山西省運城市杜馬中學2023年高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.當向量，時，執行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）．A． B． C． D．參考答案：B時，，時，，時，，時，，時，，此時，所以輸出．故選．2.函數的最大值與最小值之和為A. B.－1 C.0 D.參考答案：D【分析】根據輔助角公式合一變形,再分析【詳解】函數,由,得,所以,所以y最大值為2,最小值為,所以y的最大值與最小值之和為．故選：D．【點睛】本題主要考查了輔助角公式的應用以及三角函數范圍的問題,屬于中等題型.3.已知函數f（x）是奇函數，且當x＞0時，f（x）=x2+，則f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2參考答案：A【考點】函數奇偶性的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】由奇函數定義得，f（﹣1）=﹣f（1），根據x＞0的解析式，求出f（1），從而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又當x＞0時，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故選：A．【點評】本題考查函數的奇偶性及運用，主要是奇函數的定義及運用，解題時要注意自變量的范圍，正確應用解析式求函數值，本題屬于基礎題．4.給出定義：若(其中為整數)，則叫做離實數最近的整數，記作，即.在此基礎上給出下列關于函數的四個命題：

①函數的定義域是R，值域是[0，]；②函數的圖像關于直線對稱；③函數是周期函數，最小正周期是1；④函數在上是增函數．

則其中真命題是(

)A．①②③

B．①②④

C．

①③④

D．①②參考答案：A5.已知是圓：上的兩個點，是線段上的動點，當的面積最大時，則的最大值是（

）

A.-1

B.0

C.

D.參考答案：c略6.是虛數單位，復數的實部為A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.某班全體學生測試成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若高于80分的人數是15，則該班的學生人數是（）A.40 B.45 C.50 D.60參考答案：C【分析】根據給定的頻率分布直方圖，可得在之間的頻率為0.3，再根據高于80分的人數是，即可求解學生的人數，得到答案．【詳解】由題意，根據給定的頻率分布直方圖，可得在[80,100]之間的頻率為，又由高于80分的人數是15，則該班的學生人數是人，故選C．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．8.已知函數的圖像是下列四個圖像之一，且其導函數的圖像如右圖所示，則該函數的圖像是（

）

參考答案：B因為，所以在為增函數,又時，為增函數,所以圖象越來越陡峭，時，為減函數,所以圖象越來越平緩。9.一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積（單位：c）為（

）（A）48+12

（B）48+24

（C）36+12

（D）36+24參考答案：A10.1名老師和5位同學站成一排照相，老師不站在兩端的排法共有A.450

B.460

C.480

D.500參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數f（x）為偶函數且f（x）=f（4﹣x），又f（x）=，函數g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4個零點，則a的取值范圍是

．參考答案：（2，）【考點】函數零點的判定定理．【專題】函數的性質及應用．【分析】易知函數f（x），g（x）都是偶函數，所以只需判斷F（x）在（0，+∞）上有兩個不同的零點即可，也就是函數y=f（x）與y=g（x）的圖象在y軸右側有兩個不同交點即可．畫出它們的函數圖象，問題容易解決．【解答】解：由題意可知f（x）是周期為4的偶函數，對稱軸為直線x=2，且函數g（x）也是偶函數，因此只需做出x＞0時f（x），g（x）的圖象，然后此時產生兩個不同交點即可．作出函數f（x）、g（x）的圖象如下：可知，若F（x）恰有4個零點，只需，即．解得．故答案為．【點評】本題主要考查數形結合以及函數的零點與交點的相關問題，需要學生對圖象進行理解，對學生的能力提出很高要求，屬于難題12.如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別在邊CD和BC上，且，若，其中，則

_________.參考答案：13.的二項展開式中不含x的項為_____________.參考答案：

14.定義在上的函數滿足，當時，，則函數在上的零點個數是____________.參考答案：604由，可知，則，所以是以10為周期的周期函數.在一個周期上，函數在區間內有3個零點，在區間內無零點，故在一個周期上僅有3個零點，由于區間中包含201個周期，又時也存在一個零點，故在上的零點個數為.15.復數z滿足=1+i，則復數z的模等于．參考答案：【考點】復數求模；二階矩陣．【分析】由條件求得z==2﹣i，再根據復數的模的定義求得|z|．【解答】解：∵復數z滿足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案為：．16.如果存在實數使不等式成立，則實數的取值范圍是_________．參考答案：17.從中任意取出兩個不同的數，其和為的概率是_______。參考答案：從5個正整中任意取出兩個不同的數，有種，若取出的兩數之和等于5，則有，共有2個，所以取出的兩數之和等于5的概率為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分如圖，四邊形為矩形，且，，為上的動點。（1）當為的中點時，求證：；（2）設，在線段上存在這樣的點E，使得二面角的平面角大小為。試確定點E的位置。參考答案：方法一：（1）證明：當為的中點時，，從而為等腰直角三角形，

