第二章 基本方程

流體運(yùn)動(dòng)同其他物體的運(yùn)動(dòng)一樣，同樣遵循質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒等基本物理定律。本章將介紹描述流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程和能量方程。1主要內(nèi)容：第一節(jié) 連續(xù)方程第二節(jié) 作用于流體的力、應(yīng)力張量第三節(jié) 運(yùn)動(dòng)方程第四節(jié) 能量方程第五節(jié)簡(jiǎn)單情況下的N-S方程的準(zhǔn)確解第二章 基本方程

2第一節(jié) 連續(xù)方程

連續(xù)方程是流體力學(xué)的基本方程之一，流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程，反映流體運(yùn)動(dòng)和質(zhì)量分布的關(guān)系，它是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。重點(diǎn)討論不同表現(xiàn)形式的流體連續(xù)方程。31、拉格郎日(Lagrange)觀點(diǎn)下的流體連續(xù)方程Lagrange觀點(diǎn)下質(zhì)量守恒定律：某一流體塊（流點(diǎn)）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，盡管其體積和形狀可以發(fā)生變化，但其質(zhì)量是守恒不變的。拉格郎日型連續(xù)方程4Lagrange觀點(diǎn)下連續(xù)方程的物理意義？5不可壓縮流體例2-1-1判斷下列流體運(yùn)動(dòng)是否為不可壓縮？62、歐拉(Euler)觀點(diǎn)下的流體連續(xù)方程單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)左側(cè)面流進(jìn)控制體的質(zhì)量歐拉型連續(xù)方程xyzu單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)右側(cè)面流出控制體的質(zhì)量7歐拉(Euler)觀點(diǎn)下的流體連續(xù)方程拉格郎日型連續(xù)方程歐拉型連續(xù)方程8歐拉型連續(xù)方程的物理意義單位體積的流體質(zhì)量通量93、具有自由表面的流體連續(xù)方程通常把自然界中水與空氣的交界面稱為水面或水表面。這種因流動(dòng)而伴隨出現(xiàn)的可以升降的水面，在流體力學(xué)中稱之為自由表面。實(shí)際物理現(xiàn)象：當(dāng)水面向某處匯集時(shí)，該處水面將被擁擠而升高；反之，當(dāng)該處有水向四周流散開(kāi)時(shí)，將使得那里的水面降低。水空氣交界面10具有自由表面的流體連續(xù)方程歐拉型連續(xù)方程水空氣111、作用于流體的力質(zhì)量力流體的作用力表面力分析對(duì)象：流體中以界面包圍的體積為的流體塊第二節(jié)作用于流體的力、應(yīng)力張量12質(zhì)量力質(zhì)量力（又稱為體力）：是指作用于所有流體質(zhì)點(diǎn)的力。如重力、萬(wàn)有引力等。（1）質(zhì)量力是長(zhǎng)程力：它隨相互作用的元素之間的距離的增加而減小，對(duì)于一般流體的特征運(yùn)動(dòng)距離而言，均能顯示出來(lái)。（2）它是一種分布力，分布于流體塊的整個(gè)體積內(nèi)，流體塊所受的質(zhì)量力與其周圍有無(wú)其他流體存在并無(wú)關(guān)系。通常情況下，作用于流體的質(zhì)量力通常就是指重力。13如果表示單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力，規(guī)定其為：其中是作用在質(zhì)量為的流體塊上的質(zhì)量力。不難看出，可以看做力的分布密度。例如：對(duì)處于重力作用的物體而言，質(zhì)量力的分布密度或者說(shuō)單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力就是重力加速度。14表面力表面力：是指流體內(nèi)部之間或者流體與其他物體之間的接觸面上所受到的相互作用力。如流體內(nèi)部的粘性應(yīng)力和壓力、流體與固體接觸面上的摩擦力等。15（1）表面力是一種短程力：源于分子間的相互作用。表面力隨相互作用元素之間的距離增加而迅速減弱，只有在相互作用元素間的距離與分子距離同量級(jí)時(shí)，表面力才顯現(xiàn)出來(lái)。（2）流體塊內(nèi)各部分之間的表面力是相互作用而相互抵消的。（3）表面力也是一種分布力，分布在相互接觸的界面上。16定義單位面積上的表面力為： 其中是作用于某個(gè)流體面積上的表面力17

