第一章矢量分析1本章內容1.1矢量代數1.2三種常用的正交曲線坐標系1.3

標量場的梯度1.4

矢量場的通量與散度1.5

矢量場的環流和旋度1.6

無旋場與無散場1.7

拉普拉斯運算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理21.標量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數表示：1.1矢量代數矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

3矢量用坐標分量表示zxy4（1）矢量的加減法兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結合律2.矢量的代數運算矢量的加法矢量的減法在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結合律交換律5（2）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）——矢量的標積符合交換律q矢量與的夾角6（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積直角坐標系中，用坐標分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則7（5）矢量的混合運算——分配律——

分配律——

標量三重積——

矢量三重積81.2

三種常用的正交曲線坐標系直角坐標系圓柱坐標系球坐標系點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

91.直角坐標系

坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量線元矢量可表示成它在三個坐標方向，所增加微分元的矢量和。直角坐標系中：從坐標原點指向空間位置點的矢量10面元矢量在直角坐標系中，與三個坐標單位矢量相垂直的面積元分別為：體積元x

yz直角坐標系的體積元

odzdydx112.圓柱坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系123.球坐標系球坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量134.坐標單位矢量之間的關系

直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系直角坐標與球坐標系ofxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系foqrz單位圓

柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系qq14本節重點回顧矢量的基本計算熟練掌握三種常用坐標系15兩個相隔一定距離的物體之間的相互作用：超距作用以太論場1.3標量場的梯度16如果物理量是標量，稱該場為標量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關，稱為靜態場，反之為時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區域上定義了一個場。從數學上看，場是定義在空間區域上的函數：標量場和矢量場靜態標量場和矢量場可分別表示為：17標量場的等值面

標量場的等值線(面)等值面:

標量場取得同一數值的點在空間形成的曲面。等值面方程：常數C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。

等值面的特點：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態。18當點M沿射線趨近于時,比值的極限稱為標量場在點處沿方向的方向導數,記作M0M方向導數的概念

方向導數的概念

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向減??；

——u(M)沿方向無變化。

19直角坐標系中，方向導數的計算公式：——的方向余弦。

式中：

M0M方向導數的概念

證明：如函數u(x,y,z)在M0點可微203.標量場的梯度（或）梯度的概念：在直角坐標系中：由梯度定義可知：標量場u在點M處的梯度為一個矢量，其方向沿u變化率最大的方向，大小等于其最大變化率21梯度的表達式：直角坐標系

哈密頓算符圓柱坐標系

球坐標系

22標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向導數，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）23

解

(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為

例1.2.1

設一標量函數(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標量場。試求：

(1)該函數在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數沿單位矢量方向的方向導數，并以點P(1,1,1)處的方向導數值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。24表征其方向的單位矢量

(2)由方向導數與梯度之間的關系式可知，沿el方向的方向導數為對于給定的P點，上述方向導數在該點取值為25而該點的梯度值為

顯然，梯度描述了P點處標量函數的最大變化率，即最大的方向導數，故恒成立。26本節重點熟練掌握標量場梯度的意義及計算方法271.4矢量場的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。矢量線OM

282.矢量場的通量

通量的概念其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；

如果曲面S是閉合的，則規定曲面的法向矢量由閉合曲面內指向外，矢量場對閉合曲面的通量是面積元矢量矢量穿過面積元的通量，定義為：矢量穿過曲面S的通量為：29通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果通量的物理意義303.矢量場的散度

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內產生矢量場的源的關系。

如何研究場域內，每一點處的通量特性呢？或者說是通量源的分布特性？某一點的散度，描述了該點單位體積內散發出來的矢量的通量。也即該點通量源的密度。31直角坐標系下散度表達式的推導

即流出

不失一般性，令包圍P點的體積元V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP和兩面元的通量為：32于是根據定義求得散度為：

同理，可計算出應流出另兩組側面的通量，最后得：33圓柱坐標系球坐標系直角坐標系散度的表達式：散度的有關公式：344.散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S矢量通過曲面S的通量（S圍成體積V內的通量源）對通量源密度進行體積分（S圍成體積V內的通量源）該式為矢量場的散度的體積分與該矢量場的閉合曲面積分之間的變換關系，在電磁理論中應用非常廣泛！35本節重點矢量場通量的意義及計算方法矢量場散度的計算方法散度定理（高斯定理）361.5矢量場的環流和旋度

磁感應線要么穿過曲面磁感應線要么同時穿入和穿出曲面磁感應線不是所有的矢量場都由通量源激發。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發的矢量場的矢量線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。37矢量場的環流環流的定義：磁場的環流與電流的關系：

矢量場沿閉合路徑C的環流。矢量場沿場中一條閉合路徑C的曲線積分38環流面密度的定義：稱為矢量場在點M處沿方向

的環流面密度。特點：其值與面元的法線方向有關。在矢量場中的任一點M處作一面元，取為此面元的法向單位矢量。當面元保持以為法向分量而向點M無限縮小時39以表示旋度2.矢量場的旋度矢量場在Ｍ點的旋度是一個矢量大小：該點最大環流密度的值方向：取得最大環流密度的面元的法線方向和方向導數與梯度的關系類似：沿任一方向的環流面密度等于旋度沿該方向的投影。（旋度在該方向的分量）旋度的定義：40旋度的計算公式：在直角坐標系中，由旋度的定義可得旋度的計算公式為：413.斯托克斯定理斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。曲面的剖分方向相反大小相等結果抵消該定理表明矢量場的旋度在曲面Ｓ上的面積分，等于矢量場沿限定曲面的閉合曲線Ｃ上的線積分，即42本節重點矢量場環流的意義及計算方法矢量場的旋度及計算方法斯托克斯定理431.矢量場的源散度源旋度源1.6無旋場與無散場2.矢量場按源的分類（1）無旋場僅有散度源而無旋度源的矢量場又因為，標量場梯度的旋度恒等于0因此，無旋場總可以表示為某一標量場的梯度，即函數u稱為無旋場的標量位函數，簡稱標量位重要恒等式44例如：靜電場標量位函數的引入，使得我們可以通過對標量場的研究來得到相應的矢量場。這在某些情況下可以大大簡化計算過程。可以通過研究標量電位來得到電場強度的分布45可知無旋場的曲線積分與路徑無關，是保守場。由斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的環流等于0無旋場的特點：46因此，無散場總可以表示為某一矢量場的旋度，即（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場又因為，矢量場旋度的散度恒等于0重要恒等式函數

稱為無散場的矢量位函數，簡稱矢量位47無散場的特點：由散度定理可知，無散場通過任何閉合曲面S的通量等于0484.散度和旋度的區別

491.7拉普拉斯運算與格林定理1.拉普拉斯運算標量拉普拉斯運算概念：——拉普拉斯算符直角坐標系計算公式：圓柱坐標系球坐標系50矢量拉普拉斯運算在直角坐標系中在其它坐標系中，應該按照矢量拉普拉斯運算的基本定義來計算即512.格林定理格林定理又稱為格林恒等式，它的表達式如下：格林第一恒等式：格林第二恒等式：

格林定理說明了區域V中的場與邊界S上的場之間的關系。因此，利用格林定理可以將區域中場的求解問題轉變為邊界上場的求解問題。

此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可