第五章靜態場的邊值問題主要內容靜電場邊值問題和唯一性定理直接積分法分離變量法※鏡像法※保角變換法和有限差分法(自學)1靜電場的邊值問題一般情況下電位或場強滿足兩個方程無源——Laplace’sEquation有源——Poission’sEquation邊值問題：在給定邊界條件下求解偏微分方程Poission’sEquation+邊界條件Laplace’sEquation+邊界條件2邊值問題的分類第1類:已知整個邊界上的電位DirichletProblems狄理赫利問題第2類:已知整個邊界上電位的法導NeumannProblems紐曼問題第3類:已知部分邊界電位+另一部分邊界電位法導HybridProblems

混合問題3§5.3一維場——直接積分例1.求同軸線中的電場分布，已知半徑a和b，電位U和0。書P118例5.1在柱坐標系下，將拉普拉斯方程展開r>0代入邊界條件:r=a時y=U，r=b時y=0，C1=?,C2=?4例2已知：導體球，半徑a，球體電位U(基準?)求：球外的電位？分析：球對稱！——采用球坐標系且有幾種方法可以求“電位”？在此用拉氏方程球座標系下展開：直接積分得：5確定兩個待定常數——邊界條件r=a時y=U，r=∞時y=0，C1=?,C2=?6例3.書p119例5.2填充了兩種介質的同軸線，求電位。還已知內外導體的電位利用對稱性，電位與j、z座標無關，僅與r相關柱座標系下拉氏方程需要幾個邊界條件？7內容包括二維拉氏方程直角坐標系下柱坐標系下未包括：二維球坐標系下拉氏方程三維Laplace方程求解泊松方程（非齊次方程）求解§5.4分離變量法求解拉氏方程8分離變量法的主要思想將方程中含有各個變量的項分離開來，從而原方程拆分成多個更簡單的只含1個自變量的常微分方程；運用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個齊次的或易于求解的方程；利用高數知識、級數求解知識、以及其他巧妙方法，求出各個方程的通解；最后將這些通解“組裝”起來。9笛卡兒坐標系中分離變量法求解令：兩邊同時除以：10——三項中每一項必須是常數！令：11的求解1.如果(k為正實數)2.如果3.如果(k為正實數)12確定Y和Z通解的步驟類似最后再將X、Y、Z的通解“組裝”在一起最后代入邊界條件確定待定常數13一、求解矩形區域的Laplace方程微波導和光波導器件的橫截面常是矩形,其中的電磁場模式多是橫電波或橫磁波,即電場或磁場不沿著波導的長度方向改變，而只隨橫截面的坐標變化;此時求解矩形區域的Laplace方程是研究波導中場量和模式的重要手段。14舉例.

如圖的波導中求解電位15求解v(x,y)設解為：代入上面關于v的方程得：先求解哪一個？？？——與齊次邊界有關的那個。16上式構成本征值問題，不難求出：本征值為：本征函數為：將本征值ln代入Y的方程，可得通解：于是由疊加原理得到v的通解為：17將另一對邊界條件代入方程的通解得：上兩式實際上是u0和U0展開后的正弦級數,于是聯立上兩式可得An和Bn,從而原方程的解得以確定。18上題中邊界處的電位分布探討一下邊界處分布函數的形狀：19例2.書124頁的例5.3……簡化的步驟（2）判斷解的形式求特征值，寫出通解形式代入邊界，求待定系數寫出問題的解20二、求解柱坐標系下的Laplace方程在最常見的微波傳輸線(銅軸線)和最常見的光傳輸線(光纖)中，橫截面都是圓形，其中的電磁場模式也大多是橫電波或橫磁波，即電場或磁場不沿著波導的長度方向改變，而只隨橫截面的坐標變化；此時求解圓形區域的Laplace方程是研究場量和模式的重要手段。21求解柱坐標系下的Laplace方程電位只與r有關電位只與r、z有關電位只與r、j有關22只與r、z

有關的Laplace方程★

當μ=0時：★

當μ>0時：若要在圓柱上下底面滿足齊次邊界條件,則m不可能>0.求解圓柱內部問題(包含圓柱軸線r=0)時,為了滿足自然邊界條件,Nn(.)項應舍去.23★

當m

<0時：R(r)沒有實的零點,如果要求u在圓柱側面r=a

滿足齊次邊界條件，則應排除μ<0的可能。求解圓柱內部問題(包含圓柱軸線r=0)時,為了滿足自然邊界條件,Kn(.)項應舍去.24一般解為：1)如果考慮圓內問題則其解為2)如果考慮圓外問題則其解為3)如果考慮是圓環問題，則其解為一般解，其中的系數由邊界條件確定。3.電位只與r、j

有關253.球座標系下與j無關時LegendrePolynomials球內電位取有限值……球外電位取有限值……26例1.解題時首先看能否化簡已知：很長的同軸電纜，內導體半徑為a,維持電位V0，外導體半徑為b，接地。求：導體區域內的電位分布？分析：柱座標，電位對稱，僅與r有關27例2.書p136例5.628三.球坐標系下的二維Laplace方程自學內容29什么是“鏡像法”？用適當的鏡像電荷(Image-Charges)代替邊界，求解電位分布的方法。“鏡像法”的依據——“唯一性定理”UniquenessTheorem“鏡像法”思路用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應電荷保持求解區域中場方程和邊界條件不變

“鏡像法”使用范圍：界面幾何形狀較規范，電荷個數有限，或分布形式簡單5.5鏡像法MethodofImages30(1)將導體移走,在“對稱”點處放置一個“像”電荷q*第一類鏡像法：平面鏡像(2)仍然要滿足“導體板”存在時的條件,

q*＝？q*＝－q31邊界條件：對稱性：拉氏方程q*＝－q“像點”——q*：滿足“導體板”存在時的條件——滿足！——滿足！——滿足！由唯一性定理知……3233第二類鏡像法：柱面鏡像像？——線電荷——“電軸”位置？——柱內、與線電荷平行分布？——密度設為p*34假設：導體圓柱面上任一點M35因為導體是等位體若“三角形相似”……36思考：復雜的第2類鏡像問題已知：兩根無限長平行圓柱，半徑為a、b，軸心距