2022年高考全國甲卷數學（理科）高考真題變式題知識點復數的除法運算,復數代數形式的乘法運算,共軛復數的概念及計算【正確答案】C已知i是虛數單位，是復數z的共軛復數，若，則為（）A. B. C. D.【正確答案】C已知（i為虛數單位），則（）A. B. C. D.【正確答案】D已知i虛數單位，若z=1+，則（）A. B. C. D.【正確答案】C復數，則=A. B. C. D.【正確答案】A已知復數，為的共軛復數，則的值為A. B. C. D.【正確答案】D已知復數，是的共軛復數，則（）A.0 B. C.1 D.2【正確答案】B復數的共軛復數的虛部為A. B. C. D.【正確答案】D已知復數z滿足，則z的共軛復數為（）A. B. C. D.【正確答案】A設i為虛數單位，表示復數z的共軛復數，若，則A. B.2 C. D.1【正確答案】A已知復數，為z的共軛復數，則的虛部為（）A. B. C. D.【正確答案】D知識點眾數、平均數、中位數的比較,計算幾個數據的極差、方差、標準差【正確答案】B農科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況，從種植有甲、乙兩種麥苗的兩塊試驗田中各抽取6株麥苗測量株高．得到的樣本數據如下：甲：9，10，11，12，10，20；乙：8，14，13，10，12，21．根據所抽取的甲、乙兩種麥苗的株高數據．給出下面四個結論，其中正確的結論是（）A.甲種麥苗樣本株高的平均值大于乙種麥苗樣本株高的平均值B.甲種麥苗樣本株高的極差小于乙種麥苗樣本株高的極差C.甲種麥苗樣本株高的眾數為10.5D.甲種麥苗樣本株高的中位數大于乙種麥苗樣本株高的中位數【正確答案】B為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（）A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【正確答案】C已知數據是某市100個普通職工2018年8月份的收入(均不超過0.8萬元)，設這100個數據的中位數為x，平均數為y，方差為z，如果再加上某人2018年8月份的收入x101(約100萬元)，則相對于x，y，z，這101個數據()A.平均數可能不變，中位數可能不變，方差可能不變B.平均數變大，中位數可能不變，方差也不變C.平均數變大，中位數一定變大，方差可能不變D.平均數變大，中位數可能不變，方差變大【正確答案】D“新冠肺炎”疫情的控制需要根據大數據進行分析，并有針對性的采取措施.下圖是甲、乙兩個省份從2月7日到2月13日一周內的新增“新冠肺炎”確診人數的折線圖.根據圖中甲、乙兩省的數字特征進行比對，下列說法錯誤的是（）A.2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”確診人數低于乙省B.2月7日到2月13日甲省的單日新增“新冠肺炎”確診人數最大值小于乙省C.2月7日到2月13日乙省相對甲省的新增“新冠甲省肺炎”確診人數的波動大D.后四日（2月10日至13日）乙省每日新增“新冠肺炎”確診人數均比甲省多【正確答案】C已知數據,,，是上海普通職(，)個人的年收入，設這個數據的中位數為，平均數為，方差為，如果再加上世界首富的年收入，則這個數據中，下列說法正確（）A.年收入平均數大大增大，中位數一定變大，方差可能不變B.年收入平均數大大增大，中位數可能不變，方差變大C.年收入平均數大大增大，中位數可能不變，方差也不變D.年收入平均數大大增大，中位數可能不變，方差可能不變【正確答案】BPM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，一般情況下PM2.5濃度越大，大氣環境質量越差.如圖所示的莖葉圖表示的是某市甲、乙兩個監測站連續10天內每天的PM2.5濃度度數（單位:），則下列說法正確的是（）A.甲、乙監測站讀數的極差相等 B.乙監測站讀數的中位數較大C.乙監測站讀數的眾數與中位數相等 D.甲、乙監測站讀數的平均數相等【正確答案】C氣象意義上的春季進入夏季的標志為連續5天的日平均溫度不低于.現有甲、乙、丙三地連續5天的日平均氣溫的記錄數據（記錄數據都是正整數）：①甲地：5個數據是中位數為24，眾數為22；②乙地：5個數據是中位數為27，總體均值為24；③丙地：5個數據中有一個數據是32，總體均值為26，總體方差為10.8則肯定進入夏季的地區有A.①②③ B.①③ C.②③ D.①【正確答案】B如圖是甲、乙兩人高考前10次數學模擬成績的折線圖，則下列說法錯誤的是（）A.甲的數學成績最后3次逐漸升高B.甲的數學成績在130分以上的次數多于乙的數學成績在130分以上的次數C.甲有5次考試成績比乙高D.甲數學成績的極差小于乙數學成績的極差【正確答案】C2020年是全面實現小康社會目標的一年，也是全面打贏脫貧攻堅戰的一年，某研究性學習小組調查了某脫貧縣的甲?乙兩個家庭，對他們過去6年(2014年到2019年)的家庭收入情況分別進行統計，發現他們的收入逐年增長，得到這兩個家庭的年人均純收入(單位：百元/人)莖葉圖.對甲?乙兩個家庭的年人均純收入(以下分別簡稱“甲”“乙”)情況的判斷，不正確的是（）A.過去的6年，“甲”的極差小于“乙”的極差B.過去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C.過去的6年，“甲”的中位數小于“乙”的中位數D.過去的6年，“甲”的平均增長率小于“乙”的平均增長率【正確答案】B有一組樣本數據，，……，由這組數據的得到的一組數據，，……，滿足（c為非零常數），則（）A.兩組數據的樣本平均數不同； B.兩組數據的中位數相同；C.兩組數據的樣本方差相同； D.兩組數據的樣本標準差不同.【正確答案】C下面定義一個同學數學成績優秀的標志為：“連續次考試成績均不低于分”.現有甲、乙、丙三位同學連續次數學考試成績的記錄數據（記錄數據都是正整數）：①甲同學：個數據的中位數為，眾數為；②乙同學：個數據的中位數為，總體均值為；③丙同學：個數據的中位數為，總體均值為，總體方差為；則可以判定數學成績優秀同學為A.甲、丙 B.乙、丙 C.甲、乙 D.甲、乙、丙【正確答案】A知識點交并補混合運算【正確答案】D已知集合，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D已知集合，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】A已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C已知全集為，集合，集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】A已知全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C設集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B已知集合，則(RA)∩B＝（）A.