§4.1

對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖桿的軸線在變形后成為曲線，這種變形稱為彎曲凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常均稱為梁一、彎曲的概念作用在梁上的載荷和約束力均位于縱向對稱面內時，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向對稱面內的曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。也有的教材稱為對稱彎曲。

梁變形后的曲線與外力在同一平面內(縱向對稱面內)。縱向對稱面縱向對稱軸梁的計算簡圖中，用梁的軸線代表實際的梁。FF梁的支座按它對梁的約束情況，可簡化為三種基本形式1）固定端支座

限制被支承的橫截面沿水平和垂直方向移動和繞某一軸移動。1、梁的支座分類二、

梁的計算簡圖2）固定鉸支座3）可動鉸支座使桿件與沿支承面方向移動亦可繞支承點轉動。限制支承的橫截面沿水平和垂直方向移動。1）集中載荷載荷的作用范圍遠小于桿件軸向尺寸。2）分布載荷沿軸向連續分布在桿件上的載荷，常用q表示。單位長度上的載荷,稱為載荷集度.如風力,水力,重力。3）集中力偶特例：均布載荷，線性分布載荷如水對壩的壓力。集中載荷分布載荷集中力偶2、梁的載荷分類3、幾種基本形式的靜定梁梁的約束力數目與獨立平衡方程的數目相同則為靜定梁。1）簡支梁一端為固定鉸支座一端為可動鉸支座。2）外伸梁一端或兩端向外伸出的簡支梁。3）懸臂梁一端固定端支座一端自由。梁的約束力數目多于獨立平衡方程的數目則為超靜定梁。§4.2

梁的剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖取左半部分分析Fs稱為剪力

抵抗剪切作用的內力,是與橫截面相切的分布內力系的合力.得：一、剪力和彎矩得：M稱為彎矩抵抗彎曲作用的矩,是與橫截面垂直的分布內力系的合力偶矩符號規則當微段梁兩相鄰截面發生左上右下的相對錯動時，橫截面上的剪力為正；反之，剪力為負。1、剪力FsFs

Fs左右+Fs

Fs左右-使微段梁彎曲成凹形時的彎矩為正；彎曲成凸性的彎矩為負。2、彎矩MMM+MM-材料力學中內力成對出現,符號相同.例1

已知:F、l求：梁中點處m-m截面的剪力和彎矩。解：（1）計算約束力（2）計算指定截面的剪力和彎矩解得：解得：例2

已知:F、M=Fl、l求：橫截面D-

、E、A+的剪力和彎矩。解：（1）計算約束力（2）計算截面E的剪力和彎矩解得：（3）計算截面A+

和D-的剪力和彎矩解得：解得：同理：AB二、剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖1、剪力方程和彎矩方程定義：方法:1、分段：根據梁上外力及截面變化情況分段2、在每段上以任意截面代替指定截面,求其剪力FS和彎矩M表示剪力和彎矩沿梁軸線變化規律的函數。注意：標注方程的使用區間時，剪力方程在集中力作用處用不等號；彎矩方程在集中力偶作用處用不等號。2、剪力圖和彎矩圖表示剪力和彎矩沿梁軸線變化規律的圖方法:1、求約束力2、列內力方程3、作剪力圖和彎矩圖定義：注意:繪制內力圖時，將正值的剪力畫在橫坐標x的上方；而正值的彎矩畫在x軸的下方，即彎矩圖的正方向向下例3

已知:F

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。解：剪力方程和彎矩方程為：Fs(x)為一常量由此可以繪出剪力圖和彎矩圖例4

已知:

q

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。解：剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖解：很容易求出約束力：例5

已知:

q

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖解：例6

已知:F、l、a、b求：梁的剪力圖和彎矩圖。很容易求出約束力：AC段剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖CB段剪力方程和彎矩方程為：例7

已知:M

、l求：梁的剪力圖和彎矩圖。解：很容易求出約束力：AC段剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖CB段剪力方程和彎矩方程為：集中力集中力偶注意：1、在集中載荷（力和力偶）作用處或外力不連續處，要分段計算內力方程。2、要將剪力圖和彎矩圖畫在梁受力圖的正下方，而不要畫在其它位置。這樣就可以很方便地了解梁中內力的變化規律，以及得到梁中任意截面上的剪力和彎矩值。3、有集中力處，則在該截面上剪力發生突變；有集中力偶處，則在該截面上彎矩發生突變。4、標出內力圖中端點、拐點、極值點和最值點的內力值。5、熟練掌握各種簡單的內力分布。C例8：已知外伸梁，載荷及尺寸如圖所示，試作梁的剪力圖和彎矩圖FAFD解：根據平衡方程可求得A、D處的約束力FA=7kNFD=5kN

