第五章數值積分和數值微分——函數無解析表達式或表達式過于復雜時定積分問題的數值解法主要內容導數或微分數值計算華長生制作1傳統方法的困境數值積分的基本思想數值積分的一般形式代數精度問題求函數f(x)在區間[a,b]上的定積分

是微積分學中的基本問題。

§5.1數值積分概述華長生制作2對于積分但是在工程技術和科學研究中,常會見到以下現象:傳統方法的困境華長生制作3以上這些現象,Newton-Leibniz很難發揮作用!只能建立積分的近似計算方法--------數值積分正是為解決這樣的困難而提出來的，不僅如此，數值積分也是微分方程數值解法的工具之一。華長生制作4數值積分的基本思想

數值積分----指計算定積分近似值的各種計算方法。常用一個簡單函數代替原來的復雜函數求積分。

從幾何上看，就是計算曲邊梯形面積的近似值。

最簡單的辦法，是用直線、拋物線等代替曲邊，使得面積容易計算。華長生制作5f(x)abf(a)f(x)abf(x)abf(b)f(a)(a+b)/2左矩公式中矩公式梯形公式用直線代替曲邊華長生制作6拋物線公式用拋物線代替曲邊又稱辛普森公式數值積分的一般形式

正是由于權系數的構造方法不同，從而決定了數值積分的不同方法。

上述的近似求積公式都是取[a,b]上若干點處的高度通過加權后再進行求和得到積分的近似值，寫成一般形式：或寫為：其中，

----

稱為求積節點

Ak----稱為節點xk上的權系數。----是函數f(x)在節點xk上的函數值，

----稱為求積公式的截斷誤差或余項。華長生制作8利用插值多項式來構造數值求積公式,具體步驟如下:不同的插值方法有不同的基函數插值型求積公式思路利用插值多項式則積分易算。以拉格朗日插值多項式為例華長生制作9Ak由決定，與無關。節點

f(x)稱為求積系數。定義其系數，為拉各朗日插值基函數

這種求積公式稱為插值型積分公式華長生制作10插值型的求積公式余項

為了保證數值求積公式的精度,我們自然希望求積公式能夠對盡可能多的函數f(x)都準確成立,這在數學上常用代數精度這一概念來說明。插值型的求積公式余項華長生制作11解：逐次檢查公式是否精確成立代入f(x)=1：=代入f(x)=x：=代入f(x)=x2：例：對于[a,b]上1次插值，有考察時其求積誤差。梯形公式因此梯形公式只對一次多項式精確成立。華長生制作12代數精度定義如果某個求積公式對于次數不超過m的一切多項式都準確成立,而對某個m+1次多項式并不準確成立，則稱該求積公式的代數精度為m。顯然，梯形公式與中矩形公式均具有一次代數精度。一般來說，代數精度越高，求積公式越精確。定理對于n+1節點的插值型求積公式至少具有n次代數精度。代數精度華長生制作13例試確定下面積分公式中的參數使其代數精確度盡量高.解:華長生制作14因此所以該積分公式具有3次代數精確度

華長生制作15§5.2

牛頓－柯特斯求積公式Newton-Cotes公式是指等距節點下使用Lagrange插值多項式建立的數值求積公式各節點為一、公式推導：，以此分點為節點,構造出的插值型求積公式。

牛頓－柯特斯求積公式華長生制作16注意是等距節點華長生制作17所以Newton-Cotes公式為Cotes系數注：Cotes系數僅取決于n和k，可查表得到。與f(x)及區間[a,b]均無關。華長生制作18二、低階Newton-Cotes公式及其余項在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時的公式是最常用也最重要三個公式,稱為低階公式(1).梯形公式及其余項Cotes系數為低階Newton-Cotes公式及其余項華長生制作19上式即為梯形求積公式,也稱兩點公式，記為梯形公式的余項為求積公式為華長生制作20廣義積分中值定理故華長生制作21(2).