[0，2) B.[－1，0) C.[－1，0] D.(－∞，－1)【正確答案】C全集，集合，集合，圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B.C. D.【正確答案】C已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B知識點柱體體積的有關計算,根據三視圖求幾何體的體積【正確答案】B某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B.2 C.4 D.【正確答案】C某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A. B. C. D.【正確答案】D某幾何體由圓柱的部分和一個多面體組成，其三視圖（單位：）如圖所示，則該幾何體的體積是（）．A. B. C. D.【正確答案】D若一個正三棱柱的三視圖如下圖所示，則這個正三棱柱的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】D如圖，網絡紙的各小格都是邊長為的正方形，粗線畫出的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A. B. C. D.【正確答案】C某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A. B. C. D.2【正確答案】B一個直棱柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖，則幾何體的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】D某幾何體的三圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】C某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B. C.1 D.【正確答案】D知識點函數圖像的識別,識別正（余）弦型三角函數的圖象【正確答案】A函數在區間的圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】D函數的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.【正確答案】B函數滿足當時，，則的大致圖象是（）A. B.C. D.【正確答案】B函數的圖像大致為（）A. B.C. D.【正確答案】A聲音是由物體振動產生的．我們平時聽到的聲音幾乎都是復合音．復合音的產生是由于發音體不僅全段在振動，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同時在振動．不同的振動的混合作用決定了聲音的音色，人們以此分辨不同的聲音．已知刻畫某聲音的函數為，則其部分圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】C函數的大致圖象為（）A. B.C. D.【正確答案】A函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】D函數的圖像可能是（）A. B.C. D.【正確答案】D已知函數，則的圖象大致是（）A. B.C. D.【正確答案】D函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】D知識點已知函數最值求參數,求某點處的導數值【正確答案】B已知函數，且，函數在上的最大值為20，則c的值為（）A.1 B.4 C. D.0【正確答案】B已知函數（為常數），在區間上有最大值，那么此函數在區間上的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B已知函數在上的最大值為，則a的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A若函數的最小值為，則（）A. B. C. D.【正確答案】D已知函數在上有最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A已知函數在處取得最大值，則下列判斷正確的是（）①，②，③，④A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【正確答案】B設函數在R上存在最小值，則函數的零點個數為（）A.2 B.1 C.0 D.無法確定【正確答案】A已知函數，，若函數在上的最小值為，則實數的值是（）A. B. C. D.【正確答案】B已知，若的最小值為，則A. B. C. D.【正確答案】A已知函數，若時，在處取得最大值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A知識點求線面角,由線面角的大小求長度【正確答案】D在長方體中，和與底面所成的角分別為30°和45°，異面直線和所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】B如圖，在正四棱柱中，底面的邊長為，與底面所成角的大小為，且，則該正四棱柱的外接球表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D已知長方體中，，，與平面所成角的正弦值為，則該長方體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B在長方體中，，

與平面所成的角為，則該長方體的體積為（）A.8 B. C. D.【正確答案】C三棱柱中，側面與底面垂直，底面是邊長為的等邊三角形，若直線與平面所成角為，則棱柱的高為（）A. B.2 C. D.1【正確答案】C已知正方體的棱長為3，E，F分別為棱上的動點.若直線與平面所成角為，則下列說法不正確的是（）A.任意點E，F，二面角的大小為B.任意點E，F，點C到面的距離為C.存在點E，F，使得直線與所成角為D.存在點E，F，使得線段長度為【正確答案】C矩形中，，是線段上的點，將沿折起，得到，使得平面平面，則當，與平面所成角相等時，的長度等于（）A. B.C. D.【正確答案】A等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現將沿BD折起，則當直線AD與平面BCD所成角為時，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A在正方體中，點在線段上，若直線與平面內的動直線所成角的最小值為，則A. B. C. D.【正確答案】C知識點弧長的有關計算【正確答案】B“數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號.