第二章固體理論概要

本章學習要點：

1.了解半導體物理中用到的基本量子力學原理，主要

結論，包括能量量子化和幾率波的概念，以便更好

地理解晶體中的電子特性；

2.建立半導體的能帶理論；

3.掌握k空間能帶圖，電子的有效質量，空穴的概念；

4.掌握量子態密度與電子能量之間的函數關系；

5.掌握費米－狄拉克分布函數，由此確定電子占據一

個量子態的幾率與電子能量之間的函數關系,費米

能級?！?.1量子力學原理

三個基本的量子力學原理

1.能量量子化

實驗現象：光電效應，采用單一頻率的入射光照射到

金屬材料的表面上，則會有光電子激發出來。

光強一定時，激發出的光電子的最大動能與入射光的頻率成線性關系，且當入射光的頻率低于某個臨界頻率時，則無論光強多大，都不會有光電子激發出來。光電效應采用經典理論無法解釋。愛因斯坦引入“光子”的概念，成功解釋了光電效應，臨界頻率則對應于金屬材料的功函數。(金屬中的價電子逸出體外，需要外界對它做的功)2.波粒二象性原理

光電效應表明光波具有粒子（光子）的特性，電磁波的康普頓效應實驗也驗證了光子在與電子之間的相互作用滿足能量和動量守恒。那么粒子是否也具有波動的特性呢？

1924年德布羅意提出物質波的假說，即各種微觀粒子也同時具有波動特性，此即波粒二象性原理。

實驗現象：電子的雙縫干涉實驗表明，電子（粒子）也具有波動的特性。（1927年，戴維遜和革末）3.不確定原理

不確定原理的首要觀點是對同一粒子不可能同時確定其坐標和動量。如果動量的不確定度為，而坐標的不確定度為，則不確定關系為：

對于具有特定動量的電子，在任意時刻，其位置是不能確定的，只能由幾率函數給出?！?.2能量量子化與幾率波的概念

能量量子化和波粒二象性原理都無法應用經典力學的理論來解釋，1926年薛定諤提出了微觀粒子的波動力學理論。穩態情況下，不含時間的薛定諤方程可以表示為：其中E是微觀粒子總的能量，假設其為常數，V(x)為微觀粒子的勢能，m是微觀粒子的質量。自由電子的波函數為：氫原子模型示意圖對于氫原子模型這樣的三維波函數問題，除了主量子數n之外，還必須引入另外量子數，即：軌道角量

子數L和磁量子數m，這些量子數之間的關系為：

n=1,2,3,......,

L=n-1,n-2,n-3,......,3,2,1,0

|m|=L,L-1,L-2,......,2,1,0

每一組量子數對應于電子可以占據的一個量子態。

在氫原子模型中，薛定諤波動方程的解可表示為：其中n、L、m為一組量子數。當n=1、l=0、m=0時，波函數為：該波函數是球對稱的，其中的a0為：a0稱為玻爾半徑（起源于經典理論中的玻爾原子理論）。電子的徑向幾率密度函數，即

在距離原子核一定間距范圍內

找到電子的幾率，既正比于乘

積，同時也正比于環繞原子核的一個球殼的微分體積。左圖給出了氫原子模型中最低能態上電子的幾率密度分布函數。從圖中可見，當r=a0時，電子的分布幾率最大。當n=2、l=0、m=0時，對應的高能態球對稱波函數的

徑向幾率密度函數如下圖所示：§2.3固體的量子理論

在上一節關于氫原子模型的討論中，看到束縛電子的能級是量子化的，只能取一系列分立的數值，而電子的空間位置則是由徑向幾率分布密度函數決定。在這一節中我們將把上述有關單個原子的結論推廣到整個晶體材料中，從而形成晶體材料中的允許帶和禁帶的概念。1.能帶的形成左圖為單個原子的電子云徑向密度分布，右圖則是當兩個原子靠近之后，二者的電子云發生重疊，此時兩個不同原子的電子之間產生相互作用，導致原來相同的兩個能級發生分裂。下圖所示為兩個氫原子靠得很近之后，原來相同的兩個1s能級就會發生分裂，變成兩個離散的能級。如圖所示為大量相同的原子靠得很近形成晶體材料之后，原來相同的電子能級就會發生分裂，變成一系列離散的能級，這些離散的能級形成能帶，其中的r0代表平衡狀態下晶體中的原子間距。圖示為大量包含多個電子的原子靠得很近形成晶體材料之后，原來相同的電子能級發生分裂的情況。

