4電路定理中南大學姜霞《電工技術B》課程實際電路電路模型分析數學方程求解引言線性電路的一般分析方法

普遍性：對任何線性電路都適用。系統性：計算方法有規律可循。疊加定理替代定理等效電源定理最大功率傳輸定理本章重點UsIsR1R2引例

圖示電路中，當所有激勵Us和Is增大K倍時，其響應U和I也相應增大K倍。4.1齊性定理二、意義：

反映線性電路齊次性質。

注意：

(1)激勵是指獨立電源；

(2)只有所有激勵同時增大時才有意義。一、定理：線性電路中，當所有激勵增大K倍時，其響應也相應增大K倍。若電路中只有一個獨立源，則任一電流或電壓響應與該電源成正比。RusrRkuskr4.1齊性定理法一：分壓、分流。法二：電源變換。【例】求圖示電路各支路電流。202I20+–220120V2I4I3I1I2ABC法三：網孔或結點法?！窘狻?.1齊性定理遞推法:設I?4=1AI?3=1.1AI?2=2.1AU?BC=22VI?1=1.31AI?=3.41AU?=33.02VU?AC=26.2V=3.63416I=K·I?=12.392AI1=K·I?1=4.761AI2=K·I?2=7.632AI3=K·I?3=3.998AI4=K·I?4=3.634A方法四：用齊性原理（單位電流法）利用齊次性:202I20+–220120V2I4I3I1I2ABC4.1齊性定理4.1疊加定理在線性電路中，任一支路電流ik或支路電壓uk都是電路中各個獨立電源單獨作用時在該支路中產生的電流（或電壓）之疊加。說明：

1）只適用于線性電路；2）單獨作用是獨立電源，不包含受控電源。3）電流源不作用，開路處理；電壓源不作用，短路處理。4）功率不能用疊加定理，因功率不是電流或電壓的一次函數。一、疊加定理aI1I2U2+_R1R3R2+_I3bU1aI1＇I2＇+_R1R3R2I3＇bU1aI1〃I2〃U2R1R3R2+_I3〃b=+U1單獨作用U2單獨作用I1=I1＇-I1〃I2=-I2＇+I2〃I3=I3＇+I3〃已知U1=12V,U2=3V,R1=4,R2=4,R3=4,求I1,I2,I3。I1=I1＇-I1〃=1.75AI2=-I2‘+I2〃=-0.5AI3=I3‘+I3〃=1.25A4.1疊加定理【例】【解】3.功率不能疊加(功率為電壓和電流的乘積，為電源的二次函數)。4.

u,i

疊加時要注意各分量的參考方向。5.只對獨立源疊加（受控源應始終保留）。二、注意事項1.疊加定理只適用于線性電路。2.一個電源作用，其余電源為零：電壓源為零——短路。電流源為零——開路。

疊加方式是任意的，可以一次一個獨立電源單獨作用，也可以一次幾個獨立源同時作用，取決于使分析、計算簡便。特別4.1疊加定理【例】在圖示電路中，已知US＝10V

，IS＝2A，R1＝4，R2＝1，R3＝5，R4＝3。試用疊加定理求通過電壓源的電流I5

和電流源兩端的電壓U6

。

R2

＋－USI2

＋－U6IS

R1

I1

R4

I4

R3

I3

I5

4.1疊加定理【解】電壓源單獨作用時R2

＋－USI2

＋－U6R1

R4

I4

R3

I5

'''=I2I4＋I5=USR1＋R2＋USR3＋R4=(2+1.25)A=3.25A=I2I4－U6R2R4=12－31.25=－1.75VR2

＋－USI2

＋－U6IS

R1

I1

R4

I4

R3

I3

I5

【例】在圖示電路中，已知US＝10V

，IS＝2A，R1＝4，R2＝1，R3＝5，R4＝3。試用疊加定理求通過電壓源的電流I5

和電流源兩端的電壓U6

。

4.1疊加定理電流源單獨作用時=I2I4+U6R2R4R2

I2

＋－U6IS

R1

R4

I4

R3

I5

"

"

"

"

=I2I4－I5=R1R1＋R2IS－R3R3＋R4IS=(1.6－1.25)A=0.35A=(11.6+31.25)V=5.35VR2

＋－USI2

＋－U6IS

R1

I1

R4

I4

R3

I3

I5

可得，

=I5I5＋I5=(3.25＋0.35)A=3.6A=U6U6+U6=(－1.75+5.35)V=3.6V【例】在圖示電路中，已知US＝10V

，IS＝2A，R1＝4，R2＝1，R3＝5，R4＝3。試用疊加定理求通過電壓源的電流I5

和電流源兩端的電壓U6

。

4.1疊加定理【例】求電壓Us。10V電壓源單獨作用：4A電流源單獨作用：+–10V6I14A+–Us+–10I1410V+–6I1'+–10I1'4+–Us'6I1''4A+–Us''+–10I1''4（含受控源電路）+4.1疊加定理【解】可加性：