當折扇所在扇形的圓心角為時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的弦長與弧長之比為（）A. B. C. D.【正確答案】C蘋果手機上的商標圖案（如圖所示）是在一個蘋果圖案中，以曲線段為分界線，裁去一部分圖形制作而成的．如果該分界線是一段半徑為的圓弧，且兩點間的距離為，那么分界線的長度應為（）A. B. C. D.【正確答案】C達·芬奇的經典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名，畫中女子神秘的微笑，數百年來讓無數觀賞者入迷，現將畫中女子的嘴唇近似的看作一個圓弧，設嘴角、間的圓弧長為，嘴角間的距離為，圓弧所對的圓心角為（為弧度角），則、和所滿足的恒等關系為（）A. B. C. D.【正確答案】B已知在扇形AOB中，，弦AB的長為2，則該扇形的周長為A. B. C. D.【正確答案】B濟南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國務院列為全國重點文物保護單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型，其結構是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖2，和所在圓的圓心都在線段AB上，若，，則的長度為（）A. B. C. D.【正確答案】A《九章算術》是我國古代數學名著，其中有這樣一個問題:“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”意思說：現有扇形田，弧長三十步，直徑十六步，問面積多少？書中給出計算方法：以徑乘周，四而一，即扇形的面積等于直徑乘以弧長再除以.在此問題中，扇形的圓心角的弧度數是A. B. C. D.【正確答案】C實踐課上小華制作了一副弓箭，如圖所示的是弓形，弓臂是圓弧形，A是弧的中點，是弦的中點，測得，（單位：），設弧所對的圓心角為（單位：弧度），則弧的長為（）A. B. C. D.【正確答案】C《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕像，它取材于現實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現力的瞬間．現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的每只手臂長約，肩寬約為，“弓”所在圓的半徑約為，則如圖擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）A. B. C. D.【正確答案】B月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，南北距離的長大約m，則該月牙泉的面積約為（）（參考數據：）A.572m2 B.1448m2 C.m2 D.2028m2【正確答案】D如圖是一個近似扇形的魚塘，其中OA=OB=r，長為l（l<r）．為方便投放飼料，欲在如圖位置修建簡易廊橋CD，其中，．已知x∈時，，則廊橋CD的長度大約為（）A. B.C. D.【正確答案】B知識點圓錐表面積的有關計算,錐體體積的有關計算【正確答案】C《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的體積為，則該圓錐的側面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C若圓錐的表面積為，圓錐的高與母線長之比，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】A如圖，圓錐的軸為PO，其底面直徑和高均為2，過PO的中點作平行底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，此圓柱的下底面在圓錐的底面上，則圓錐與所得圓柱的體積之比為（）A. B. C. D.【正確答案】D若圓錐的高的平方等于其底面圓的半徑與母線長的乘積，則稱此圓錐為“黃金圓錐”．現有一個側面積為的黃金圓錐，則該黃金圓錐的體積是（）A. B.C. D.【正確答案】D如圖所示是一個裝有紅酒的圓錐形酒杯（杯體為一個圓錐），已知該酒杯的杯子杯口直徑為（忽略杯子的厚度），側面積（不含杯座和杯莖）為，紅酒的高度比杯子的高度低，則紅酒的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B如圖（1），一個圓錐形容器的高為a，內裝有一定量的水，若將容器倒置，這時水所形成的圓錐的高恰為（如圖（2）），則圖（1）中的水面高度為A. B. C. D.【正確答案】A已知圓錐的頂點為點，高是底面半徑的倍，點，是底面圓周上的兩點，當是等邊三角形時面積為，則圓錐的側面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D已知中，，，是斜邊上的高，與繞旋轉一周得到的幾何體的表面積分別為和，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A若圓錐，的頂點和底面圓周都在半徑為的同一個球的球面上，兩個圓錐的母線長分別為，，則這兩個圓錐公共部分的體積為A. B. C. D.【正確答案】A在直角△ABC中，，，，且，分別以BC，AC，AB所在直線為軸，將△ABC旋轉一周，形成三個幾何體，其表面積和體積分別記為，，和，，，則它們的關系為（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】B在邊長為2的菱形中，，垂足為點E，以所在的直線為軸，其余四邊旋轉半周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C知識點已知兩點求斜率,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【正確答案】A已知橢圓的上頂點，左右焦點分別為，連接，并延長交橢圓于另一點P，若，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C橢圓的兩焦點為，若橢圓上存在點使為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）A. B. C.或 D.或【正確答案】C已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與相交于兩點（在第一象限）.若四點共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B已知橢圓的左?