第八章晶體內部結構的微觀對稱

前面幾章我們學習了晶體宏觀對稱理論,本章將從宏觀進入微觀,探討晶體結構內部微觀對稱.要注意宏觀與微觀的對比.四個方面的內容：一、十四種空間格子－－晶體結構中的周期性平移對稱；

二、內部對稱要素－－宏觀對稱要素與平移對稱結合產生的內部結構特有的對稱要素；三、空間群－－與宏觀晶體的點群對應；

四、等效點系－－與宏觀晶體的單形對應。

一、十四種空間格子（十四種布拉維格子）

1．平行六面體的選擇對于每一種晶體結構而言，其結點(相當點)的分布是客觀存在的，但平行六面體的選擇是人為的。平行六面體的選擇原則如下：1）所選取的平行六面體應能反映結點分布整體所固有的對稱性；2）在上述前提下，所選取的平行六面體中棱與棱之間的直角關系力求最多；3）在滿足以上二條件的基礎上，所選取的平行六面體的體積力求最小。

下面兩個平面點陣圖案中，請同學們畫出其空間格子：

4mmmm24mm

mm2引出一個問題：空間格子可以有帶心的格子；另外請思考：如果上面的圖案對稱為3m，該怎么畫？上述畫格子的條件實質上與前面所講的晶體定向的原則是一致的（回憶晶體定向原則？），也就是說，我們在宏觀晶體上選出的晶軸就是內部晶體結構中空間格子三個方向的行列。

2．各晶系平行六面體的形狀和大小平行六面體的形狀和大小用它的三根棱長（軸長）a、b、c及棱間的夾角（軸角）、、表征。這組參數（a、b、c；、、）即為晶胞參數.在晶體宏觀形態我們可以得到各晶系的晶體常數特點，是根據晶軸對稱特點得出的.宏觀上的晶體常數與微觀的晶胞參數是對應的,但微觀的晶體結構中我們可以得到晶胞參數的具體數值。3．平行六面體中結點的分布（即格子類型）1）原始格子（P）：結點分布于平行六面體的八個角頂上。2）底心格子（C、A、B）：結點分布于平行六面體的角頂及某一對面的中心。3）體心格子（I）：結點分布于平行六面體的角頂和體中心。4）面心格子（F）：結點分布于平行六面體的角頂和三對面的中心。

其中底心、體心、面心格子稱帶心的格子，我們在前面畫格子的例子中已經知道有帶心格子的存在，這是因為有些晶體結構在符合其對稱的前提下不能畫出原始格子，只能畫出帶心的格子。4．十四種布拉維格子七個晶系---七套晶體常數—七種平行六面體種形狀。每種形狀有四種類型，那么就有7×4=28種空間格子？但在這28種中，某些類型的格子彼此重復并可轉換，還有一些不符合某晶系的對稱特點而不能在該晶系中存在，因此,只有14種空間格子，也叫14種布拉維格子。（A.Bravais于1848年最先推導出來的）舉例說明：1、四方底心格子可轉變為體積更小的四方原始格子；2、在等軸晶系中，若在立方格子中的一對面的中心安置結點，則完全不符合等軸晶系具有4L3的對稱特點，故不可能存在立方底心格子。例1：四方底心格子＝四方原始格子例2：立方底心格子不符合等軸晶系對稱思考：立方底心格子符合什么晶系的對稱？還應指出的是：對于三、六方晶系的四軸定向也可轉換成三軸定向，變為菱面體格子。我們一般都用四軸定向。

另外，六方原始格子為六方柱的頂底面加心，不要誤認為六方底心格子。

十四種空間格子見表7-1。二、晶體內部結構的對稱要素

研究空間格子僅僅是研究了晶體結構的平移對稱性,除了平移對稱外,晶體結構還有與宏觀形態上一樣的旋轉,反映對稱.并且這些旋轉、反映操作與平移操作復合起來就會產生內部結構特有的一些對稱要素：1．平移軸

為一直線，圖形沿此直線移動一定距離，可使相等部分重合，晶體結構中任一行列都是平移軸。舉例：

2．螺旋軸

為一條假想直線，當結構圍繞此直線旋轉一定角度，并平行此直線移動一定距離后，結構中的每一質點都與其相同的質點重合。舉例：螺旋軸的國際符號一般寫成ns。n為軸次，s為小于n的自然數。

若沿螺旋軸方向的結點間距標記為T，則質點平移的距離t應為（s/n）·T，其中t稱為螺距。

螺旋軸據其軸次和螺距可分為21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65共11種。它們各代表什么意思？舉例：41

意為按右旋方向旋轉90度后移距1/4T；而43意為按右旋方向旋轉90度后移距3/4T。那么，

41和43是什么關系？43在旋轉2個90度后移距2×3/4T=1T+1/2T，旋轉3個90度后移距3×3/4T=2T+1/4T。T的整數倍移距相當于平移軸，可以剔除，所以，43相當于旋轉270度移距1/4T，也即反向旋轉90度移距1/4T。

所以，41和43是旋向相反的關系。

1/41/23/403/41/21/404143規定：41為右旋，43則為左旋。但43右旋時移距應為3/4T。

即螺旋軸的國際符號ns是以右旋為準的。凡0<s<n/2者，為右旋螺旋軸（包括31、41、61、62）；凡n/2<s<n者，為左旋螺旋軸（包括32、43、64、65）；而s=n/2者，為中性螺旋軸（包括21、42、63）。

3．滑移面

是一假想的平面，當結構對此平面反映，并平行此平面移動一定距離后，結構中的每一個點與其相同的點重合。

例如:NaCl晶體結構.示晶體格架.滑移面按其滑移的方向和距離可分為a、b、c、n、d五種。其中a、b、c為軸向滑移，移距分別為1/2a，1/2b，1/2c。n為對角線滑移，移距為1/2（a+b）or1/2（b+c）等。d為金剛石型滑移，移距為1/4（a+b）等。舉例：三、空間群空間群為晶體內部結構的對稱要素（操作）的組合。空間群共有230種，空間群亦稱之為費德洛夫群（Fedrovgroup）或圣佛利斯群（Schoenfliesgroup）。空間群是從對稱型（點群）中推導出來的，每一對稱型（點群）可產生多個空間群，所以32個對稱型（點群）可產生230種空間群。空間群與對稱型（點群）的區別：有限圖形（晶體形態）------無限圖形（晶體結構）點操作（有一個點不動）------空間操作

m，n，n，------m，n，n，ns，

a，b，d、、、空間群與對稱型（點群）體現了晶體內部結構的對稱與晶體外形對稱的統一。如在晶體外形的某一方向上有4，則在晶體內部結構中相應的方向可能是4、41、42或許43，也可能有2。

空間群的國際符號包括兩個組成部分，前一部分為大寫英文字母，表示格子類型（P、C（A、B）、I、F）；后一部分與對稱型（點群）的國際符號基本相同，只是其中晶體的某些宏觀對稱要素的符號需換成相應的內部結構對稱要素的符號。例如：P42/mnm

它的點群是什么？格子類型是什么？在什么方向有什么對稱要素？空間群的投影很復雜，見圖7-16。四、等效點系

等效點系是指：晶體結構中由一原始點經空間群中所有對稱要素操作所推導出來的規則點系。等效點系與空間群的關系，相當于單形與對稱型（點群）的關系。在晶體結構中，質點按等效點系分布，同種類型質點占據一套或幾套等效點系，不同種類型質點不能占