1.微波的波長(或頻率)范圍。2.什么是導波系統和導波，導波系統的基本功能和功用有哪些？

3.常將導波系統分成哪三類？每類導波系統的結構和導波的特點是什么？復習1.2導波的場分析(附錄II)

一附錄Ⅱ1.麥克斯韋方程組2.波動方程3.邊界條件1.2導波的場分析

二.導波場的縱向分布和橫向分布三.

導波場的橫向分量與縱向分量麥克斯韋方程組一在均勻、線性、各向同性媒質中正弦電磁場的麥克斯韋方程組(Ⅱ.1a

)(Ⅱ.1b

)(Ⅱ.1c

)(Ⅱ.1d

)1.2導波的場分析(附錄II)

式中(Ⅱ.2

)(Ⅱ.3)1.2導波的場分析(附錄II)

介質特性方程(Ⅱ.4a

)(Ⅱ.4b

)(Ⅱ.4c

)ε－電容率或介電系數，F/m;μ－磁導率，H/m；σ

－電導率，S/m式中是表征介質電磁特性的三個參量，其中真空介電系數與磁導率分別為1.2導波的場分析(附錄II)

電流連續性方程，由式(Ⅱ.1b)和(Ⅱ.1c)可得電流連續性方程(Ⅱ.5

)1.2導波的場分析(附錄II)

矢量波動方程或矢量亥姆霍茲方程取式(Ⅱ.1a

)的旋度并與式(Ⅱ.1b

)聯立得(Ⅱ.1a

)(Ⅱ.1b

)取式(Ⅱ.1b)的旋度并與式(Ⅱ.1a

)聯立得利用矢量微分公式可得1.2導波的場分析(附錄II)

(Ⅱ.6a

)取J＝0時(Ⅱ.6

)可得(Ⅱ.7a

)(Ⅱ.7b

)(Ⅱ.8

)式(Ⅱ.7)稱為電場和磁場的矢量波動方程或矢量亥姆霍茲方程。考慮式(Ⅱ.1c)、(Ⅱ.1d)和(Ⅱ.5)的關系，可得(Ⅱ.6b

)(Ⅱ.5

)(Ⅱ.1c

)1.2導波的場分析(附錄II)

邊界條件(一)一般介質的邊界條件介質1和介質2分界面上有表面自由電荷ρs和表面傳導電流Js的邊界條件，設為分界面法向(指向介質1)單位矢量，則邊界條件為1.2導波的場分析(附錄II)

(二)理想介質邊界的邊界條件兩種理想介質邊界兩側的D和B的法向分量以及E和H的切向分量都是連續的。兩種理想介質的邊界電磁場邊界條件示意圖1.2導波的場分析(附錄II)

(三)理想導體表面的邊界條件為導體表面的外法向單位矢量。在理想導體表面，電場E總是垂直于表面，而磁場B總是平行于表面。自由電荷和電流都集中在導體表面很薄的表層內。理想導體的表面電磁場邊界條件示意圖1.2導波的場分析(附錄II)

(四)非理想導體()表面阻抗條件非理想導體表面對電磁波呈現一個表面阻抗，且為電阻與電抗相等的感性阻抗，其值為

式中為導體的趨膚深度。當導體存在表面電流時，該電流與表面切向電場有如下關系

式中由代入可得

為方便起見，我們限定不同形式的導波系統所引導的電磁波雖然具有不同特點，但它們都屬于導波，且有其共同的規律。本章就是研究導波的共性，即不考慮導波系統橫向的具體邊界，只討論導波的一般特性。(1)導波系統是勻直無限長的。也就是說導波系統的橫截面形狀、尺寸以及媒質參量沿傳輸方向(導波系統的軸向)不變。(2)導波隨時間的變化為正弦變化，用復數表為1.2導波的場分析

1.2導波的場分析

式中

k是無界媒質中電磁波的傳播常數，媒質無耗時(1.1a)λ為無界媒質中電磁波的波長。用場方法研究導波，就是在導波系統邊界條件的限制下，求解電磁場的矢量波動方程，或稱矢量亥姆霍茲方程，獲得系統中任一點的電磁場，再由電磁場表達式分析導波的特性。矢量亥姆霍茲方程由麥克斯韋方程聯立導出(見附錄Ⅱ)，其表示式為(1.1b)1.2導波的場分析