右焦點分別為，，點是橢圓上一點，點是線段上一點，且，，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓C相交P，Q兩點，若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B已知點分別為橢圓的左、右焦點，點P為直線上一個動點．若的最大值為，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D已知橢圓的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【正確答案】A國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖1所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結構與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點分別向內層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A. B. C. D.【正確答案】C以橢圓的右焦點F為圓心?c為半徑作圓，O為坐標原點，若圓F與橢圓C交于A，B兩點，點D是OF的中點，且，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C已知橢圓：的左、右焦點分別是，，是橢圓上的動點，和分別是的內心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【正確答案】A知識點正弦函數圖象的應用,由正弦（型）函數的值域（最值）求參數,利用正弦函數的對稱性求參數【正確答案】C若函數在（0，）上恰有2個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B已知函數在區間內有且僅有一個極大值，且方程在區間內有4個不同的實數根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C已知函數，若的圖象在區間上有且只有1個最低點，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D已知函數，若對，在上至少存在兩個不等的實數，使得，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】C若函數在上有且僅有6個極值點，則正整數的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】B若函數有個零點，則正實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B已知函數在區間上有且僅有4個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B設表示兩者中較大的一個，已知定義在上的函數，滿足關于的方程有6個不同的解，則的取值范圍為A. B. C. D.【正確答案】A設函數的最小正周期為，且在內恰有3個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D已知函數在上恰有3個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C知識點用導數判斷或證明已知函數的單調性,比較函數值的大小關系【正確答案】A已知，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】B下列三個數：，，，大小順序正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】A設，，，則的大小順序為（）A. B. C. D.【正確答案】B設，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B. C. D.【正確答案】C已知，，，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D設，，，且，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【正確答案】B已知，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D已知a，b，，且，，，其中e是自然對數的底數，則（）A. B.C. D.【正確答案】D設，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A已知，則的大小關系為（）A. B. C. D.【正確答案】A知識點用定義求向量的數量積,數量積的運算律【正確答案】11已知向量，其中，為單位向量，向量，的夾角為120°，則___________.【正確答案】若，與?的夾角都是60°，且，，則___________.【正確答案】22已知向量與的夾角是，且，則________．【正確答案】2設為單位向量，且的夾角為，則的值為_________.【正確答案】或0.5已知，，，則________．【正確答案】已知向量，滿足，，若，則___________.【正確答案】已知向量與的夾角為，且，，則________．【正確答案】1已知為單位向量，且滿足，與的夾角為，則實數_______________.【正確答案】或已知、是兩個單位向量，它們的夾角是，設，則向量與的夾角大小是__________．【正確答案】已知向量和的夾角為150°，且，，則在上的投影為___________.【正確答案】或或或知識點由圓的位置關系確定參數或范圍,已知方程求雙曲線的漸近線【正確答案】若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則該雙曲線的實軸長為______.【正確答案】2若雙曲線的漸近線與圓相切，則___________.【正確答案】在平面直角坐標系中，雙曲線：的一條漸近線與圓相切，則______．【正確答案】或（理）已知雙曲線的漸近線與圓沒有公共點，則該雙曲線的焦距的取值范圍為_____.【正確答案】已知圓關于雙曲線：的一條漸近線對稱，則_________.【正確答案】已知雙曲線C：，圓M：與C的一條漸近線相切于點P（P位于第二象限）．若PM所在直線與雙曲線的另一條漸近線交于點S，與x軸交于點T，則ST長度為________．【正確答案】已知雙曲線：的斜率為正的漸近線為，若曲線：＋＝4上恰有不同3點到的距離為1，則雙曲線的離心率是______．【正確答案】或已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在的漸近線上，且，，則______.【正確答案】已知，分別是雙曲線C：（，）的左、右焦點，過的直線l與圓相切，且與雙曲線的兩漸近線分別交于點A，B，若，則該雙曲線C的離心率為______.