndnu"u"t'n即dt'nt'ndnu"dt'nt'nu"dnu"u"dt"ndt"nt"nt"ndt"nu"n以上三個式子說明：相似現象的有微分號的對應量之比，等于去掉微分或偏微分符號“dn”“n”相應量之dnuudnu'dnu"比。（注意：上式得不出dtntn的結論，因為u和t不是對應項。dt'n和"n才是對應量。）dtm'd2x'm"d2x"d2x'因此：dt'2dt"2m'dt'2m"F'F"F'd2x"F"dt"2m'x'm"去掉“d”符號：t'2F'x"F"t"2∴m'x'm"x"即mxF't'2F"t"22Ft2由2的結果可知，直接將兩項比值中的微分符號去掉，就得到相似準則了。將積分類比法歸納成以下步驟：1）．寫出現象的微分方程組和初始條件； （不需要分別寫出兩個現象的方程和初始條件了）2）．用方程式中的任一項（只需一項，如果用了兩項，得出的相似準則將有不獨立的）除以其它各項（性質相同的項僅取其中一項）；3）所有微分量用相應量代替；沿各座標的分量用總量代替（如速度分量Vx、Vy┉用總量V代替）；座標量用定性尺寸代替（如長x、寬y、高z等幾何量用一個定性尺寸L代替）。三、相似函數和非相似函數討論相似函數和非相似函數，可以說明模型試驗的局限性。12例1：由方程式ykex（k、e是常數）求相似指標。解：y'kex'y"kex"y'x'相似倍數Cy，Cxy"x"則第一個式子為Cyy"kecxx"和第二個式子比較，得： Cy 1 Cx 1各相似倍數都等于 1，意味著不能得到相似的模型，不能進行模型試驗。例2：有y'Ax'B（1）y"Ax"B（A、B是常數）（2）用相似轉換法：將相似倍數代入得（1）式：Cyy"Ax"B（3）比較得（1）、（3）式，有Cy1Cx1。說明不能進行模式模型試驗。用積分類比法：由任意兩項之比相等，有y'y"y'y"Ax'，B；Ax"B即y'y"，y'y"；x'x"得yy，x1，23。x即有Cy1，Cx1。與用相似轉換法得到的結論相同。（若B=0，則得CyCxCy1。說明yAx可進行模型試驗，是相似函數。）Cx以上兩個函數式都不能得出相似倍數Cx，Cy的約束關系，即不能得到相似指標。我們稱能用方程分析法得到相似指標的函數式叫“相似函數”，不能用方程分析法得到相似指標的函數式叫“非相似函數”。13§8因次分析法求相似準則在多數情況下，各物理量之間關系是末知的，寫不出方程式來。只能寫出不定函數式：f（a，b，c，?‥）=0 a，b，c，?‥是表征現象的物理量這時，就只有用因次分析法來找相似準則。因次分析法有很多用途，找相似準則只是其中的一個。由于因次分析法在找相似準則中的重要作用，因次分析和模型試驗結下了不解之緣。一、因次的概念：“因次”又叫“量綱”。我們這里把物理量單位的種類（性質）叫因次。種類：長度、質量、溫度、時間、?‥，就是不同的種類。它們有各自的因次。用分別 [L]、[M]、[t]、表示。物理量單位：除了指明物理量所屬種類外，還涉及到大小的問題。如米、市尺、英寸、等等，都是長度單位，是屬“長度”這個種類的，它們的每 1單位大小不同。它們的因次都是長度的因次 [L]。因此，因次只涉及物理量的性質，而不涉及它的大小。物理量分“基本量”和“導出量” ；現象可由基本物理量表征，也可用導出物理量表征。相應地，物理量單位分“基本單位”和“導出單位” ，物理量因次分“基本因次”和“導出因次” 。導出量是由基本量導出的，可由基本量表示；導出單位是由基本單位導出的，可由基本單位表示；導出因次是由基本單位導出的，可由基本因次表示。