課時作業(六十一)二項分布、正態分布及其應用1．將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P≥\f(15,16)))，則n的最小值為()A．4 B．5C．6 D．7A[由題意得P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)≥eq\f(15,16)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,16)，所以n≥4，故n的最小值為4.]2．打靶時，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時射擊一個目標，則他們同時中靶的概率是()A．eq\f(14,25) B．eq\f(12,25)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,5)A[因為甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)＝eq\f(4,5)，P(乙)＝eq\f(7,10)，所以他們都中靶的概率是eq\f(4,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(14,25).故選A．]3．(多選)(2023·山東模擬)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B與事件A1相互獨立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件BD[易知A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，P(B)＝P(B·A1)＋P(B·A2)＋P(B·A3)＝eq\f(5,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22).故選BD.]4．(多選)(2023·濟南二模)已知在某市的一次學情檢測中，學生的數學成績X服從正態分布N(100，100)，其中90分為及格線，120分為優秀線，下列說法正確的是()附：隨機變量ξ服從正態分布N(u，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜u＋σ)＝，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝，P(u－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝A．該市學生數學成績的期望為100B．該市學生數學成績的標準差為100C．該市學生數學成績及格率超過D．該市學生數學成績不及格的人數和優秀的人數大致相等AC[由題意，正態分布曲線的對稱軸為x＝100，σ＝10.∴該市學生數學成績的期望為100，故A正確；該市學生數學成績的標準差為10，故B錯誤；P(90＜x＜110)＝，P(80＜x＜120)＝，∴P(x≥90)＝＋eq\f(1,2)×＝，故C正確；P(x＜90)＝P(x＞110)＝eq\f(1,2)[1－P(90＜x＜110)]＝，P(x＜120)＝＋eq\f(1,2)×＝，則P(x≥120)＝1－＝.∴該市學生數學成績不及格的人數遠大于優秀的人數，故D錯誤．故選AC.]5．已知隨機變量ξ服從正態分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝，則P(－2≤ξ≤2)＝________．解析：因為隨機變量ξ服從標準正態分布N(0，σ2)，所以正態曲線關于直線x＝0對稱．又P(ξ>2)＝，所以P(ξ<－2)＝.所以P(－2≤ξ≤2)＝1－2×＝.答案：6．某群體中每個成員使用移動支付的概率都為p，各個成員支付方式相互獨立，設X為該群體的10名成員中使用移動支付的人數，D(X)＝，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝________，E(X)＝________．解析：由已知可得X～B(10，p)，則D(X)＝10p(1－p)＝，即25p2－25p＋6＝0，解得p＝eq\f(2,5)或eq\f(3,5)，又P(X＝4)＜P(X＝6)，即Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))p4(1－p)6＜Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(10))p6(1－p)4，解得p＞eq\f(1,2)，所以p＝eq\f(3,5)，則E(X)＝10p＝10×eq\f(3,5)＝6.答案：eq\f(3,5)；67．為了促進學生的全面發展，某市教育局要求本市所有學校重視社團文化建設，2023年該市某中學的某新生想通過考核選拔進入該校的“電影社”和“心理社”，已知該同學通過考核選拔進入這兩個社團成功與否相互獨立．根據報名情況和他本人的才藝能力，兩個社團都能進入的概率為eq\f(1,24)，至少進入一個社團的概率為eq\f(3,8)，并且進入“電影社”的概率小于進入“心理社”的概率．(1)求該同學分別通過選拔進入“電影社”的概率p1和進入“心理社”的概率p2；(2)學校根據這兩個社團的活動安排情況，對進入“電影社”的同學增加1個校本選修課學分，對進入“心理社”的同學增加個校本選修課學分，求該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數不低于1分的概率．解析：(1)根據題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p1p2＝\f(1,24)，,1－（1－p1）（1－p2）＝\f(3,8)，,p1<p2))所以p1＝eq\f(1,6)，p2＝eq\f(1,4).(2)設該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數為ξ，則P(ξ＝1)＝(1－eq\f(1,4))×eq\f(1,6)＝eq\f(1,8)；P(ξ＝＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24).所以該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數不低于1分的概率為P＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,24)＝eq\f(1,6).8．一次研究性學習有“整理數據”“撰寫報告”兩項任務，兩項任務無先后順序，每項任務的完成相互獨立，互不影響．某班有甲、乙兩個小組參加這次研究性學習．根據以往資料統計，甲小組完成研究性學習兩項任務的概率都為eq\f(1,2)，乙小組完成研究性學習兩項任務的概率都為q.若在一次研究性學習中，兩個小組完成任務項數相等，而且兩個小組完成的任務都不少于一項，則稱該班為“和諧研究班”．(1)若q＝eq\f(2,3)，求在一次研究性學習中，已知甲小組完成兩項任務的條件下，該班榮獲“和諧研究班”的概率；(2)設在完成4次研究性學習中該班獲得“和諧研究班”的次數為ξ，若ξ的數學期望E(ξ)≥1，求q的取值范圍．解析：(1)設“甲小組完成兩項任務”為事件A，“該班榮獲‘和諧研究班’”為事件B，∴P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，P(AB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9).∴P(B|A)＝eq\f(4,9).