【正確答案】設直線與雙曲線兩條漸近線分別交于點，，若點滿足，則該雙曲線的漸近線方程是_______．【正確答案】知識點幾何組合計數問題,計算古典概型問題的概率【正確答案】阿基米德多面體（Archimedeanpolyhedra）是由兩種或三種正多邊形面組成的半正多面體.它共有13種，其特點是棱長相等.如圖1，順次連接棱長為2的正方體各棱的中點，得到一個阿基米德多面體，如圖2，在此阿基米德多面體的所有棱中任取兩條，則兩條棱垂直的概率為___________.【正確答案】在正六棱柱的所有棱中任取兩條，則它們所在的直線是互相垂直的異面直線的概率為______（結果用數字表示）．【正確答案】若從正六邊形的6個頂點中隨機選出3個點，以選出的這3個點為頂點構成直角三角形的概率為__________．【正確答案】或0.6如圖，在平面直角坐標系中，O為正八邊形的中心，.任取不同的兩點，點P滿足，則點P落在第一象限的概率是_____________.【正確答案】我國古代認為構成宇宙萬物的基本要素是金、木、水、火、土這五種物質，稱為“五行”.古人構建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理論，隨機任取“兩行”，則取出的“兩行”相生的概率是_______【正確答案】或0.5從下圖12個點中任取三個點則所取的三個點能構成三角形的概率為________．【正確答案】住在同一個小區的三位同學在暑假里報名參加小區的志愿者服務，該小區共有四個志愿者服務點，若隨機分配，則兩位同學剛好分到同一個志愿者服務點的概率是_______【正確答案】或0.5625如圖，在的點陣中，依次隨機地選出、、三個點，則選出的三點滿足的概率是______．【正確答案】一個正方體，它的表面涂滿了紅色，把它切割成個完全相等的小正方體，從中任取個，其中個恰有一面涂有紅色，另個恰有兩面涂有紅色的概率為【正確答案】在平面直角坐標系中，點集．從K中隨機取出五個點，則其中有四點共線或四點共圓的概率為____________．【正確答案】知識點余弦定理解三角形,基本（均值）不等式的應用【正確答案】在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為__________.【正確答案】已知的面積為，則邊長的最小值為__________.【正確答案】已知的內角的對邊分別為，若且，則面積的最大值為__________.【正確答案】2022年3月，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發了《關于構建更高水平的全民健身公共服務體系的意見》，再次強調持續推進體育公園建設．如圖，某市擬建造一個扇形體育公園，其中，千米．現需要在，OB，上分別取一點D，E，F，建造三條健走長廊DE，DF，EF，若，，則的最大值為______千米．【正確答案】#在中，內角、、的對邊分別為、、，，，且，則的最大值為___________.【正確答案】如圖所示，在平面四邊形中，已知，則的最大值為_______．【正確答案】56在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的最大值為______．【正確答案】設的內角所對的邊成等比數列，則的取值范圍為__________．【正確答案】在中，角，，所對的邊分別為，，，是的中點，若，且，則當取最大值時的周長為_________．【正確答案】,設的內角滿足，且，則邊上的高長的最大值是________.【正確答案】知識點由遞推關系證明數列是等差數列,求等差數列前n項和的最值,等比中項的應用,利用an與sn關系求通項或項【正確答案】（1）證明見解析（2）-78已知數列的各項為正數，其前項和滿足，設．（1）求證：數列是等差數列，并求的通項公式；（2）設數列的前項和為，求的最大值．【正確答案】（1）證明見解析，；（2）.已知數列的前項和公式為1、求的通項公式；2、求的前項和的最小值．【正確答案】1、；2、當或時，的值最小，值為.已知數列的前項和為.（1）求證：數列是等差數列；（2）求的最大值及取得最大值時的值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）前16項或前17項和最大，最大值為.已知正項數列的首項為1，其前項和為，滿足.1、求證：數列為等差數列，并求數列的通項公式；2、若，是的前項和，已知對于都成立，求的取值范圍.【正確答案】1、證明見解析，2、或已知數列的前n項和.1、求的通項公式．2、的前多少項和最大？3、設，求數列的前n項和.【正確答案】1、2、前16項或前17項的和最大3、已知數列滿足，設.1、證明：數列為等差數列，并求的通項公式；2、求數列的前項和的最小值.【正確答案】1、證明見解析，2、已知數列的前項和為，點在直線上．1、求數列的前項和，以及數列通項公式；2、若數列滿足：，設數列的前項和為，求的最小值．【正確答案】1、，，2、-15已知等差數列的前n項和為.（1）若數列為等差數列，且，求；（2）若，求公差d的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）或.已知數列的前項和為，，______.指出、、…中哪一項最大，并說明理由.從①，，②是和的等比中項這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.【正確答案】①②均能得到最大.已知正項數列的前n項和為，，當且時，.（1）求數列的通項公式；（2）請判斷是否存在三個互不相等的正整數p，q，r成等差數列，使得，，也成等差數列.【正確答案】（1）；（2）不存在.知識點證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,線面角的向量求法【正確答案】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點是的中點.1、求證：；2、求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】1、證明見解析2、如圖，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，將繞邊PO旋轉到的位置，使，得到圓錐的一部分，點C為的中點．1、求證：；2、設直線PC與平面PAB所成的角為，求．【正確答案】1、證明見解析2、如圖，在三棱柱中，平面，，．1、求證：平面；2、記和的交點為M，點N在線段上，滿足平面，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】1、證明見解析2、如圖，在三棱柱中，，F是的中點．1、證明：；2、求與平面所成角的正弦值．