例如：由基本量長度、時間、質量導出力，導出量力可由基本量表示為長度質量時間；時間由基本單位m（米）、S（秒）、Kg（千克）導出N（牛），導出單位N可由基本單位表示為mkg；S2由基本因次[L]、[T]、[M]導出[F]，導出因次[F]可由基本因次表示為[L]·[M]·[T]-2，或[L]·[M]·[T-2]，或[LMT-2]。所謂“基本量（或基本因次）”和“導出量（或導出因次）”是相對的，可以取任意的量（或因次）為基本量（或基本因次）。但基本量（或基本因次）必須互相獨立，即任何基本量（或基本因次）不能由其它基本量（或基本因次）導出，（如可以取L、F、不能取L、T、V），但必須完整，即任何其它量（或因次）都可由基本量（或基本因次）導出。國際單位制規定了七個基本單位：m（米）、Kg（千克）、S（秒）、A（安培）、K（開爾文）、mol（摩爾）、cd（坎德拉）。在力學中，我們常以長度、質量、時間、作為基本量，相應地，取[L]、[M]、[T]作為基本因次。其它物理量的因次，可由基本因次表示：[A]=[L][M][T]或[A]=[L][M][T]任何物理量的因次都是基本因次的冪乘積。例如：速度[V]=[L][T-1][M0]=[LT-1]角加速度[ω]=[L0][T-2][M0]=[T-2]角度因次為[1]（以弧度來理解）可按物理量間的關系式寫出因次，如：14∵振動頻率pkm111111∴[][k]2[M]2[FL1]2[M]2[LMT2L1]2[M]2[001][T1]PLMT相似準則是無因次量，[][t]0[M]0[T]0[1]，又稱其因次為1。二、因次分析法求相似準則根據① 相似準則是表征現象的各物理量的冪的乘積，即 AaBbCC ；② 相似準則的因次為 [1]( [ ] [A]a[B]b[C]c [1]); 由表征某一現象的物理量組成的無因次量是相似準則。在已知表征現象的全部物理量的條件下，就可求得相似準則。例：求物體受力產生運動的現象的相似準則。解：1）寫出描述現象的全部物理量： m、F、v、t；2）寫出相似準則通式及其因次準則通式π=Fx1mx2vx3tx4準則通式的因次[][F]x1[m]x2[v]x3[t]x4將其因次表示為基本因次的形式：[F][LMT2],[m][M],[v][LT1],[t][T]∴[][LMT2]x1[M]x2[LT1]x3[T]x4[L]x1x3[M]x1x2[T]2x1x3x43）根據[π]=[1]解出準則通式中的末知指數由[][1][L0M0T0]得方程組：x1x30x1x202x1 x3 x4 0解方程組，得x1 x4x2 x4x3 x4有無窮多組解。其基礎解只有一組。其余的解都是基礎解的線性組合。令 x4 1， 得一基礎解： x1 1， x2 1， x3 1， x4 1154）寫出相似準則將方程的解代入準則通式，得到相似準則Ft。（此準則稱為牛頓準則NeFtmv）mv5）驗算驗算[π]是否為[1]，如果為[1]，說明正確。如果不為[1]，就錯了，應檢查物理量的因次是否弄錯、解方程組是否出錯。如果又令x42，則x12，x22，x32，這一組解是基礎解的線性組合，由此得到的準則 ' (Ft)2，是不獨立的。所以，相似獨立準則的個數和基礎解的個數相等。mv由這個例子可以看出用因次分析法求相似準則的主要過程就是由“根據①”寫出相似準則的通式，再由“根據②”解出通式中的未知數x1，x2，?‥。在實際中，要找出表征現象的全部物理量往往是困難的。物理量。多了或少了，對結果都有影響。例如，在上例中，若多一個物理量加速度a，將得到兩個相似準則Ftma1，2。如果經過mamvF試驗，將得到結果：1，那就找到了F、m、a、之間的關系Fma，但這個關系是我們早已2F知熟知的，由此2是沒有什么意義的，反而增加了試驗的內容。