根據梁上載荷的形式和分布情況，將全梁分為AB、BC、CD和DE四段分別計算其內力。取距A端為x的橫截面AB段BC段CD段DE段AB段BC段CD段DE段FS（kN）x731322020.51666M（kNm）x1、疊加原理：

多個載荷同時作用于結構而引起的內力等于每個載荷單獨作用于結構而引起的內力的代數和。適用條件：所求參數（內力、應力、位移）必須與載荷滿足線性關系。即在彈性范圍內滿足胡克定律。三、按疊加原理作彎矩圖2、材料力學構件小變形、線彈性范圍內必遵守此原理

——疊加方法疊加法繪制內力圖步驟：

①分別作出各項載荷單獨作用下梁的內力圖；②將其相應的縱坐標疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）。3、對稱性與反對稱性的應用

對稱結構在對稱載荷作用下，Fs圖反對稱，M圖對稱；對稱結構在反對稱載荷作用下，Fs圖對稱，M圖反對稱。解：例9試用疊加法作梁的彎矩圖。解：例10試用疊加法作梁的剪力圖和彎矩圖。=+aa20kNm50kN20kNm20kNm繪制梁的彎矩圖。例1150kN20kNm=+xM2xMxM1+50kNm–30kNm20kNm20kNm+––20kNm四、載荷集度、剪力和彎矩間的關系略去高階微量，得:利用（a）和（b），得:結論q>0時，Fs圖上揚q<0時，Fs圖下傾M圖M圖Fs>0時，M圖下傾Fs<0時，M圖上揚Fs=0時，M圖水平1、Fs圖為平行于x軸的直線段。2、4、該截面上彎矩有極值（極大值或極小值）。5、在集中力作用處Fs圖有突變，M圖的斜率也發生突變，也就是出現尖角。6、在集中力偶作用處M圖有突變，Fs圖無特殊變化。3、載荷Fs圖M圖+一次二次+一次二次+水平線無變化常見載荷的Fs圖和M圖特征例12、繪制圖示梁的內力圖。解：約束力B點左：C點左：M的駐點：qqa2qaFAFDABCDFsxqa/2qa/2––+qa/2qa2/2qa2/2qa2/23qa2/8+–Mx解：容易求出約束力：求：梁的剪力圖和彎矩圖。例13mm/lFsMml⊙m/lmmm/lma/lMmabBCAm/lFs⊙mb/lma/lCmmb/lMCA=ma/lMCB=mb/lFSxqa2qa–xMaaqaqACB–[例]

用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內力圖。A20kNDCB2m4kN/m求出RB=20kNRD=8kNFA=0kNFs(kN)FBA=-8kN8128MA=0KN.mMB=SFs=-8KN.mMD=0KN.mM(KN.m)816⊕⊙⊙求出RA=6kNRC=18kNFs(kN)18MA=MC=0MBA=SFs=12kN.mMBC=24kN.mM(KN.m)612⊕⊙A12kNmCB6kN/mB點;Fs=0處？？12B122424MO=24+SV=27271m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKB解：支座力為FA=81kNFB=29kNMA=96.5kN.m例題9：

用簡易法作組合梁的剪力圖和彎矩圖。FAFBMAx設距K

截面為x

的截面上剪力Fs=0

。即=1.45m+81KN31KN29KN1m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMAx9615.531553451m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKFAFBMA單位:kN.m+中間鉸鏈傳遞剪力（鉸鏈左，右兩側的剪力相等）；但不傳遞彎矩（鉸鏈處彎矩必為零）。1m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKx9615.53155345單位:kN.m+x=1.45m+81KN31KN29KN+abcd18kN2kN14kN3m3m6m補充例題：已知簡支梁，的剪力圖作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒有集中力偶作用。CABDCABD解：畫荷載圖所以F(

)F=20kN+abcd18kN2kN14kN3m3m6mAB段：沒有荷載，在B處有集中力，F=20kN。因為CABDF=20kNBC

段：無荷載CD段：有均布荷載

q(

)q=2kN+abcd18kN2kN14kN3m3m6m彎矩圖AB段：向右下傾斜的直線dabc+abcd18kN2kN14kN3m3m6m54kN.m彎矩圖dabc+abcd18kN2kN14kN3m3m6mBC段：向右上傾斜的直線CD段：向下凸的二次拋物線。