【正確答案】1、證明見解析2、在直角梯形中，，，，，M為線段中點，將沿折起，使平面平面，得到幾何體.1、求證：平面；2、求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】1、證明見解析2、如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD為折痕把△ABD折起，使點A到達點P的位置，且PC⊥BC．1、證明：PD⊥平面BCD；2、若M為PB的中點，二面角P﹣BC﹣D等于60°，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值．【正確答案】1、證明見解析2、在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，E為的中點，點P在平面內的投影F恰好在直線上．1、證明：．2、求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】1、證明見解析2、如圖，在中，，，為的中點，，.現將沿翻折至，得四棱錐.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正切值【正確答案】（1）證明見解析；（2）7如圖，在七面體中，四邊形是菱形，其中，，，是等邊三角形，且.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，點在上．（1）求證：；（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析；（2）知識點寫出簡單離散型隨機變量分布列,求離散型隨機變量的均值,獨立事件的乘法公式【正確答案】為弘揚奧運精神，某校開展了“冬奧”相關知識趣味競賽活動.現有甲?乙兩名同學進行比賽，共有兩道題目，一次回答一道題目.規則如下：①拋一次質地均勻的硬幣，若正面向上，則由甲回答一個問題，若反面向上，則由乙回答一個問題.②回答正確者得10分，另一人得0分；回答錯誤者得0分，另一人得5分.③若兩道題目全部回答完，則比賽結束，計算兩人的最終得分.已知甲答對每道題目的概率為，乙答對每道題目的概率為，且兩人每道題目是否回答正確相互獨立.1、求乙同學最終得10分的概率；2、記X為甲同學的最終得分，求X的分布列和數學期望.【正確答案】1、2、分布列見解析，X的數學期望為冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一．冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線的左側）有一個發球區，運動員在發球區邊沿的投擲線將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區圓心的遠近決定勝負，甲、乙兩人進行投擲冰壺比賽，規定冰壺的重心落在圓中，得3分，冰壺的重心落在圓環中，得2分，冰壺的重心落在圓環中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．1、求甲所得分數大于乙所得分數的概率；2、設甲、乙兩人所得的分數之差的絕對值為，求的分布列和期望．【正確答案】1、2、分布列見解析，期望為：某紫砂壺加工工坊在加工一批紫砂壺時，在出窯過程中有的會因為氣溫驟冷、泥料膨脹率不均等原因導致紫砂壺出現一定的瑕疵而形成次品，有的直接損毀．通常情況下，一把紫砂壺的成品率為，損毀率為．對于燒窯過程中出現的次品，會通過再次整形調整后入窯復燒，二次出窯，其在二次出窯時不出現次品，成品率為．已知一把紫砂壺加工的泥料成本為500元/把，每把壺的平均燒窯成本為50元/次，復燒前的整形工費為100元/次，成品即可對外銷售，售價均為1500元．1、求一把紫砂壺能夠對外銷售的概率；2、某客戶在一批紫砂壺入窯前隨機對一把紫砂壺坯料進行了標記，求被標記的紫砂壺的最終獲利X的數學期望．【正確答案】1、2、.2021年12月，新冠疫情的嚴重反彈，擾亂了西安市民乃至陜西全省人民正常的生活秩序，各行各業的正常生產、運營受到嚴重影響，相關部門，為了盡快杜絕疫情的擴散，果斷實施了小區封控、西安市區封城、市民足不出戶等有效措施.2022年1月下旬小區相繼解封.某銷售商場為盡快彌補疫情帶來的損失，推行高檔電器“大屏幕電視機、冰箱和洗衣機”三種商品的搶購優惠促銷活動.活動規則是：人人都可以參加三種商品的搶購，但每種商品只能搶購一次一件；優惠標準是：搶購成功者，大屏幕電視機優惠800元；冰箱優惠500元；洗衣機優惠300元，張某參加了這次搶購且三種商品都搶購，假設搶購成功與否相互獨立，搶購三種商品成功的概率順次為、、，已知這三種商品都能搶購成功的概率為，至少一種商品能搶購成功的概率為.1、①求、的值；②求張某恰好搶購成功兩種商品的概率.2、求張某搶購成功獲得的優惠總金額的分布列和數學期望.【正確答案】1、①；②2、分布列見解析，數學期望為元2022年4月16日上午9：57神舟十三號航天員翟志剛、王亞平、葉光富順利返回地面．半年內，航天員們順利完成了兩次出艙任務，兩次“天空課堂”講課，還組織了天宮畫展、春節跨年以及迎元宵活動，為全國觀眾留下了深刻印象，也掀起了一股航天熱．邢臺市某中學航天愛好者協會為了解學生對航天知識的掌握程度，對該校高一、高二年級全體學生進行了相關知識測試，然后從高一、高二各隨機抽取了20名學生成績（百分制），并對數據（成績）進行了整理、描述和分析．下面給出了整理的相關信息：等級EDCBA成績高一人數123410高二頻率0.10.150.20.30.251、從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于90分的概率是多少？2、分別從高一全體學生中抽取一人，從高二全體學生中抽取2人，這三人中成績不低于90分的人數記為X，用頻率估計概率，求X的分布列和期望．【正確答案】1、；2、分布列見解析；期望為1.高二年級某班學生在數學校本課程選課過程中，已知第一小組與第二小組各有六位同學.每位同學都只選了一個科目，第一小組選《數學運算》的有1人，選《數學解題思想與方法》的有5人，第二小組選《數學運算》的有2人，選《數學解題思想與方法》的有4人，現從第一、第二兩小組各任選2人分析選課情況.1、求選出的4人均選《數學解題思想與方法》的概率；2、設為選出的4個人中選《數學運算》的人數，求的分布列和數學期望．【正確答案】1、2、分布列見解析，期望為甲、乙兩名同學參加某個比賽，比賽開始前箱子中裝有3個紅球3個白球，箱子中裝有1個紅球2個白球．比賽規則是：先由甲同學從箱子中每次取一個球放入箱子中，若從箱子中放入箱子中的球是紅球則停止取球，若是白球則繼續取球放球過程，直到第一次取到紅球并放入箱子中為止．然后再由乙同學從箱子中任取一個球，若取出的是紅球則乙同學獲勝，否則甲同學獲勝．1、用表示甲同學從箱子中取出放入箱子中球的個數，求的分布列及數學期望；2、求甲同學獲勝的概率．【正確答案】1、分布列見解析，數學期望為2、為進一步激發青少年學習中華優秀傳統文化的熱情，某校舉辦了“我愛古詩詞”對抗賽，在每輪對抗賽中，高二年級勝高三年級的概率為，高一年級勝高三年級的概率為，且每輪對抗賽的成績互不影響．