數值分析林甲富linjiafu@1教材丁麗娟,程杞元,《數值計算方法》,高等教育出版社,2011年.2第一章數值計算中的誤差§1.2誤差的基本概念§1.3數值計算中誤差的傳播§1.4數值計算中應注意的問題§1.1數值計算的內容與特點3數值分析是做什么用的？數值分析輸入復雜問題或運算計算機近似解§1.1數值計算的內容與特點4研究對象那些在理論上有解而又無法手工計算的數學問題例解300階的線性方程組求6階矩陣的全部特征值5主要內容

數值代數近似求解線性方程組(直接解法,迭代解法)矩陣特征值的計算數值逼近：插值法,函數逼近數值微分與數值積分微分方程近似求解:常微分方程數值解法

非線性方程求解6§1.2誤差的基本概念誤差按來源可分為：模型誤差觀測誤差截斷誤差舍入誤差誤差：精確解與近似解之間的差7

模型誤差數學模型通常是由實際問題抽象得到的,一般帶有誤差,這種誤差稱為模型誤差.觀測誤差數學模型中包含的一些參數通常是通過觀測和實驗得到的,難免帶有誤差,這種誤差稱為觀測誤差.

截斷誤差求解數學模型所用的數值方法通常是一種近似方法,這種因方法產生的誤差稱為截斷誤差或方法誤差.8實際計算時只能截取有限項代數和計算,如取前5項有:這里產生誤差(記作R5)截斷誤差例如,利用ln(x+1)的Taylor公式計算ln2,9

舍入誤差由于計算機只能對有限位數進行原則保留有限位,這時產生的誤差稱為舍入誤差。等都要按舍入運算,在運算中像在數值分析中,均假定數學模型是準確的,因而不考慮模型誤差和觀測誤差,只討論截斷誤差和舍入誤差對計算結果的影響.10設x*是準確值x的一個近似值,記e=xx*稱e為近似值x*的絕對誤差,簡稱誤差.絕對誤差一般很難準確計算,但可以估計上界.絕對誤差e>0不唯一,當然e越小越具有參考價值.則稱為近似值x*的絕對誤差限,簡稱誤差限.若滿足1.2.1絕對誤差和相對誤差11例用毫米刻度的米尺測量一長度x,如讀出的長度是x*=765mm,由于誤差限是0.5mm,故準確值精確值x

,近似值x*和誤差限

之間滿足：通常記為

12絕對誤差有時并不能完全地反映近似值的好壞,如測量100m和10m兩個長度,若它們的絕對誤差都是1cm,顯然前者的測量結果比后者的準確.因此,決定一個量的近似值的精確度,除了要看絕對誤差外,還必須考慮該量本身的大小.13稱er為近似值x*的相對誤差.

記由于x未知,實際使用時總是將x*的相對誤差取為相對誤差稱為近似值x*的相對誤差限.14例設x*=1.24是由精確值x經過四舍五入得到的近似值,求x*的絕對誤差限和相對誤差限.由已知可得:所以

=0.005,解一般地,凡是由準確值經過四舍五入得到的近似值,其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位.15有位有效數字，精確到小數點后第位

若近似值x*滿足則稱x*準確到小數點后第n位.并把從第一個非零數字到這一位的所有數字均稱為有效數字.例：問：有幾位有效數字？解：431.2.2有效數字16數x*總可以寫成如下形式x*

作為x的近似值,具有n位有效數字當且僅當其中m是整數,ai是0到9中的一個數字,由此可見,近似值的有效數字越多,其絕對誤差越小.

有效數字的另一等價定義17故取n=6,即取6位有效數字.此時x*=1.41421.解則近似值x*可寫為由于令例為了使的近似值的絕對誤差不大于10－5,問應取幾位有效數字?18

相對誤差限與有效數字之間的關系.

有效數字

相對誤差限已知x*=0.a1a2…an×10m有n位有效數字,則其相對誤差限為19相對誤差限有效數字已知x*的相對誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數字.20基本運算中()的誤差估計問§1.3數值計算中誤差的傳播如21例計算A=f(x1,x2).如果x1,x2的近似值為x1*,x2*,則A的近似值為A*=f(x1*,x2*),用多元函數微分近似公式可以得到絕對誤差e

運算可近似看成微分運算.22由此可以得到基本運算中()的誤差估計,

和差的誤差限不超過各數的誤差限之和.23

乘法相對誤差限不超過各數相對誤差限之和.24

乘除相對誤差限不超過各數相對誤差限之和.25例設y=xn,求y的相對誤差與x的相對誤差之間的關系.解所以xn

的相對誤差是x

的相對誤差的n倍.x2的相對誤差是x

的相對誤差的2倍,的相對誤差是x

的相對誤差的1/2倍.26算法的數值穩定性

一種數值算法,如果其計算舍入誤差積累是可控制的,則稱其為數值穩定的,反之稱為數值不穩定的.27利用分部積分法可得計算In的遞推公式例計算積分算法1：由此遞推計算I1,I2,…,I9.解28取近似值由此計算I8,I7,…,I0.并將計算公式改寫為算法2：此時29InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法10.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.2160－0.72807.5520算法20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值0.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.091630

對任何n都應有In>0,但算法1的計算結果顯示I8<0,可見,雖然I0的近似誤差不超過0.5×10－4,但隨著計算步數的增加,誤差明顯增大.這說明算法1給出的遞推公式是數值不穩定的.

而對于算法2,雖然初始給出的I9沒有一位有效數字,但算至I6已有4位有效數字.這說明算法2中誤差隨著計算過程的深入是逐步遞減的,因而是數值穩定的.31和可得可見,隨著計算步數的增加,誤差迅速放大,使結果失真.由對于算法1：例計算積分32算法2的計算公式為類似地可得可見,近似誤差

是可控制的,算法是數值穩定的.例計算積分33§1.4數值計算中應注意的問題如果x,y

的近似值分別為x*,y*,則z*=x*－y*

是z

=x－y的近似值.此時,相對誤差滿足估計式

可見,當x*與y*很接近時,z*的相對誤差有可能很大.為了減少舍入誤差的影響,設計算法時應遵循如下的一些原則.1.避免兩個相近的數相減34例如在數值計算中,如果遇到兩個相近的數相減,可考慮改變一下算法以避免兩數相減.35例

求方程x2－64x+1=0的兩個根,使它們至少具有四位有效數字.由求根公式有對兩個相近的數相減,若找不到適當方法代替,只能在計算機上采用雙精度進行計算,以提高精度.解若由僅有兩位有效數字,但若采用則有四位有效數字.362.防止大數“吃掉”小數因為計算機上只能采用有限位數計算,若參加運算的數量級差很大,在它們的加、減運算中,絕對值很小的數往往被絕對值較大的數“吃掉”,造成計算結果失真.在求和或差的過程中應采用由小到大的運算過程.373.絕對值太小的數不宜作除數由于除數很小,將導致商很大,有可能出現“溢出”現象.另外,設x

,y

的近似值分別為x*

,y*,則z*=x*/y*是z=x/y的近似值.此時,z*的絕對誤差滿足估計式

可見,若除數太小,則可能導致商的絕對誤差很大.384.注意簡化計算程序,減少計算次數例用Cramer法則求n階線性方程組Ax=b的解,用n階行列式定義來計算乘法運算次數>(n+1)n!當n=25時,在每秒百億次乘除運算計算機上求解時間為

首先,若算法計算量太大,實際計算無法完成(億年)39

其次,即使是可行算法,則計算量越大積累的誤差也越大.因