從波動方程出發解得的導行波場矢量為時、空四維函數，求解的方法歸結為“三分離一關系”1.2導波的場分析

2.縱橫分離1.時空分離3.變量分離4.由場縱向分量求場橫向分量的關系式場分量均為(u,v,z)的函數場分布，有橫向分布，縱向分布圖1.2以圖1.2所示的結構代表各類勻直的導波系統，采用廣義坐標(u，v，z)，其中(u，v)為橫坐標，z為縱坐標，z與導波系統軸向一致。二.導波場的縱向分布和橫向分布二導波場的縱向分布和橫向分布導波的電場E、磁場H在空間一般是三維坐標的函數。亥姆霍茲方程是變量可分離的方程，常采用分離變量法求解。(1.2a)(1.2b)考慮到目前z方向沒有邊界，是電磁波的傳播方向。而橫截面形狀未定，因此我們可先進行縱橫分離。設電場、磁場為式中是橫向坐標矢量函數。簡寫為，Z(z)是縱向坐標函數，簡寫為Z。二導波場的縱向分布和橫向分布考慮將(1.2a)代入式(1.1a)得得(1.3)即上式左端是z的函數與u，v無關，右端是u，v的函數與z無關，顯然只有左右兩端都等于某一常數時，該方程才成立。γ稱為導波的傳播常數。

二導波場的縱向分布和橫向分布(1.1a)(1.4)(1.6)以同樣的步驟可得磁場的兩個方程(1.7)令這個常數為，于是得到電場的兩個方程(1.5)二導波場的縱向分布和橫向分布

由式(1.4)至(1.7)可知，場對坐標的關系可以分為場的橫向坐標函數和縱向坐標函數Z，它們分別滿足不同的方程。滿足坐標u、v的二維矢量波動方程，Z滿足坐標z的二階常微分方程。(1.8a)(1.8b)式中式(1.4)和式(1.6)又可分別寫成如下形式(1.9)kc為方程(1.8)的本征值,為對應于本征值的矢量本征函數。不難想象，由于橫向有邊界限制，導波在橫截面上的分布是一種駐波狀態。駐波的分布情況要由具體邊界條件確定[式(1.8)的解法見附錄III]。二導波場的縱向分布和橫向分布k是無界媒質中電磁波的傳播常數(1.4)方程(1.5)和(1.7)是形式完全相同的二階常微分方程，其通解為(1.10)(1.11)將式(1.11)代入式(1.2a)和(1.2b)并乘上時間因子便得到導波場的通解形式

(1.12a)(1.12b)常數已分別包含在中。由式(1.12)可以分析得到導波場沿導波系統縱向和橫向分布的特點。二導波場的縱向分布和橫向分布簡記為(1.5)(1.2a)(1.2b)(一)導波場沿縱向分布的特點式(1.12)表明，導波電場、磁場沿z為指數變化，變化的特點決定于γ。當γ為實數時,場振幅沿z按指數規律變化,相位沿z不變；當γ為虛數時,場振幅沿z不變化,相位沿z變化；當γ為復數時,場振幅和相位沿z均按指數規律變化。根據波沿相位滯后方向傳播的性質可知，γ為實數時，場沿z的變化不是波動，而是一種按指數規律分布的場，稱為導波截止狀態；γ為虛數和復數時，場沿z才是波動變化的，稱為導波的傳播狀態。二導波場的縱向分布和橫向分布(1.12)(1.13)α稱為導波的衰減常數，代表導波沿z單位長度上的衰減；β稱為導波的相位常數，代表導波沿z單位長度上的相移。下面進一步分析導波場的傳播條件和截止條件。現假定導波系統無耗(既無金屬損耗，也無介質損耗)，這樣由式(1.9)得；式中從量綱考慮可以寫成(1.14)fc和λc的意義后待說明二導波場的縱向分布和橫向分布γ稱為導波的傳播常數。傳播常數為復數時，表為傳播常數kc截止波數1.f>fc(或

λ

<λc)

若為正實數(由后面(1.84)可見，導波系統為金屬柱面波導時為正實數)