則，同理可得，∴，于是，………1分

又，且，∴，。………2分

∴，又，∴。……4分

（也可以利用三垂線定理證明，但必需指明三垂線定理）（還可以分別算出PE，PD，DE三條邊的長度，再利用勾股定理的逆定理得證，也給滿分）（2）如圖過作于，連，則，………6分

∴為二面角的平面角．

……………8分

設，則．……………9分于是………………10分，有解之得。點在線段BC上距B點的處。………12分方法二、向量方法．以為原點，所在直線為

軸，建立空間直角坐標系，如圖………………1分（1）不妨設，則，從而，………2分于是，所以所以

………………4分（2）設，則，則

………………6分易知向量為平面的一個法向量．設平面的法向量為，則應有

即解之得，令則，，從而，………………10分依題意，即，解之得（舍去），………………11分所以點在線段BC上距B點的處。………………12分19.（2017?四川模擬）某市對創“市級優質學校”的甲、乙兩所學校復查驗收，對辦學的社會滿意度一項評價隨機訪問了30位市民，根據這30位市民對這兩所學校的評分（評分越高表明市民的評價越好），繪制莖葉圖如下：（Ⅰ）分別估計該市民對甲、乙兩所學校評分的中位數；（Ⅱ）分別估計該市民對甲、乙兩所學校的評分不低于90分的概率；（Ⅲ）根據莖葉圖分析該市民對甲、乙兩所學校的評價．參考答案：【考點】莖葉圖；眾數、中位數、平均數．【分析】（Ⅰ）根據莖葉圖的知識，中位數是指中間的一個或兩個的平均數，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用樣本來估計總體，只要求出樣本的概率就可以了．（Ⅲ）根據（Ⅰ）（Ⅱ）的結果和莖葉圖，合理的評價，恰當的描述即可【解答】解：（Ⅰ）由題意得，根據所給的莖葉圖知，30位市民對甲學校的評分按由低到高排列，排在第15，16兩位的分數是85，85，故樣本中位數是85，故該市的市民對甲學校評分的中位數的估計值是85，30位市民對乙學校的評分由低到高排列，排在第15，16兩位的分數是75，77，故樣本中位數是=76，故該市的市民對乙學校評分的中位數的估計值是76；（Ⅱ）由所給莖葉圖知，30位市民對甲、乙兩學校的評分不低于90分的比率分別是：=?=；（Ⅲ）由所給莖葉圖知，該市的市民對甲學校的評分的中位數高于對乙學校的評分的中位數，而且由莖葉圖可以大致看出市民對甲學校的評分標準差要小于對乙學校的評分的標準差，說明該市的市民對甲學校的評價較高，評價較為一致，對乙學校的評分的評價較低，評價差異較大．【點評】本題主要考查了莖葉圖的知識，以及中位數，用樣本來估計總體的統計知識，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）已知是拋物線上一點，經過點的直線與拋物線交于兩點（不同于點），直線分別交直線于點.（1）求拋物線方程及其焦點坐標；（2）已知為原點，求證：為定值.參考答案：解：（1）將代入，得所以拋物線方程為，焦點坐標為

（2）設，，，因為直線不經過點，所以直線一定有斜率設直線方程為與拋物線方程聯立得到，消去，得：則由韋達定理得：

直線的方程為：，即，令，得

同理可得：

又，所以

所以，即為定值

略21.某地政府為改善居民的住房條件，集中建設一批經適樓房．用了1400萬元購買了一塊空地，規劃建設8幢樓，要求每幢樓的面積和層數等都一致，已知該經適房每幢樓每層建筑面積均為250平方米，第一層建筑費用是每平方米3000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加80元．（1）若該經適樓房每幢樓共層，總開發費用為萬元，求函數的表達式（總開發費用=總建筑費用+購地費用）；（2）要使該批經適房的每平方米的平均開發費用最低，每幢樓應建多少層？參考答案：（1）由已知，每幢經適樓房最下面一層的總建筑費用為：（元）（萬元），從第二層開始，每幢每層的建筑總費用比其下面一層多：（元）（萬元），每幢經適樓房從下到上各層的總建筑費用構成以75為首項，2為公差的等差數列，2分所以函數表達式為：

；（6分）（2）由（1）知經適樓房每平方米平均開發費用為：

（10分）（元）