該段內彎矩沒有極值。+54kN.m48kN.m補充例題：已知簡支梁的彎矩圖，作出梁的剪力圖和荷載圖。abcd解：作剪力圖AB段：因為M(x)=常量，剪力圖為水平直線，且Fs(x)=0

。40kN.m+abcd2m2m2mabcd20kNBC段：Fs(x)=常量,剪力圖為水平直線CD段：剪力圖為水平直線且

Fs(x)=040kN.m+abcd2m2m2mabcd20kN作荷載圖ABCDAB段：無荷載。Me=40kN.m(

)Me在A處有集中力偶。40kN.m+abcd2m2m2mabcd20kN作荷載圖ABCDMe40kN.m+abcd2m2m2mFF=20kN()B

處有集中力。集中力abcd20kN作荷載圖ABCDMe40kN.m+abcd2m2m2mFBC段：無荷載。C處有集中力。集中力:F=20kN(

)CD段：無荷載。F§4.3平面曲桿的彎曲內力一、平面剛架1.平面剛架：同一平面內，不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連接而組成的結構。特點：剛架各桿的內力有：Fs、M、N。2.內力圖規定：彎矩圖：畫在各桿的受拉一側，不注明正、負號。

剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側（通常正值畫在剛架的外側），但須注明正、負號。例14試作圖示剛架的內力圖。F1F2alABC–FN

圖F2Fs圖F1F1aM圖F1aF1a+F2lABCAB++F1二、曲桿（軸線為曲線的桿件）

[例15]已知：如圖所示，F及R

。試繪制FS、M、

FN圖。OFRqmmx解：建立極坐標，O為極點，OB

極軸，q表示截面m–m的位置。AB內力情況及繪制方法與平面剛架相同。OFRqmmxABABOM圖OO+FS圖FN圖2FRFF–+mmFSM一、彎曲構件橫截面上的應力

當梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力FS.mmFSmmM

只有與正應力有關的法向內力元素

dFN=dA

才能合成彎矩.彎矩M

正應力s剪力FS

切應力t內力

只有與切應力有關的切向內力元素dFS=dA

才能合成剪力；

所以，在梁的橫截面上一般既有正應力，又有切應力.§4.4

梁橫截面上的正應力因此純彎曲情況下，橫截面上只有正應力二、分析方法

(Analysismethod)平面彎曲時橫截面

純彎曲梁(橫截面上只有M而無FS的情況)平面彎曲時橫截面橫力彎曲(橫截面上既有FS又有M的情況)ss

t

簡支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲.

若梁在某段內各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲.三、純彎曲（Purebending)++FF+FFaaCDAB一、實驗（Experiment）1.變形現象（Deformationphenomenon)縱向線且靠近頂端的縱向線縮短，靠近底端的縱向線段伸長.相對轉過了一個角度，仍與變形后的縱向弧線垂直.各橫向線仍保持為直線，各縱向線段彎成弧線，橫向線2.提出假設

(Assumptions）（a）平面假設：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線；（b）單向受力假設：縱向纖維不相互擠壓，只受單向拉壓.瑞士科學家Jacob.貝努力于1695年提出梁彎曲的平面假設。推論：必有一層變形前后長度不變的纖維—中性層中性軸橫截面對稱軸中性軸橫截面對稱軸⊥

中性層3.推論各橫截面繞中性軸發生偏轉。關于中性層的歷史1620年，荷蘭物理學家、力學家比克門首先發現中性層；英國科學家胡克于1678年也闡述了同樣現象，但沒有涉及中性軸的位置問題；法國科學家納維于1826年，出版《材料力學》講義，給出結論：中性軸過截面形心。dx圖（b）yzxO應變分布規律：直梁純彎曲時縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比.圖（a）dx圖（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO二、變形幾何關系（Deformationgeometricrelation）三、物理關系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx

直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力，與它到中性軸的距離成正比.應力分布規律：?待解決問題中性軸的位置中性層的曲率半徑r??說明：到這一步，我們可推知正應力σ隨y的變化規律，但還不能確定其值。yzxOMdAzyσdA四、靜力關系