，γ值可能出現以下三種情況：

即傳播常數為純虛數，可表為

這時導波屬于無衰減的傳播情況，波的振幅不隨z改變，相位隨z而變。若將波在不同時刻t沿z的分布圖繪出，如圖1.3(a)所示。

(1.16)(1.17)(1.18)二導波場的縱向分布和橫向分布等幅行波

必須指出，若考慮導波系統的損耗時，上述γ則為復數，即式中α為導波系統的損耗引起的衰減，此時為有衰減傳播的情況。由于實際的導波系統其損耗都是很小的，因此本書將導波系統損耗的影響放在導波衰減一節中去，分析導波的其他性質時則不考慮導波系統的損耗。這樣γ為虛數時即代表了波的傳播狀態，與此相應的條件f>fc(或λ<λc)稱為傳播條件。二導波場的縱向分布和橫向分布漸衰行波，熱耗散

2.f<fc(或

λ>

λc)

傳播常數為實數，可表為這種情況屬于非傳播情況。場的振幅沿z指數減小，場沿z無相移，說明沒有波沿z傳播。這里的α’與有耗導波系統在傳播情況下的衰減常數α意義不同，它不是能量損耗，而是代表場振幅沿z呈衰減分布。場僅隨時間振動，不同時刻t，場的分布圖如1.3(b)所示。這種狀態為導波截止狀態，條件f<fc(或λ>λc)稱為截止條件。(1.19)二導波場的縱向分布和橫向分布瞬衰波，能量未熱耗散

3.f=fc(或λ=λc)

這種情況介于上述兩種情況之間，傳播常數為零，場的振幅和相位均不沿z變化，因此也無波沿z傳播。場也僅隨時間振動，不同時刻t，場沿z的分布如圖1.3(c)所示。它是波從傳播到不傳播的臨界情況，但它屬于截止狀態。此時的頻率fc稱為臨界頻率或截止頻率。波長λc為臨界波長或截止波長。相應的kc稱為截止波數。(1.22)波在實際傳說中無臨界狀態，波被傳輸或截止時都伴有能量耗散，稱為“電阻性衰減”，而無耗線中，波被截止時，實為能量暫存，故可稱之為“電抗性衰減”。

二導波場的縱向分布和橫向分布特點:是相速大于平面波速，即大于該媒質中的光速，而群速則小于該媒質中的光速，同時導波波長大于空間波長。這是一種快波。②,臨界狀態沿z方向沒有波的傳播過程，k稱為臨界（截止）波數。臨界（截止）角頻率臨界（截止）頻率臨界（截止）波長二導波場的縱向分布和橫向分布③

這時場的振幅沿z方向呈指數變化而相位不變，它不再是行波而是衰減場。式中第一項代表沿+z方向衰減的，第二項代表沿-z方向衰減的場。這種狀態稱為截止狀態或過截止狀態。這種導行波的相速小于無界媒質中的波速，而波長小于無界媒質中的波長，這是一種慢波→可用周期結構實現。二導波場的縱向分布和橫向分布能夠傳輸慢波的結構稱為慢波結構或慢波系統或慢波線。當需要電子與場相互作用時常用到慢波系統，如行波管。由本征值問題的定理可知，具有齊次邊界條件的導波系統不可能存在，因此，光滑導體壁構成的導波系統中不可能存在慢波。存在慢波的傳輸系統必然是由某些阻抗壁構成的。綜上分析可知，電磁波沿無限長勻直導波系統縱向分布可能有傳播和截止兩種狀態。處于傳播狀態的波叫傳播波或傳播模，處于截止狀態的場叫截止場或截止模。下面我們先小結一下，接著重點研究傳播波。二導波場的縱向分布和橫向分布二導波場的縱向分布和橫向分布(二).導波場沿橫向分布的特點(1.8a)(1.8b)(1.9)導波場的橫向分布決定于。由于導波系統的橫向邊界尚未給出，場的橫向分布函數暫不能解出(放在第二章討論)。但是導波系統的橫向總是有邊界的，因此前面曾推斷場沿橫向是一種駐波分布。同時，因是kc的本征函數，kc與γ有關，表明不同橫向分布的場其傳播特性不同。(1.12a)(1.12b)二導波場的縱向分布和橫向分布導波的電場E、磁場H一般是三維空間矢量。為便于分析，常常將其分為橫向分量和縱向分量。若省去時間因子，電場、磁場可表為(1.23a)(1.23b)三.導波場的橫向分量與縱向分量