所以，要注意判斷哪些是不獨立的物理量（即可由另外的物理量推導得出） ，在解題的第一步驟中就不應將它們列入。例如，對于同一物體的速度V、a、x、t中，就只有兩個量是獨立的。若將它們都代入，就將得到x，v或x等沒有意義的相tvatat2似準則。又如，如果將表征同一物體的幾何尺寸a、b、c都列入，將得到相似準則a、b或a。這些準則的物bcc理意義是兩相似現象中的這個物體的對應尺寸成比例。但只要我們保證了物體的幾何相似，這些準則對試驗來說就是沒有多大意義的。通常，對這些有相同意義的物理量只需取其中一個就行了。但對于相似準則（x0是單值條件），則是必要的，它表示了對初始條件的限制。x0在描述現象的方程中，有時存在有因次的常數，如氣體常數 R。在因次分析中考慮物理量時，往往容量漏掉有因次的常數，從而造成錯誤?？傊?，用因次分析法時，必須對所研究的現象的物理實質有必要的了解，才能正確確定參與現象的物理量。如果了解甚少，就只有經過反復試驗來判斷所確定的物理量是否全面、正確。三、獨立相似準則的完整集合獨立相似準則表征現象的物理量組成的無因次量都是相似準則。相似準則的加、減、乘、除、冪都是無因次量，亦都是相似準則。相似準則一般不用有加、 減號形式，且乘、除實質上是指數為 1的冪的乘積，所以說“相似準則的冪的乘積也是相似準則”。由此可知，一類相似現象的相似準則有無窮多個。但其中有些準則可以由其它一些準則的冪的乘積來表示。16所謂獨立，是指準則之間的關系。單獨一個，談獨立沒有意義。相似準則之間相互獨立，是指這些準則中的任何一個都不是其它準則的冪的乘積，即不能相互轉換。例如：設1a，2b，3c，π1，π2，π3相互獨立。則π1，π2，a4是不獨立的，其中任意兩個獨立的；b1, 2,5=a是獨立的，其中任意兩個也是是獨立的。c2．獨立相似準則的完整集合由上例， 1, 2是獨立的， 1, 2， 3也是獨立的，這種獨立的準則集合可能包括最大的獨立準則個數，就是所要討論的獨立相似準則的完整性。若1,2?m是現象的獨立相似準則，而且現象的其它任何相似準則都可以表示為這些準則的冪的乘積，則稱1,2?m為該現象的獨立相似準則的一個完整集合。完整集合有無窮多個。每一個完整集合的相似準則數都為m。若這個集合的相似準則數＞m則不獨立；若準則數＜m,則不完整，其它準則中就必定有些準則不能用這個集合中的準則的冪的積來表示。無窮多個完整集合中的任何一個完整集合，都可以代表這個現象的全部(無窮多個)相似準則，因此求相似準則就是要求出一個獨立相似準則的完整集合。求獨立相似準則的完整集合的準則數目先確定完整集合中獨立準則的個數m,再找出m個互相獨立相似準則。這m個相似準則就是一個獨立相似準則的完整集合。設表征某現象的物理量A1,A2An,共n個。其因次為[Ai][L]i[M]i[T]ii=1,2,?,n相似準則通式A1x1,A2x2,?Anxn相似準則的因次[][L]1x12x2nxn[M]1x12x2nxn[T]1x12x2nxn[L0M0T0]1x12x2nxn01x12x2nxn01x12x2nxn0定理：齊次線性方程組的系數矩陣的秩 r n時，只有唯一零解；當 r n時，有無窮多組解，每組基礎解系包含 n r個解向量?；A解系 (a1 ak)：1.k個解向量（將解看成是 n維向量）線性無關； 2.任意解向量是基礎解向量的線性組合?；A解不是唯一的，但其解向量的個數是一致的。17如果有不完全為零的數k1?,kn存在,使k11kmm0，那么1,,m線性相關；如不存在,也就是只有當k1?,kn都是零時上式才成立,那么1,,m線性無關。（為解向量，即(1,2,,n)）秩是矩陣中不為零的子式的最高階數。系數矩陣121 21 2

???