1、若高二年級與高三年級進行4輪對抗賽，求高三年級在對抗賽中至少有3輪勝出的概率；2、若高一年級與高三年級進行對抗，高一年級勝2輪就停止，否則開始新一輪對抗，但對抗不超過5輪，求對抗賽輪數X的分布列與數學期望．【正確答案】1、2、分布列見解析；期望為1971年“乒乓外交”翻開了中美關系的新篇章，2021年休斯頓世乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內涵和外延得到了進一步的豐富和創新，幾十年來，乒乓球運動也成為國內民眾喜愛的運動之一，今有小王?小張?小馬三人進行乒乓球比賽，規則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，依次規則循環進行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場比賽，小馬做裁判.根據以往經驗比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.1、比賽完3局時，求三人各勝1局的概率；2、比賽完4局時，設小馬做裁判的次數為X，求X的分布列和期望.【正確答案】1、2、分布列答案見解析，數學期望：猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．規則如下：參賽選手按第一關，第二關，第三關的順序依次猜歌名闖關，若闖關成功依次分別獲得猜公益基金元，元，元，當選手闖過一關后，可以選擇游戲結束，帶走相應公益基金；也可以繼續闖下一關，若有任何一關闖關失敗，則游戲結束，全部公益基金清零．假設某嘉賓第一關，第二關，第三關闖關成功的概率分別是，，，該嘉賓選擇繼續闖關的概率均為，且各關之間闖關成功與否互不影響．（1）求該嘉賓第一關闖關成功且獲得公益基金為零的概率；（2）求該嘉賓獲得的公益基金總金額的分布列及均值．【正確答案】(1)；(2)分布列見解析，均值為1125元.知識點拋物線的焦半徑公式,根據拋物線上的點求標準方程,拋物線中的參數范圍問題,拋物線中的定值問題【正確答案】已知拋物線的焦點為、為拋物線上兩個不同的動點，當過且與軸平行時的面積為2．（1）求拋物線的方程；（2）分別過作垂直于軸，若，求與軸的交點的橫軸標的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）且.已知圓，一動圓與直線相切且與圓外切．（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）過作直線，交（1）中軌跡于兩點，若中點的縱坐標為，求直線的方程．【正確答案】（1）；（2）.已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準線上的動點．1、求p的值和拋物線的焦點坐標；2、設直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．【正確答案】1、；2、已知圓的圓心為，點是圓上的動點，點是拋物線的焦點，點在線段上，且滿足.1、求點的軌跡的方程；2、不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點，若線段的中點在拋物線上，求直線的斜率的取值范圍.【正確答案】1、2、或已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上．1、若，求拋物線的標準方程；2、若直線與拋物線交于，兩點，點的坐標為，且滿足，原點到直線的距離不小于，求的取值范圍．【正確答案】1、或；2、.已知拋物線的焦點到準線的距離為1.1、求C的方程；2、已知點在C上，且線段AB的中垂線l的斜率為，求l在y軸上的截距的取值范圍.【正確答案】1、；2、.如圖，拋物線的焦點為F，點A為拋物線上的一動點，直線AF交拋物線于另一點B，當直線的斜率為1時，線段的中點的橫坐標為2．（1）求拋物線的標準方程；（2）若過B與軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，求N的縱坐標的取值范圍．【正確答案】（1）；（2），，．如圖，已知過點，圓心C在拋物線上運動，若MN為在x軸上截得的弦，設，，當C運動時，是否變化？證明你的結論．求的最大值，并求出取最大值時值及此時方程．【正確答案】（1）不變（2）最大值為，圓C方程為設點是拋物線上異于原點O的一點，過點P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（P、A、B三點互不相同）．1、已知點，求的最小值；2、若，直線AB的斜率是，求的值；3、若，當時，B點的縱坐標的取值范圍．【正確答案】1、；2、3；3、；如圖，已知點是焦點為的拋物線上一點，，是拋物線上異于的兩點，且直線，的傾斜角互補，若直線的斜率為．（Ⅰ）證明：直線的斜率為定值；（Ⅱ）求焦點到直線的距離（用表示）；（Ⅲ）在中，記，，求的最大值．【正確答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.知識點利用導數證明不等式,利用導數研究不等式恒成立問題,利用導數研究函數的零點【正確答案】已知函數，其中．1、討論的單調性；2、若，，求的最大值．【正確答案】1、當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．2、已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析；（2）.設函數．1、求的單調區間；2、若對任意的，都有成立，求實數a的取值范圍．【正確答案】1、單調遞減區間為，單調遞增區間為2、已知函數．1、求的零點個數；2、若函數有兩個不同的極值點，．證明：．【正確答案】1、答案見解析2、證明見解析已知，設函數．1、當時，若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；2、若對任意實數，函數均有零點，求實數的最大值；3、若函數有兩個零點，證明：．【正確答案】1、2、3、證明見解析已知函數．（1）當時，若在，處的導數相等，證明：；（2）若有兩個不同的零點，，證明：．【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析已知函數的圖象在處的切線斜率為.1、求函數的極大值；2、若，是函數圖象上不同的兩點，求實數a的取值范圍，并證明：.【正確答案】1、2、證明見解析設函數為的導函數.1、求的單調區間；2、討論零點的個數；3、若有兩個極值點且，證明：.【正確答案】1、單調遞增區間為，單調遞減區間為．2、答案見解析3、證明見解析已知函數有兩個零點．1、求的取值范圍；2、已知圖象與圖象關于對稱，證明：當時，．3、設，是兩個零點，證明：．