原子靠近→電子云發生重疊→電子之間存在相互作用→分立的能級發生分裂形成能帶。從另外一方面來說，這也是泡利不相容原理所要求的。大量硅原子形成硅晶體材料的情況：

（1）單獨硅原子的電子能級示意圖；(2)大量硅原子（N）形成硅晶體的電子能級分裂示意圖硅晶體形成過程中發生的sp3軌道雜化，最終形成填

滿電子的價帶和完全沒有電子的導帶，二者之間為禁帶寬度Eg。溫度升高時，共價鍵中的個別電子可能會獲得足夠大的能量，從而克服共價鍵的束縛，進入導帶。能帶圖：縱坐標為能量，橫坐標為空間位置。各個分裂出來的能級都位于導帶和價帶之中，導帶底EC和價帶頂EV之間的能量差為禁帶寬度Eg。隨著溫度的升高，導帶中的電子和價帶中的空位數都會增加。3.晶體材料中電子與空穴的有效質量

電子在晶體材料中的運動與電子在自由空間的運動有很大的差別，晶體中的電子除了受到外力之外，還會受到來自晶體內部各種帶電粒子以及周期性勢場的作用。,根據定義，是狀態的函數，其值取決于該狀態下的帶頂，帶底附近有效質量才近似為常數。帶底：>0<0關系。帶頂：以后方便期間，*一般省略。晶體中的電子，除了受外力作用外，還受到復雜的周期場的作用力，采用就可以得出外力F和加速度a的簡單關系，而把復雜的周期場力包括到中去了，從而可以將晶體中的電子視為經典粒子，將其規律等效為自由電子的運動規律，使問題大大簡化的意義：4.帶電載流子——電子與空穴半導體材料中可以用來傳導電流的微觀粒子稱為載流子，包含電子和空穴兩大類。

（1）電子

我們關心的主要是位于導帶底部的這些可以在電場作用下做定向運動并能夠傳導電流的電子。電子電流密度可以表示為：是E引起的電子速度的改變量。對于每個電子，由于受到散射，不同，但大量電子的平均值在一定外場下是確定的。假定平均自由時間為,則：從而

價帶中大量電子的電流，原則上也可用上面的方法求，但計算相當復雜且不為常數，所以實際上不可能。所以引入了“空穴”的概念。（2）空穴假設半導體材料中價帶頂部的空位濃度為P0,價帶中全部電子在E作用下產生的電流密度為Jp,若將空態全部填滿電子，這些電子（mn<0）在E作用下產生的電流為J’p,又因為全滿帶中的電子不導電：Jp+J’p=0得：Jp=-J’p=令則價帶全部電子在外場作用下產生的電流密度為：對比：上述結果表明：價帶頂有P0個空態（空位）時，價帶中全部電子在外場作用下所產生的電流可等效為P0個具有正電荷e,正有效質量mp,速度為V(k)的經典粒子所產生的電流，這種粒子稱為空穴。引入空穴概念的意義：

用少量空穴的運動等效價帶中大量電子的集體運動，從而使問題變得和處理導帶電子的問題一樣簡單。

空穴的特征：

(1)荷電量與電子相等，但符號相反，及荷+e.