(Staticrelationship）

橫截面上內力系為垂直于橫截面的空間平行力系，這一力系簡化得到三個內力分量.FNMzMy內力與外力相平衡可得（1）（2）（3）將應力表達式代入（1）式，得將應力表達式代入（2）式，得將應力表達式代入(3)式，得中性軸通過橫截面形心自然滿足將代入得到純彎曲時橫截面上正應力的計算公式:M為梁橫截面上的彎矩；y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離；Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩.幾點說明（1）纖維變形及應力都隨y的增大而增大。若y為負，則產生壓縮變形，應力為壓應力。（2）公式適用于比例極限范圍內，外力過形心主慣性平面。（3）當梁的l>5h時，上述公式可以推廣到橫力彎曲。（4）在實際計算中，通常M、y以絕對值代入，σ的符號由變形來判斷。（5）由公式推導可知，公式不僅適用于矩形截面，而且適用于其它一些截面，如：T字形梁，工字形梁，圓截面梁，等等。同時我們可以給出各種梁的正應力分布情況。（6）一些工程實例：大橋做成拱狀。趙州橋，最早的石拱橋。水泥預制板，中間做空，下面加筋（鋼筋或竹筋）梁式起重機大梁，箱形截面或工字形截面。二、純彎曲理論的推廣橫力彎曲時，在彎矩最大的截面上離中性軸最遠處存在最大正應力

由于切應力對橫截面上各點的彎曲正應力影響很小，所以對于橫力彎曲仍可以沿用純彎曲正應力公式：Wz稱為抗彎截面系數，單位是m3或mm3。對于寬為b高為h的矩形截面：對于直徑為d的圓形截面：限定最大彎曲正應力不得超過許用應力，于是強度條件為：設σt

表示拉應力，σc

表示壓應力，則：塑性材料，

[σt]=[σc]=[σ]；

所以，工程中，一般對塑性材料選用中性軸同截面對稱軸重合的截面形狀。對脆性材料，則不將對稱軸作中性軸，以充分利用材料的性能，使設計更經濟合理。脆性材料，[σt]≠[σc]，且[σt]<[σc]三、梁的正應力強度條件彎曲正應力強度條件的應用：1、強度校核2、梁的截面尺寸設計3、確定許可載荷思考題1：觀察建筑用的預制板的特征，并給出合理解釋。P為什么開孔？為什么加鋼筋？施工中如何安放？孔開在何處？可以在任意位置隨便開孔嗎？思考題2：你能解釋一下托架開孔合理嗎？托架會不會破壞？為降低重量，可在中性軸附近開孔。

試用彎曲正應力條件證明:從圓木鋸出的矩形截面梁,上述尺寸比例接近最佳比值.dhb思考題3：從圓木中鋸出的矩形截面梁，矩形的高:寬=？才能最有效利用材料？

意為矩形梁木的高:寬=3:2“凡梁之大小，各隨其廣分為三分，以二分為厚。”李誡《營造法式》

已知：F=10KN，a=1.2m[σ]=10MPa，h/b=2例1試：選擇梁的截面尺寸。解：由對稱性，可得：作彎矩圖，由強度條件得：故：選取截面為：由圖可得：已知：l=1.2m[σ]=170MPa，18號工字鋼，不計自重。例2求：F的最大許可值。解：作彎矩圖，得：故：查附錄A表4，由：由圖可得：已知：F1=8KN，F2=20KN，a=0.6m，IZ=5.33×106mm4

σb=240MPa，σbc=600MPa，安全系數n=4。例3試：校核梁的強度。解：作彎矩圖，許用應力為：很容易求出：校核強度：截面A下邊緣：截面A上邊緣：截面C下邊緣：故：滿足強度要求由圖可得危險截面彎矩：a一、梁橫截面上的切應力1.矩形截面梁(Beamofrectangularcrosssection)

§4-5

梁的切應力及強度條件（1）兩個假設(Twoassumptions)（a）切應力與剪力平行；（b）切應力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離處切應力相等）.q(x)F1F2（2）分析方法(Analysismethod)（a）用橫截面m-m,n-n從梁中截取dx一段.兩橫截面上的彎矩不等.所以兩截面同一y處的正應力也不等；（b）假想地從梁段上截出體積元素mB1，在兩端面mA1，nB1上兩個法向內力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxm’m’hnyABA1B1ABB1A1mnxzyym?FN2FN1mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’（c）在縱截面上必有沿x

方向的切向內力dFS′.故在此面上就有切應力τ.