辛卜生公式及其余項Cotes系數為求積公式為華長生制作22上式稱為辛卜生求積公式，也稱三點公式或拋物線公式記為Simpson公式的余項為華長生制作23(3).柯特斯公式上式特別稱為柯特斯求積公式，也稱五點公式柯特斯系數可由柯特斯系數表得到（P153）。由此可以得到任意階數的牛頓－柯特斯求積公式。但實際計算時一般不用高階的公式，因為高次插值有Runge現象。華長生制作24由此可自然會得出以下結論：梯形規則簡單，有1階代數精度；再增加一個節點，就是具有3階代數精度的辛卜生規則；三、牛頓－科特斯公式的代數精度牛頓－科特斯公式實際上是插值求積公式，因此n階牛頓－科特斯公式至少有n次代數精度。由于牛頓－科特斯公式是等距插值，因此，有定理：當n為偶數時，牛頓－科特斯公式有n＋1次代數精度。華長生制作25四、復化求積法直接使用Newton-Cotes公式的余項將會較大。公式的舍入誤差又很難得到控制為了提高公式的精度,往往使用復化求積法。然后在每個小區間上使用低階Newton-Cotes公式最后將每個小區間上的積分的近似值相加復化求積法華長生制作26復化梯形公式：在每個上用梯形公式：=

Tn/*中值定理*/復合梯形公式華長生制作27復化Simpson公式：44444=

Sn復化Simpson公式華長生制作28求積公式的余項比較我們知道,兩個求積公式的余項分別為單純的求積公式復化求積公式的每個小區間復化求積公式精度提高。華長生制作29復化求積法通過將積分區間分成n等份，來減小截斷誤差，因此n越大積分精度越高。但n太大，運算量也增大，舍入誤差也增大；n太小，精度可能達不到。如何確定適當的,使得計算結果達到預選給定的精度要求呢？在實際計算中,常采用積分步長的自動選擇。具體地講,就是在求積過程中,將步長逐次折半,反復利用復合求積公式,直到相鄰兩次的計算結果之差的絕對值小于允許誤差為止。這實際上是一種事后估計誤差的方法——變步長求積算法?！?.3變步長求積和龍貝格算法問題§5.3變步長求積和龍貝格算法華長生制作305.3.1變步長梯形求積法

對于復合梯形公式，若將積分區間[a,b]n等分,積分近似值記為Tn,積分精確值記為I,則有:把每個子區間分半,也就是將積分區間[a,b]2n等分,則有則有當在連續,且函數值變化不大時,即有給定求積精度，如何取n?5.3.1變步長梯形求積法31可用來判斷迭代是否停止。變步長梯形法計算過程

⑴⑵32⑶可以看到,每次都是在前一次的基礎上將子區間再對分。原分點上的函數值不需要重復計算,只需計算新分點上的函數值即可,一般地計算公式為：33由上節變步長梯形公式得到的積分近似值的誤差大致是,因此人們期望,如果用這個誤差作為對

的一種補償,則得到的求積公式的代數精度會有所提高。（1）5.3.2

龍貝格公式龍貝格算法是在復化梯形公式誤差估計的基礎上，應用線性外推的方法構造出的加速算法。5.3.2龍貝格公式34通過直接驗證可知也就是說,用梯形公式二分前后的兩個積分值

與

按照公式(1)做線形組合,其結果正好是用拋物線公式得到的積分值

。(2)即35同理可知,用拋物線公式得到的積分近似值

的誤差大致是,因此對拋物線公式進行修正,得到(3)也就是說,用拋物線公式二分前后的積分值

與

按照公式(3)作線形組合,其結果正好是用柯特斯公式得到的積分值

。通過直接驗證可知(4)36同理可知，用柯特斯公式得到的積分近似值

的誤差大致是,因此,對柯特斯公式進行修改,得到求積公式(5)為此,構造求積公式(6)稱(6)式為龍貝格(Romberg)公式。37龍貝格公式是一種計算積分的方法。在變步長的求積過程中,運用(2),(4),(6)式可以將精度低的梯形值逐步加工成精度較高的拋物線,柯特斯值與龍貝格值?？傊校篟omberg序列38計算f(a),f(b),算出

。

(2)把[a,b]2等分,計算,算出

與

。(3)把[a,b]4等分,計算

算出

與

。龍貝格求積的計算步驟如下：39(4)把[a,b]8等分,計算

算出

與

與

。(5)把[a,b]16等分,計算算出

與

與,繼續重復進行,直到

時停止計算,就是所求的積分值.(允許誤差)40Romberg算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1TRomberg算法41要求熟練掌握的內容：能靈