代表橫向電場、橫向磁場的橫向分布矢量函數；代表縱向電場、縱向磁場的橫向分布矢量函數；+為沿+z方向傳播波(下面簡稱正向波)的場，常略去“+”。

－為沿－z方向傳播波(簡稱反向波)的場。

三導波場導波場的橫向分量與縱向分量

反向波的場可有以下兩種取法當正向波的場用下式(1.25a)證明如下(1.24a)(1.24b)(1.25b)三導波場導波場的橫向分量與縱向分量

求證：將正向波場的表達式(1.24a)和(1.24b)代入麥克斯韋方程的電場旋度方程，，考慮到約去共同因子，展開得(1.24a)(1.24b)三導波場導波場的橫向分量與縱向分量

由等式兩端橫向分量和縱向分量分別相等可得(1.26a)同理，將式(1.24a)和(1.24b)代入麥克斯韋方程的磁場旋度方程可得(1.26b)(1.27a)(1.27b)三導波場導波場的橫向分量與縱向分量

(1.26)和(1.27)中前要變號(由-γ變為+γ)。為使等式成立(1.25a)(1.25b)對于正向波，取式(1.26a)將導波場分解為橫向分量和縱向分量兩部分后，根據麥克斯韋方程還可導出橫向分量與縱向分量之間更明確的關系式。按照這些關系式，便可以由縱向分量求得橫向分量，也可以由橫向分量求得縱向分量。下面將導出這樣的關系式。(1.26a)式中利用矢量微分公式得因為是常矢量(單位矢量)，故,式(1.26a)變為三導波場導波場的橫向分量與縱向分量

用×(1.28)與×(1.29)相加可以消去項，得

即(1.28)(1.29)同理式(1.27a)可變為(1.30)三導波場導波場的橫向分量與縱向分量

(1.27a)右乘利用矢量代數公式式(1.30)右端第一項為(1.31)(1.30)式(1.30)左端第一項為考慮到，，，于是式(1.30)變為即三導波場導波場的橫向分量與縱向分量

同理可得(1.32)式(1.31)和(1.32)便是由場的縱向分量表示橫向分量的式子。當然，也可導出由橫向分量表示縱向分量的式子。

(1.31)三導波場導波場的橫向分量與縱向分量

1.3導波的分類及各類導波的特性一.導波的分類二.TEM波的特性分析

三.TE波、TM波的特性分析

1.3導波的分類及各類導波的特性

一.導波的分類

導波的類型是指滿足無限長勻直導波系統邊界條件，能獨立存在的導波形式。通常是按導波有無縱向場分量來分類，這樣導波可以分兩大類。1.無縱向場分量，即Ez=Hz=0的電磁波，這種波只有橫電磁場，故稱為橫電磁波(TEM波)，電、磁力線位于導波系統的橫截面內。橫電磁波只能存在于多導體導波系統中，如雙線、同軸線等這類導波系統中。一導波的分類

自由空間波(TEM波)：Ex、Ey、Hx、Hy、Ez＝0、Hz＝02.有縱向場分量的電磁波，這種波又細分為以下三種類型。1).Ez=0，Hz≠0的波稱為橫電波(TE波)或磁波(H波)。其電力線全在導波系統的橫截面內，磁力線為空間曲線。2).Ez≠0，Hz=0的波稱為橫磁波(TM波)或電波(E波)。其磁力線全在導波系統的橫截面內，電力線為空間曲線。3).Ez≠0，Hz≠

0的波稱為混合波(EH波或HE波)。這種波可視為TE波和TM波的線性疊加。一導波的分類

TE10TM112.有縱向場分量的電磁波，這種波又細分為以下三種類型。1.Ez=0，Hz≠0的波稱為橫電波(TE波)或磁波(H波)。其電力線全在導波系統的橫截面內，磁力線為空間曲線。2.Ez≠0，Hz=0的波稱為橫磁波(TM波)或電波(E波)。其磁力線全在導波系統的橫截面內，電力線為空間曲線。3.Ez≠0，Hz≠