(結合齊性定理及疊加定理)Rk1us1k1r1Rk2us2k2r2k2us2k1r1+

k2r2Rk1us1R

us1

r14.1疊加定理US

【例】電路如圖所示，當開關S在位置“1”時，毫安表的讀數為40mA；當開關S在位置“2”時，毫安表的讀-60mA。問開關S在位置“3”時，毫安表的讀數為多少？4.1疊加定理US【解】方法一：US

4.1疊加定理當6V電壓源單獨作用時US

4.1疊加定理US方法二：設所有電源共同作用時毫安表的讀數為：由已知，得：4.1疊加定理【例】封裝好的電路如圖，已知下列實驗數據：研究激勵和響應關系的實驗方法【解】根據疊加定理代入實驗數據：無源線性網絡uSi－＋iS4.1疊加定理的應用iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0全響應=iS(t=0)US+–uRC+–

uCRuC

(0－)=0零狀態響應+uC(0－)=U0零輸入響應C+–

uCiS(t=0)+–uRR全響應=

零狀態響應

+零輸入響應4.1疊加定理的應用零狀態響應零輸入響應【例】應用疊加定理求電壓u。+_+_+_u12V6V2A254ii思考題

在任意集中參數電路中，若第k條支路的電壓uk和電流ik已知，則該支路可用下列任一元件組成的支路替代:

（1）電壓為uk的理想電壓源；（2）電流為ik的理想電流源；（3）電阻為Rk=uk/ik的電阻元件。

替代前后電路中各處電壓和電流均保持不變。4.2替代定理支路

kAik+–ukA+–ukikAA+–ukikR理想電壓源代替理想電流源代替電阻代替1、支路k應為已知支路；

2、替代與等效不相同；

3、替代電源的方向應與原電壓、電流一致。注意：4.2替代定理＋－i31055110V10i2i1＋－u【例】求圖示電路的支路電壓和電流。替代＋－i31055110Vi2i1＋－60V替代以后有：替代后各支路電壓和電流完全不變。4.2替代定理【解】

替代前后KCL,KVL關系相同。用uk替代后，其余支路電壓不變(KVL)，其余支路電流也不變，故第k條支路ik也不變(KCL)。用ik替代后，其余支路電流不變(KCL)，其余支路電壓不變，故第k條支路uk也不變(KVL)。原因：說明：1.替代定理既適用于線性電路，也適用于非線性電路。3.替代后其余支路及參數不能改變。2.替代后電路必須有唯一解無電壓源回路；無電流源結點(含廣義結點)。1.5A10V5V25＋－－＋2.5A1A

5V+－？？4.2替代定理【例】若要使試求Rx。4.2替代定理的應用0.50.5+10V31RxIx–+UI0.5＋－【解】用替代：=+0.50.51–+UI0.50.50.51–+U'I0.50.50.51–+U''0.5U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2IxRx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2工程實際中，常常碰到只需研究某一支路的電壓、電流或功率的問題。對所研究的支路來說，電路的其余部分就成為一個有源二端網絡。有源二端網絡R1

＋－R2

IS

US

對R2而言，有源二端網絡相當于其電源。在對外部等效的條件下可用一個等效電源來代替。R0

＋－Uoc

戴維寧等效電源R0

ISC

諾頓等效電源4.3等效電源定理一、定理:

任何一個線性有（含）源一端口網絡，對外電路來說，總可以用一個電壓源和電阻的串聯組合來等效置換；此電壓源的電壓等于外電路斷開時端口處的開路電壓uoc，而電阻等于一端口的輸入電阻（或等效電阻）Req。4.3戴維寧定理abiu+-NsiabRequoc+-u+-二、定理的應用1.開路電壓uoc的計算等效電阻為將一端口網絡內部獨立電源全部置零(電壓源短路，電流源開路)后，所得不含獨立源一端口網絡的輸入電阻。常用下列方法計算：2.等效電阻的計算戴維寧等效電路中電壓源電壓等于將外電路斷開時的開路電壓uoc，電壓源方向與所求開路電壓方向有關。計算uoc的方法視電路形式選擇前面學過的任意方法，使易于計算。4.3戴維寧定理求端口處等效電阻Req的幾種方法：