根據假設，橫截面上距中性軸等遠的各點處切應力大小相等.各點的切應力方向均與截面側邊平行.取分離體的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’m?ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’（3）公式推導(Derivationoftheformula)

假設m-m，n-n上的彎矩為M和M+dM，兩截面上距中性軸y1處的正應力為1和2.A1為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積.式中：為面積A1對中性軸的靜矩.A1化簡后得由平衡方程A1ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’b欲求切應力的點處截面的寬度；yz整個橫截面對中性軸的慣性矩.距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩.（4）切應力沿截面高度的變化規律(Theshear-stressdistributionontherectangularcrosssection)沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關系確定.一、矩形截面梁的切應力式中：設距離中性軸為y的橫線上切應力為τ：dzy若Fs已知,則有:二、工字形梁的切應力

此部分可近似運用矩形公式，它相當于幾個矩形所構成，但矩形梁的條件是：h>>d所以僅有腹板可以用.說明:（1）腹板最上面的切應力不等于翼緣最下面的切應力，翼緣上不能用上述公式。（2）翼緣最外邊緣處切應力為零，中間部分的切應力也很小，可忽略，但是水平切應力卻較大，可用開口薄壁桿件的切應力公式求之（3）由于h>>b，，因此可以認為腹板上的切應力大致是均勻分布的，且誤差很小。三、圓截面梁的切應力（2）同一層τ在y方向上的分量τy為常數.1、τ與Fs的方向不一致，如外邊緣上的方向與切線一致。假設（1）同一層τ的方向如圖，而z軸上,則τ與Fs的方向一致。zyABFsτy式中:Fs橫截面上的剪力,Iz

圓截面對中性軸的慣性矩,d

切應力所在的弦長,Sz*

切應力所在弦的上方或下方面積對中性軸的靜矩.

由上面的假設，對τy而言，就與對矩形截面所作的假設完全相同。于是，圓截面梁的切應力公式可表示為：τmaxτmax一定在中性軸(y=0)上,其方向和剪力一致,且誤差<5%.說明：2、公式zyABFsτy四、彎曲切應力強度校核1、彎曲最大切應力其中，是中性軸一邊的截面面積對中性軸的靜矩。2、強度校核中性軸上的受力狀態是純剪切應力狀態，故有A、梁的跨度較短，或在支座附近有較大載荷；B、鉚接或焊接的工字形截面梁，腹板薄，而厚度大；C、薄壁截面梁；D、焊接或膠合而成的組合截面梁，其焊縫或膠合縫需要校核；E、木梁順紋方向抗剪差。3、討論（1）細長梁的強度控制因素主要是正應力，滿足正應力強度的橫截面一般都能滿足切應力強度。（2）但如下情況需進行梁的切應力校核：已知：F=50KN，a=0.15m，l=1m，[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，梁由工字鋼制成。例4試：選擇工字鋼型號。解：（1）作剪力圖和彎矩圖，（2）選擇截面查附表，選用10號工字鋼由正應力強度條件，得：由圖可得：（3）校核切應力強度查附表，對10號工字鋼故：（4）重新選擇截面查附表，改選用12.6號工字鋼則：滿足切應力強度條件。所以，最后選用12.6號工字鋼§4.6梁的合理設計主要以此作為設計梁的依據從以下兩方面來考慮：（1）合理安排梁的受力情況，以降低Mmax的值；（2）采用合理的截面形狀，以提高Wz

的值，充分利用材料性能。1、合理布置支座的位置一、合理安排梁的受力情況x=0.207l的時候，最大彎矩減小了83%a=0.2l的時候，最大彎矩減小了20%1、由應力分布考慮經濟系數：單位橫截面積所產生的抗彎性能：說明（1）矩形梁豎放，而不橫放。（2）截面積盡可能地遠離中性軸，不用矩形，而選用工字形、槽形、或用加強板。2、由材料的性質看脆性材料：中性軸靠近受拉邊。塑性材料：中性軸是對稱軸。3、由結構的要求梁：矩形、工字形、槽形軸：圓形二、選擇合理的截面形狀伽利略1638年《關于兩種新科學的對話和證明》“空心梁能大大提高強度，而無須增加重量，所以在技術上得到廣泛應用。在自然界就更為普遍了，這樣的例子在鳥類的骨骼和各種蘆葦中可以看到，它們既輕巧而又對彎曲和斷裂具有相當高的抵抗能力。”合理的放置Fbhbh豎放比橫放更合理。三、等強度梁

使任一截面的最大正應力都相等或近似相等，或盡可能地充分利用材料。

橫截面尺寸沿著梁軸線變化的梁稱為變截面梁。

當梁的各橫截面上最大正應力都等于材料的許用應力時，稱為等強度梁。解：C點的應力C截面的彎矩由得

簡支梁AB，在Ｃ截面下邊緣貼一應變片，測得其應變ε=6×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，求載荷F的大小。例5解：主梁AB的最大彎矩副梁CD的最大彎矩由:即:得:

主梁AB，