nnn若矩陣的秩為 r，則方程組基礎解解向量 (a1 ak)個數m n r。方程組的解就是相似準則中物理量的指數。若有幾組解線性相關，則對應的相似準則就不是互相獨立的。若有幾組解線性無關，則對應的相似準則是互相獨立的?；A解是解的最大線性無關組，因此，它所對應的m個獨立準則就是一個完整集合。所以，可知一個完整集合的獨立準則數和方程組的基礎解個數相等。即獨立準則數(m)=物理量個數(n)秩（r）一般基本因次都有三個([L].[M].[T])，方程組有3個等式，系數矩陣有3行，所以秩r不大于3。大多數情況下，r=3。特別是如果物理量中有因次分別為[L].[M].[T]或[L]、[F]、[T]的三個物理量（“長度、時間、質量”或“長度、時間、力”），那么系數矩陣中必然有一個三階子式：100110——對應[L]010或010——對應[M]0010-21——對應[T]不等于零，系數矩陣的秩r=3。對于方程分析法，獨立準則數m=不同類項數—1四、用矩陣求相似準則（因次分析法求相似準則的規格化）例：不可壓縮液體的等溫穩定流動解：1．考察表征現象的物理量：f(p,,g,v,,)02．寫出各物理量的因次：[p][L1MT2，2，L1MT1]，[V][LT1]，[l][L]，[][L3M]][g][LT][]183．寫出因次矩陣[][P]x1[]x2[g]x3[v]x4[l]x5[]x6pηgvlρ——物理量x1x2x3x4x5x6——物理量的指數L-1-1111-3M110001T-2-1-2-100右下角是一個矩陣，就是方程組的系數矩陣。4．計算秩和獨立相似準則的個數計算矩陣的秩：右邊的三階子式+1 +1 -30 0 0 ≠0 , r＝３-1 0 0由此可知相似準則的一個完整集合有（ 6―3=3 ）個相似準則。．寫出方程式組：-χ-χ+χ+χ+χ-3χ=0123456χ1+χ2+χ6=0-2χ1-χ2-2χ3-χ4=0解方程組：（后r個末知數用其余未知數表示）χ=-2χ-2χ-2χ41236=-χ1-χ24=-2χ1-χ2-2χ36．求相似準則（n—r）個р η g v l ρχ1 χ2 χ3 χ4 χ5 χ6π1100-20-1(令χ=1,χ=0,χ=0，則χ=2,χ=0，χ=-1)123456（n—r）個π2010-1-1-1右下角是方程組的解矩陣π3001-210p(Eu)，1)，3glF)。寫出相似準則:1v22(v2(vlRe這是一個獨立相似準則的完整集合。在求相似準則時，應注意：⑴因次矩陣和上面這個表格中，物理量排列的次序不同，得到的相似準則的形式就不同，結果是另19外的完整集合。從上面這個表格可以看出 ,左邊三個物理量只在完整集合中的一個準則中出現，而且在準則中其冪為 1。由此,我們可以合理地安排物理量的排列次序 ,以便進行試驗和整理試驗結果：）盡量使每個非定性準則中僅含一個非定性量。一般非定性量是被研究的量。于是，盡可能將量非定性量排在前面。b）盡量使每個定性準則中只含一個易調節的定性量。于是，盡可能將易調節量排在前面。c）可能忽略的量排在前面，只在準則集合中出現一次。⑵有時會出現有不重復的因次的情況，如研究氣體時，有物理量 P、V、T，只有 T是溫度因次。誰和它組成無因次量的準則呢？這時就需要考慮是否還有一個含有因次的常數？（這個常數是 R）⑶無因次物理量本身就是一個相似準則 ,如摩擦系數 f、角度 等。例如：對于不可壓縮液體的等溫穩定流動， p是非定性量，其余是定性量，定性量中 v容易調節。試驗結果整理為：非f(定1，定2，?）即Euf(Re，Fr)pf(Re，Fr)v2Eu只含一個非定性量，就可整理為：pf(Re，Fr)v2Eu，Re，Fr都含有易調節量V。一變動V，三個準則的值都要變動。如果將p、v、l、排在前面，就得p vπ1 1 0 0π2 0 1 0π3 0 0 1

lηg2211p32g223331112V3/(g)3332123l3g2/2333這時若調節 v，只變動π2，若變動 l，只變動π3。這樣，整理試驗結果p/3gg2f(v3，l32)g就方便多了。例：在彈性范圍內，求獨立相似準則的完整集合。解：1、描述現象的物理量：力P、彈性模量E，幾何尺寸l、撓度y、應力、轉角。定性量非定性量2．物理量的因次：[P][LMT2]，[E][L1MT2]，[l][L