矢量是質(zhì)量力的分布密度，它是時(shí)間和空間點(diǎn)的函數(shù)，因而構(gòu)成了一個(gè)矢量場(chǎng)。而矢量為流體的應(yīng)力矢，它不但是時(shí)間和空間點(diǎn)的函數(shù)，并且在空間每一點(diǎn)還隨著受力面元的取向不同而變化。所以要確定應(yīng)力矢，必須考慮點(diǎn)的矢徑、該點(diǎn)受力面元的方向（或者說(shuō)面元的法向單位矢）以及時(shí)間t。確切地說(shuō)應(yīng)力矢是兩個(gè)矢量（、）和一個(gè)標(biāo)量的函數(shù)t。質(zhì)量力和表面力的比較質(zhì)量力和表面力有著本質(zhì)的差別。182、應(yīng)力張量取如圖所示的流體四面體元，分析其受力情況。MxyzABC質(zhì)量為質(zhì)量力為表面力？？？19按照牛頓第二定律，可得：MxyzABC說(shuō)明：應(yīng)力矢的下標(biāo)取其作用面元的外法向，并且規(guī)定為外法向流體對(duì)另一部分流體的作用應(yīng)力。20 根據(jù)作用力與反作用力原理，方程可以寫(xiě)成如下形式：21四面體體積取極限時(shí)：上式為作用于流體微元的應(yīng)力矢之間的相互關(guān)系。22MxyzABC考慮面元間的關(guān)系：PPAMKx23將其在直角坐標(biāo)系中展開(kāi)，則有：于是，上式可以改寫(xiě)為：24引進(jìn)應(yīng)力張量：

25¤¤對(duì)應(yīng)力分量的下標(biāo)作如下規(guī)定：第一個(gè)下標(biāo)表示面積元的外法向（且規(guī)定應(yīng)力為外法向流體對(duì)另一部分流體的作用）；第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力所投影的方向。應(yīng)力分量的物理含義：

例2-2-1

說(shuō)明應(yīng)力、表示的物理含義。26法應(yīng)力和切應(yīng)力

通常應(yīng)力矢量也可以表示為：切應(yīng)力法應(yīng)力27習(xí)題2-2-1已知流體中某點(diǎn)的應(yīng)力張量為試求作用于通過(guò)該點(diǎn)，方程為的平面上的法應(yīng)力。習(xí)題28其中為反映流體粘性的粘性系數(shù)或內(nèi)摩擦系數(shù)；而流體與其他物體的粘性系數(shù)則稱為外摩擦系數(shù)。牛頓粘性假設(shè)牛頓粘性定律建立了粘性應(yīng)力與流速分布之間的關(guān)系。3、應(yīng)力張量與流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間的關(guān)系29廣義牛頓粘性假設(shè)牛頓粘性定律建立了粘性應(yīng)力與流速分布之間的關(guān)系，但它的不足在于僅僅適用與流體直線運(yùn)動(dòng)。牛頓將以上的粘性應(yīng)力與形變率的關(guān)系推廣到任意粘性流體運(yùn)動(dòng)，即廣義牛頓粘性假設(shè)：30說(shuō)明：根據(jù)廣義牛頓粘性假設(shè)的應(yīng)力張量計(jì)算得到的應(yīng)力包含了流體壓力和流體粘性力兩部分即：不可壓流體31牛頓粘性流體的概念：滿足牛頓廣義粘性假設(shè)的流體。給定流體的粘性系數(shù)和流體運(yùn)動(dòng)流速場(chǎng)，根據(jù)牛頓粘性假設(shè)，就可以計(jì)算得到流體的粘性應(yīng)力。32第三節(jié)運(yùn)動(dòng)方程流體的運(yùn)動(dòng)方程（普遍形式）納維-斯托克斯（N-S）方程（具體形式）歐拉方程（理想流體的運(yùn)動(dòng)方程）靜力方程（最簡(jiǎn)單情形的運(yùn)動(dòng)方程）

33在運(yùn)動(dòng)流體中選取一小六面體體元，其邊長(zhǎng)分別為：為了導(dǎo)出流體的運(yùn)動(dòng)方程，首先來(lái)分析小體元的受力情況。一、流體的運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)牛頓第二定律： xyz34x方向質(zhì)量力分析x方向的質(zhì)量力35小體元所受的x方向的表面力=前后側(cè)面之和：x方向表面力分析周圍流體對(duì)小體元的六個(gè)表面有表面力的作用，而通過(guò)六個(gè)側(cè)面作用于小體元沿x方向的表面力分別為： 前后側(cè)面：x?3637因此，周圍流體通過(guò)六個(gè)側(cè)面作用于小體元沿x方向的表面力合力為：右左側(cè)面：上下側(cè)面：38據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律：小體元受力等于其質(zhì)量與加速度的乘積：x方向合力分析單位質(zhì)量流體在x方向的運(yùn)動(dòng)方程方程可以簡(jiǎn)化為：39單位質(zhì)量流體在