(2)有效質量符號為正，數值上等于價帶頂空態對應

的電子有效質量，即mp=-mn

(3)濃度等于空態濃度P0

(4)波矢為－K,準動量為－hK5.金屬、絕緣體與半導體

（1）絕緣體：價帶滿、導帶空，禁帶寬度比較寬

（3.5－6eV以上）的固體材料；絕緣體的能帶情況（2）半導體：導帶底有少量電子或價帶頂有少量空穴，禁帶寬度在1eV左右的晶體材料，其電阻率可在很大范圍內改變；（3）金屬導體：金屬材料最大的特點就是其電阻率極低，其能帶結構主要分為以下兩大類，半滿型和交疊型。6.動量空間（k空間）的概念和E~k關系圖對于自由粒子來說，其能量E和動量p之間滿足下述關系：對于實際的半導體晶體材料來說，由于周期性晶格勢場的影響，其中的電子能量E與其動量p之間的E~k關系要更為復雜。

左圖為金剛石結構晶格中沿著[100]和[110]方向的原子排列示意圖?？梢妼τ趯嶋H晶體材料來說，其E~k關系與晶格方向有著密切關系。右圖為砷化鎵晶體材料沿著[100]和[111]方向的E~k關系示意圖。砷化鎵材料導帶的最低點與價帶的最高點都位于k=0點，具有這種能帶結構的半導體材料稱為直接帶隙半導體材料，電子在不同能帶之間的躍遷沒有動量的改變，這對于半導體的光電特性具有重要意義右圖可知，硅材料導帶的最低點位于[100]方向，其價帶的最高點仍然位于k=0點，具有這種能帶結構的半導體材料稱為間接帶隙半導體材料，此時電子在不同能帶之間的躍遷涉及到動量的改變，除了必須滿足能量守恒之外，還必須要滿足動量守恒§2.4態密度函數的概念

能帶（導帶和價帶）是由大量密集的分立能級所組成的，單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區間內的量子態數量稱為態密度。以三維無限深勢阱來近似描述晶體材料，應用薛定諤方程，我們可以求得單位體積晶體材料（cm-3）中，單位能量間隔區間內（eV-1）的量子態密度分布函數為：其單位通常為：cm-3eV-1對于導帶中的電子來說，其態密度分布為：其中，E>EC，mn*為導帶中電子的態密度有效質量。而對于價帶中的空穴來說，則其態密度分布為：其中，E<EV，mp*為價帶中空穴的態密度有效質量。當EV<E<EC時，則為禁帶,在此能量區間g(E)=0導帶中電子的態密度分布函數gC(E)和價帶中空穴的態密度分布函數gV(E)隨著能量E的變化關系.當電子的態密度有效質量與空穴的態密度有效質量相等時，二者則關于禁帶中心線相對稱。§2.5統計力學簡介

在處理有關大量微觀粒子的系統時，我們關心的主要是大量微觀粒子所表現出的規律，而不是具體某個微觀粒子的特性。關心的是微觀粒子在不同能級上的分布情況統計規律：（1）麥克斯韋－玻爾茲曼統計分布函數；

不同微觀粒子之間相互可以區分，每個能態上所允許存在的粒子數量不受限制。主要適用于經典粒子的能量分布，例如在一個低壓密閉容器中的氣體分子就遵循麥克斯韋－玻爾茲曼統計分布規律。（2）費米－狄拉克統計分布函數；

不同微觀粒子之間相互無法區分，并且每個量子態上只允許存在的一個微觀粒子。費米子，服從泡利不相容原理，例如，晶體中的電子就遵循費米－狄拉克統計分布規律。2.費米－狄拉克分布函數與費米能級：

晶體中的電子遵循費米－狄拉克統計分布規律。費米－狄拉克統計分布函數為：上式中，N(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區間內存在的微觀粒子數量，g(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區間內所具有的量子態數量。fF(E)就稱作費米－狄拉克統計分布函數，它反映的是能量為E的一個量子態被一個電子占據的幾率。而EF則稱為費米能級。費米－狄拉克統計分布函數為：T=0K時的費米－狄拉克統計分布函數：

如下圖所示。在T=0K條件下，當E<EF時，fF(E)=1；而當E>EF時，fF(E)=0；

注意：費米能級EF反映的是電子在不同能態上的填充水平，但并不一定對應于某個具體的能級。當溫度高于絕對零度時，電子分布情況的改變可以通過費米－狄拉克分布函數的改變來反映。

T>0K時，E>EFfn(E)<1/2;

E=EF,fn(E)=1/2;

E<EFfn(E)>1/2。T=0K時，13個電子在不同能級、不同量子態上的分布示意圖。當溫度高于絕對零度時，部分電子將獲得一定的熱運動