(2)該班在一次研究性學習中榮獲“和諧研究班”的概率為P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×\f(1,2)×\f(1,2)))[Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))q(1－q)]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)))q2＝q－eq\f(3,4)q2.∵ξ～B(4，P)，∴E(ξ)＝4P.由E(ξ)≥1知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q－\f(3,4)q2))×4≥1，解得eq\f(1,3)≤q≤1.即q的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).9．(2023·武漢部分學校質量檢測)同時拋擲兩個質地均勻的四面分別標有1，2，3，4的正四面體一次，記事件A＝{第一個四面體向下的一面出現偶數}；事件B＝{第二個四面體向下的一面出現奇數}；事件C＝{兩個四面體向下的一面或者同時出現奇數，或者同時出現偶數}．給出下列說法：①P(A)＝P(B)＝P(C)；②P(AB)＝P(AC)＝P(BC)；③P(ABC)＝eq\f(1,8)；④P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8).其中正確的有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個D[由古典概型的概率計算公式，得P(A)＝P(B)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(8,4×4)＝eq\f(1,2)，所以P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，①正確；P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)，④正確；而事件A，B，C不可能同時發生，故P(ABC)＝0，所以③不正確；又P(AB)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，P(AC)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，P(BC)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，所以P(AB)＝P(AC)＝P(BC)，②正確．故選D.]10．一個口袋內有n(n>3)個大小相同的球，其中3個紅球和(n－3)個白球．已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p，6p∈N，若有放回地從口袋中連續4次取球(每次只取1個球)，在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于eq\f(8,27)，則n＝________．解析：由題設知，Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))p2(1－p)2>eq\f(8,27)，∵p(1－p)>0，∴不等式化為p(1－p)>eq\f(2,9)，解得eq\f(1,3)<p<eq\f(2,3)，故2<6p<4.又∵6p∈N，∴6p＝3，即p＝eq\f(1,2)，由eq\f(3,n)＝eq\f(1,2)，得n＝6.答案：611．某電子公司新開發一電子產品，該電子產品的一個系統G有3個電子元件組成，各個電子元件能否正常工作的概率均為eq\f(1,2)，且每個電子元件能否正常工作相互獨立，若系統G中有超過一半的電子元件正常工作，則系統G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費用為500元．(1)求系統G不需要維修的概率；(2)該電子產品共由3個系統G組成，設ξ為該電子產品需要維修的系統所需的費用，求ξ的分布列與期望；(3)為提高系統G正常工作的概率，在系統內增加2個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統G可以正常工作，問：p滿足什么條件時，可以提高整個系統G的正常工作概率？解析：(1)系統G不需要維修的概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))2×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,2).(2)設X為維修的系統個數，則X～B(3，eq\f(1,2))，且ξ＝500X，P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(3))·(eq\f(1,2))k·(eq\f(1,2))3－k，k＝0，1，2，3.所以ξ的分布列為ξ050010001500Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)所以ξ的期望為E(ξ)＝500×3×eq\f(1,2)＝750.(3)當系統G有5個電子元件時，原來3個電子元件中至少有1個正常工作，系統G才正常工作．若原來3個電子元件中有1個正常工作，同時新增的2個電子元件必須都正常工作，則概率為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×eq\f(1,2)×(eq\f(1,2))2×p2＝eq\f(3,8)p2；若原來3個電子元件中有2個正常工作，同時新增的2個電子元件至少有1個正常工作，則概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))2×eq\f(1,2)×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×p×(1－p)＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))2×eq\f(1,2)×p2＝eq\f(3,8)(2p－p2)；若原來3個電子元件都正常工作，則不管新增2個電子元件能否正常工作，系統G均能正常工作，則概率為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8).所以新增2個電子元件后系統G能正常工作的概率為eq\f(3,8)p2＋eq\f(3,8)(2p－p2)＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)p＋eq\f(1,8).于是由eq\f(3,4)p＋eq\f(1,8)－eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)(2p－1)知，當2p－1>0，即eq\f(1,2)<p<1時，可以提高整個系統G的正常工作概率．12．(2023·武漢部分學校質量檢測)武漢又稱江城，是湖北省省會城市，被譽為中部地區中心城市，它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多旅游景點，每年來武漢參觀旅游的人數不勝數，其中黃鶴樓與東湖被稱為兩張名片．為合理配置旅游資源，現對已游覽黃鶴樓景點的游客進行隨機問卷調查，若不游玩東湖記1分，若繼續游玩東湖記2分，每位游客選擇是否游覽東湖景點的概率均為eq\f(1,2)，游客之間選擇意愿相互獨立．(1)從游客中隨機抽取3人，記總得分為隨機變量X，求X的分布列；(2)(ⅰ)若從游客中隨機抽取m人，記總得分恰為m的概率為Am，求數列{Am}的前10項和；(ⅱ)在對所有游客進行隨機問卷調查過程中．記已調查過的累計得分恰為n的概率為Bn，探討Bn與Bn－1之間的關系，并求數列{Bn}的通項公式．解析：(1)X的可能取值為3，4，5，6，P(X＝3)＝(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))(e