y方向的運(yùn)動(dòng)方程單位質(zhì)量流體在z方向的運(yùn)動(dòng)方程同理可得：40矢量形式或者：流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式41二、納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式納維-斯托克斯方程廣義牛頓粘性假設(shè)42流體運(yùn)動(dòng)方程的普遍形式廣義牛頓粘性假設(shè)這就是適合牛頓粘性假設(shè)的流體運(yùn)動(dòng)N-S方程。43定義流體運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù)，記作。直角坐標(biāo)系中形式為：對(duì)于不可壓流體N-S方程簡(jiǎn)化為：44其中是單位質(zhì)量流體的加速度，為單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力。①壓力梯度力②粘性（粘滯）力方程物理意義的討論：①②453、歐拉方程理想流體（不考慮流體粘性），則納維-斯托克斯方程：可以簡(jiǎn)化，相當(dāng)于去掉方程中含有粘性的項(xiàng)。于是，方程簡(jiǎn)化為： 歐拉方程：理想流體的運(yùn)動(dòng)方程46

如流體靜止時(shí)，即流體的速度和加速度的個(gè)體變化均為零，作用于流體的力應(yīng)該達(dá)到平衡。此時(shí)，可得如下形式方程：

即所謂的靜力方程。它表明了流體的粘性只與流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，或者說(shuō)流體的粘性只有在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)才體現(xiàn)出來(lái)。4、靜力方程47假設(shè)流體所受的質(zhì)量力就是重力，靜力方程可以變化為：上式表明：當(dāng)流體靜止時(shí)，作用于單位截面積流體柱的頂面、底面上的壓力差，正好等于流體柱的重力；流體靜止時(shí)的壓力，可以用流體柱的質(zhì)量來(lái)表示。或者靜力方程應(yīng)用舉例：48如果流體密度只與z

有關(guān)的流體而言，積分不難得到：

+常數(shù)

而對(duì)于均勻不可壓流體，則有：

+常數(shù) 以上二式表明，流體靜止時(shí)壓力只與流體深度有關(guān)。49習(xí)題習(xí)題2-3-1已知流場(chǎng)u=ay，v=bx，w=0，其中a、b為常數(shù)，試根據(jù)不計(jì)質(zhì)量力和流體粘性的運(yùn)動(dòng)方程，導(dǎo)出等壓線方程。50外界對(duì)系統(tǒng)所作的功率（內(nèi)能+動(dòng)能）的變化率表面力作功率質(zhì)量力作功率熱流量的變化率流體中以界面包圍的體積為的流體塊第四節(jié)能量方程總能量的變化率51方程變換總能量的變化項(xiàng)：熱流量的變化率52表面力作功率項(xiàng)：53可以改寫(xiě)為：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體的能量方程，它是能量守恒定律在流體運(yùn)動(dòng)中的具體表現(xiàn)形式。流體塊的能量守恒方程54動(dòng)能方程根據(jù)流體的運(yùn)動(dòng)方程上式兩端同乘速度矢量右端第二項(xiàng)展開(kāi)后，則有：55單位質(zhì)量流體微團(tuán)的動(dòng)能方程物理意義：①②①質(zhì)量力作功率②表面力作功率外力作功率引起的動(dòng)能變化利用廣義牛頓粘性假設(shè)56③④④粘性耗散項(xiàng)③膨脹、收縮在壓力作用下引起的能量轉(zhuǎn)換項(xiàng)：動(dòng)能－內(nèi)能的轉(zhuǎn)換流體粘性動(dòng)能內(nèi)能膨脹收縮動(dòng)能內(nèi)能動(dòng)能內(nèi)能流體壓縮性④57熱流量方程用能量方程減去動(dòng)能方程反映內(nèi)能變化率的熱流量方程58對(duì)于理想流體，熱流量方程簡(jiǎn)化為：這就是通常在大氣科學(xué)中所用的“熱力學(xué)第一定律”的形式。59伯努利方程的適用條件：(1)無(wú)粘性流體(2)不可壓縮流體(3)定常流動(dòng)(4)質(zhì)量力為有勢(shì)力（保守力）伯努利方程60對(duì)于理想流體，動(dòng)能方程簡(jiǎn)化為：理想流體動(dòng)能的變化，僅僅是由質(zhì)量力和壓力梯度力對(duì)流體微團(tuán)作功造成的，而與熱能不發(fā)生任何轉(zhuǎn)換。故最終理想流體的動(dòng)能方程可以寫(xiě)成：又因?yàn)?1假設(shè)質(zhì)量力是有勢(shì)力，且質(zhì)量力位勢(shì)為，即滿足：如考慮為一定常場(chǎng)，則有：62理想流體的動(dòng)能方程假設(shè)質(zhì)量力是有勢(shì)力且為定常場(chǎng)63理想流體微團(tuán)的動(dòng)能方程：不可壓縮定常64等式右端括號(hào)內(nèi)部分的個(gè)體變化為零，也即：65定常運(yùn)動(dòng):流體運(yùn)動(dòng)的跡線和流線是重合于是沿流體運(yùn)動(dòng)的流線也有：伯努利方程66例2-4-1理想不可壓流體，所受質(zhì)量力僅為重力的情況下作定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中一流管如圖所示，已知道O點(diǎn)壓力和速度均為零，討論此時(shí)圖中處于同一流線上A、B兩點(diǎn)的流速VA、VB及壓力PA、PB間的所滿足的關(guān)系。O67皮托管是測(cè)定流體流速的儀器,常用來(lái)測(cè)定氣體的流速。圖5－23是皮托管的結(jié)構(gòu)示意圖。它是由兩個(gè)同軸細(xì)管組成,內(nèi)管的開(kāi)口在正前方,如圖中A所示。外管的開(kāi)口在管壁上,如圖中B所示。兩管分別與U型管的兩臂相連,在U型管中盛有液體(如水銀),構(gòu)成了一個(gè)壓強(qiáng)計(jì),由U型管兩臂的液面高度差h確定氣體的流速。68例：求水從容器壁小孔中流出時(shí)的速率。解：水從小孔中流出時(shí)的流速可以根據(jù)伯努利方程求解。設(shè)ABC為一條流線。A和B分別是這條流線在水面和小孔處的兩點(diǎn),其中水面上點(diǎn)A和孔口處點(diǎn)B都與大氣接觸,所以那里的壓強(qiáng)都等于大氣壓p0。容器的橫截面比小孔的截面大得多,根據(jù)連續(xù)性方程,vA<<vB,故可以認(rèn)為vA=0。將以上條件代入上式,即可求得小孔處的流速,為h69第五節(jié)簡(jiǎn)單情況下的N－S方程的準(zhǔn)確解流體力學(xué)的基本方程組：運(yùn)動(dòng)方程連續(xù)方程考慮流體為均勻不可壓縮（=常數(shù)），且粘性系數(shù)為常數(shù)（=常數(shù)）的情況下，方程組是閉合的。70流體力學(xué)問(wèn)題的一般方法，就是求解這樣的閉合的方程組并使之適合應(yīng)當(dāng)?shù)某跏紬l件和邊界條件。由于流體運(yùn)動(dòng)方程含有如平流加速度的非線性項(xiàng)，它是一個(gè)非線性方程組，在數(shù)學(xué)上要求解這樣一個(gè)非線方程組是難以做到的。僅僅通過(guò)簡(jiǎn)單問(wèn)題的求解－－了解基本方法