加壓求流法：加流求壓法：NO+us_ioRino

1）將網絡內的獨立電源置零，利用電阻的串、并聯以及Δ、Y之間的等效變換求得。

2）外加電源法將網絡N內所有獨立源置零，在端口處外加電壓源uS（或電流源iS），求其端口處的電流i

(或電壓u)。is+u_oRinoNO4.3戴維寧定理3）開短路法（保留內部獨立源）先求端口處的開路電壓uoc，再求出端口處短路后的短路電流isc。abNs+–uOCabNsisc外電路可以是任意的線性或非線性電路，外電路發生改變時，含源一端口網絡的等效電路不變(伏安特性等效)。當一端口內部含有受控源時，控制電路與受控源必須包含在被化簡的同一部分電路中。注意4.3戴維寧定理aI1I2U2+_R1R3R2+_I3bU1已知：U1=12V,U2=3V,R1=4,R2=4,R3=4。試用戴維寧定理求I3。aU2+_R1R3R2+_b+_U1①斷開待求支路求開路電壓Uoc：【解】Uoc=Uab【例】=1.125R2+U2=7.5V4.3戴維寧定理aI1I2U2+_R1R3R2+_I3bU1已知：U1=12V,U2=3V,R1=4,R2=4,R3=4。試用戴維寧定理求I3?！纠俊窘狻竣诔?將電壓源U1,U2短路)后，求等效內阻Ro：Ro=R1//R2=2aR1R3R2b+_4.3戴維寧定理aI1I2U2+_R1R3R2+_I3bU1已知：U1=12V,U2=3V,R1=4,R2=4,R3=4。試用戴維寧定理求I3?！纠俊窘狻竣郛嫵龅刃щ娐非驣3：R3+-RoUocI3abUoc=7.5VRo=24.3戴維寧定理【例】用戴維寧定理求電流I2。+Uoc-移去待求支路,有除源外加電壓,有：由等效電路得:I210mA6K4K+–3K4K2000II10mA6K4K+–3K2000I’I’6K4K+–3K2000I”I”+–IU【解】(1)求UOC(2)求RO4KI2+–4.3戴維寧定理【例】上例采用開路和短路法求R0更簡單。開路和短路法求等效電阻:仍然有:I210mA6K4K+–3K4K2000II10mA6K4K+–2000I’I’+–UOC10mA6K4K+–2000I’I’+–3KI24K10mA4KISCISC4.3戴維寧定理【例】求出圖示電路的戴維寧等效電路。+Uoc-15V(10-6μ)kμI+–6K4K10V0.5mAIμI6K4KI+U-=

15V

【解】1)求開路電壓Uoc:由于開路,I=0,故有:2)求外加電壓求輸入電阻Ro:由除源等效電路,有:+–4.3戴維寧定理Uoc+–Req3UR-+【解】(1)求開路電壓UocUoc=6I1+3I1I1=9/9=1AUoc=9V36I1+–9V+–Uoc+–6I1【例】已知如圖（含受控源），求UR

。36I1+–9V+–UR+–6I134.3戴維寧定理方法一:加壓求流（獨立源置零，受控源保留）U=6I1+3I1=9I1I1=I6/(6+3)=(2/3)IReq=U/I=636I1+–6I1U+–IU=9(2/3)I=6I等效電路(2)求等效電阻ReqUoc+–9VReq64.3戴維寧定理方法二:開路電壓、短路電流法已知:Uoc=9V6I1+3I1=0I1=0Isc=1.5A36I1+–9VIsc+–6I16+–9VIsc(3)等效電路求UR3UR-+Uoc+–9VReq64.3戴維寧定理小結abiu+-NsiabRequoc+-u+-4.3諾頓定理

任何一個線性有（含）源一端口電路，對外電路來說，可以用一個電流源和電阻的并聯組合來等效置換；電流源的電流等于該一端口的短路電流，電阻等于該一端口的輸入電阻。一般情況，諾頓等效電路可由戴維寧等效電路經電源等效變換得到。諾頓等效電路可采用與戴維寧定理類似的方法證明。abReqIsc注意一、定理:abiu+-Ns二、定理的應用1.短路電流isc

的計算等效電阻為將一端口網絡內部獨立電源全部置零(電壓源短路，電流源開路)后，所得不含獨立源一端口網絡的輸入電阻。常用下列方法計算：2.等效電阻的計算

諾頓等效電路中電流源電流等于將外電路短路時的短路電流isc，電流源方向與所求短路電流方向有關。計算isc的方法視電路形式選擇前面學過的任意方法，使易于計算。4.3諾頓定理Ns外電路iscNsisc外電路N04.3諾頓定理12V210+–24Vab4I+–12V210+–24VabISC+–【例】用諾頓定理求電流

I?！窘狻?1)求短路電流IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A(2)求等效電阻ReqReq=10//2=1.67(3)諾頓等效電路:Req210ab應用分流公式:4Iab-9.6A1.67I=2.83A電流源方向?I1

I24.3諾頓定理【例】求電壓U。36+–24Vab1A3+–U666(1)求短路電流Isc【解】(2)求等效電阻Req(3)諾頓等效電路:Iscab1A4＋－UIscReq4.3諾頓定理【例】圖示電路，用諾頓定理求電流I2。I210mA6K4K+–3K4K2000II10mA6K4K+–2000I’I’10mA4K