0的波稱為混合波(EH波或HE波)。這種波可視為TE波和TM波的線性疊加。前兩種波，TE波和TM波可以獨立存在于金屬柱面波導、圓柱介質波導和無限寬的平板介質波導中。后一種波(EH波或HE波)則存在于一般開波導和非均勻波導(如波導橫截面尺寸變化，波導填充的介質不均勻等)中，這是由于單獨的TE波或TM波不能滿足復雜的邊界條件，必須二者線性疊加方能有合適的解之故。一導波的分類

二.TEM波的特性分析(Ez=0，Hz=0)二.TEM波的特性分析

(一).場分量(二).傳播特性(三).TEM波場沿橫向分布的特點

若Ez=0，Hz=0，即ez=0，hz=0，代入式(1.26a)和(1.27a)得二.TEM波的特性分析(Ez=0，Hz=0)(一).場分量(1.26a)(1.27a)(1.33a)(1.33b)看出(1)(2)按成右手螺旋關系。二.TEM波的特性分析

(1.34a)(1.33b)將(1.33b)得(1.33c)(1.33a)由式(1.33a)和(1.33c)可得TEM波的波阻抗和波導納為(1.34b)二.TEM波的特性分析

(1.36a)(1.35a)(1.35b)(1.36b)場的完整表達式為于是式(1.33)又可寫成二.TEM波的特性分析

由式(1.31)和(1.32)可見，當時，要使等式左端的場不為零(橫場若為零，則TEM波不存在)，只有kc等于零，即TEM波有由可得(1.32)(1.37)(二).傳播特性(1.31)(1.38)此式說明TEM波無低頻截止，即雙線、同軸線等傳輸線，理論上可以傳播任意低頻率的電磁波。二.TEM波的特性分析

將kc代入式(1.15)可得(1.39)或此式表明導波中TEM波的傳播常數與無界均勻媒質中電磁波的傳播常數相同，事實上電磁波在無界空間傳播時其電場和磁場也處于與傳播方向相垂直的橫平面內，也是一種TEM波。二.TEM波的特性分析

(1.15)二.TEM波的特性分析

由式(1.34)可得TEM波的波阻抗為(1.34a)

由式(1.36)容易求得TEM波的相速vp和波長，習慣上常將導波的波長稱作波導波長，用λg表示。波的相位速度定義為波的等相位面向前移動的速度，可由相位恒定求出。例如對TEM波的正向波，可使式(1.36)中并對t求導得(1.40)(1.41)(1.36)二.TEM波的特性分析

波導波長λg定義為波在一周期時間內沿導波系統傳播的距離。即以上三式的結果表明，導波中的TEM波的波阻抗、相速和波導波長也與無界均勻媒質空間電磁波的阻抗、速度和波長相同。因為二者的傳播常數相同，這樣的結果是自然的。波的相速與頻率無關，這種特性稱為無色散(波的速度隨頻率變化而變化的現象稱為色散)TEM波為無色散波。(1.42)將ez=hz=0代入式(1.27b)和(1.26b)有(1.43a)的橫向旋度為零,不僅如此。由于TEM波沒有縱向磁通,在橫平面上的環量也為零；的橫向旋度為零(應該說在沒有體電流處是這樣),但由于傳播TEM波的導波系統可以存在縱向電流，因此在橫平面上的環量不一定為零。這說明TEM波場在導波系統在截面上的分布與邊界條件相同的二維靜場完全一致。(1.43b)(三).TEM波場沿橫向分布的特點

二.TEM波的特性分析

(1.26b)(1.27b)一致僅指場在橫截面上的分布而言，場對變量z和t的關系二者完全不同，TEM波為，而靜場與t、z無關。因此，求TEM波的橫向分布函數，可以采用求靜態場完全類似方法。因，故可表示為某個二維標量位的梯度(任何標量函數的梯度為零)。

(三).TEM波場沿橫向分布的特點

二.TEM波的特性分析

二.TEM波的特性分析

設標位函數為，可得由式(1.35b)得利用麥克斯韋方程有對TEM波有(1.44a)(1.44b)(1.45)(1.46)將式(1.44a)代入(1.46)可得二.TEM波的特性分析

此式表示標位函數是拉普拉斯方程的解，于是求解TEM波的場就是求滿足邊界條件的拉普拉斯方程的