71一、平面庫(kù)埃托流動(dòng)h

h

Uuzx考慮如下簡(jiǎn)單流動(dòng)，設(shè)流體在兩相距為2h的無(wú)界平行平板間，沿x

軸作定常直線平面運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滿足：上平板勻速運(yùn)動(dòng)，下平板靜止。72考慮了xoz平面的運(yùn)動(dòng)，則 。假設(shè)流體是不可壓縮的：連續(xù)方程可見(jiàn)，即僅僅是z的函數(shù)73納維—斯托克斯方程簡(jiǎn)化為：積分進(jìn)而有：沿x軸作定常直線平面運(yùn)動(dòng)74方程第一式可以得到：積分上式可以得到：75考慮這樣的簡(jiǎn)單情況，設(shè)在x方向的壓力分布均勻，即：考慮如下邊界條件：

最終可以得到：上式即給出了平面庫(kù)托流動(dòng)的流速分布，它表明流速沿z軸呈線性分。76二、平面泊稷葉流動(dòng)h

h

uzx在平面庫(kù)托流動(dòng)的基礎(chǔ)上，假定沿x方向的壓力梯度不為零，而上、下板處于靜止?fàn)顟B(tài)。77此時(shí)，邊界條件為： 即為平面泊稷葉流動(dòng)的流速分布，它表明流速沿z軸方向呈拋物線分布。將邊界條件代入方程解式中，可以得到：78埃克曼流動(dòng)理想化的無(wú)邊界、無(wú)限深和密度均勻的海洋，因海面受穩(wěn)定的風(fēng)長(zhǎng)時(shí)間吹刮，出現(xiàn)鉛直湍流而產(chǎn)生的水平湍流摩擦力，與地轉(zhuǎn)偏向力平衡時(shí)出現(xiàn)的海流。1893～1896年，挪威海洋調(diào)查船“前進(jìn)”號(hào)橫越北冰洋時(shí)，F(xiàn).南森觀察到冰山不是順風(fēng)漂移，而是沿著風(fēng)向右方20°～40°的方向移動(dòng)。1905年，V.W.埃克曼研究了這種現(xiàn)象，得出了著名的埃克曼漂流理論。79三、埃克曼流動(dòng)80考慮粘性系數(shù)和密度均為常數(shù)的流體，在旋轉(zhuǎn)角速度為的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)出現(xiàn)了科氏力（地轉(zhuǎn)偏向力）的