【正確答案】1、.2、證明見解析.3、證明見解析.已知函數．1、若恒成立，求a；2、若的兩個零點分別為，證明：．【正確答案】1、2、證明見解析知識點求直線與拋物線的交點坐標,普通方程與極坐標方程的互化,參數方程化為普通方程【正確答案】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線E的極坐標方程為．1、求曲線C的普通方程和直線E的直角坐標方程；2、求曲線C與直線E交點的極坐標．【正確答案】1、曲線C的普通方程為，直線E的直角坐標方程為；2、，在直角坐標系中，曲線的參數方程為(為參數).以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.1、求曲線的直角坐標方程；2、求與公共點的直角坐標.【正確答案】1、：，：；2、.曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．1、把的參數方程化為極坐標方程；2、求曲線與交點的極坐標．【正確答案】1、；2、.在平面直角坐標系中，曲線：，曲線：（為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.1、求曲線，的極坐標方程；2、若射線與曲線，的公共點分別為A，B，求的最大值.【正確答案】1、，；2、.在直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．1、求的普通方程和圓的直角坐標方程．2、設與的交點為M，N，證明：是等腰直角三角形．【正確答案】1、；2、證明見解析在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為（t為參數），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．1、求直線l的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程；2、若點M，N分別在直線l和曲線C上，且直線的斜率為，求線段長度的取值范圍．【正確答案】1、；2、在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（為參數），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．1、求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；2、設點M的極坐標為，直線l與曲線C交于A，B兩點，求．【正確答案】1、；2、在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為(γ為參數)，曲線的參數方程為(s為參數)．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為，直線l：()與交于點B，其中．（1）求曲線的極坐標方程以及曲線的普通方程；（2）過點A的直線m與交于M，N兩點，若，且，求α的值．【正確答案】（1）；()（2）.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(為參數)，以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，且在兩坐標系下取相同的長度單位，建立極坐標系.點P的極坐標為，直線l經過點P，且與極軸所成角為.（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的以P為定點的標準參數方程；（2）設點M為曲線C上的動點，求點M到直線l的距離d的最大值.【正確答案】（1），(為參數)；（2）.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數）．（1）若直線平行于直線，且與曲線只有一個公共點，求直線的方程；（2）若直線與曲線交于兩點，，求的面積．【正確答案】（1）；（2）.知識點柯西不等式證明,利用基本不等式證明不等式【正確答案】（1）見解析

（2）見解析已知（1）求的最小值；（2）若，，求證：【正確答案】（1）（2）證明見解析設a，b，c均為正數，且．1、求的最小值；2、證明：．【正確答案】1、2、證明見解析已知，，.（1）若，求的最大值；（2）若，求的最小值.【正確答案】（1）；（2）.已知正數a，b，c，d滿足，證明：1、；2、.【正確答案】1、證明見解析2、證明見解析（Ⅰ）若，且滿足，證明：；（Ⅱ）若，且滿足，證明：.【正確答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.（1）已知、、是正數，且滿足，求證；（2）已知、是正數，且滿足，求證：．【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.設、、為正實數，且.1、證明：；2、證明：．【正確答案】1、證明見解析2、證明見解析已知a，b，c為正實數，且a+b+c=1.（1）證明：；（2）證明：.【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.已知，，.（1）若，求證：；（2）若，求證：.【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析已知，，均為正實數，且．證明：1、；2、．【正確答案】1、證明見解析2、證明見解析

2022年高考全國甲卷數學（理科）高考真題變式題答案解析【正確答案】C【試題解析】分析:利用復數的除法運算求出z，再利用共軛復數及乘法計算作答.詳解:因，則，，所以.故選：C【正確答案】D【試題解析】分析:利用復數的乘除運算求復數，再由共軛復數的概念寫出.詳解:由題設，則，所以，故.故選：D【正確答案】C【試題解析】分析:根據復數代數形式的乘除運算法則計算可得；詳解:解：因為，所以；故選：C【正確答案】A【試題解析】分析:利用復數的運算法則，求得z，之后利用共軛復數的定義求得詳解:根據題中所給的條件，可知，所以故選：A.【正確答案】D【試題解析】詳解:試題分析：,故選D.考點：1.復數的運算；2.復數相關概念.【正確答案】B【試題解析】分析:利用復數的除法可求，進而可求.詳解:∵，所以.故選：B．【正確答案】D【試題解析】詳解:的共軛復數為，所以虛部為，選D.【正確答案】A【試題解析】分析:化簡得到，再計算共軛復數得到答案.詳解:，故，故.故選：.點睛:本題考查了復數的化簡，共軛復數，意在考查學生的計算能力.【正確答案】A【試題解析】分析:先求得，然后利用復數減法、除法、乘法的運算，化簡所求表達式.詳解:依題意，故，故選A.點睛:本小題主要考查共軛復數的概念，考查復數乘法、除法、減法運算，屬于基礎題.【正確答案】D【試題解析】分析:先對化簡，再可求出，然后計算，從而可求出其虛部詳解:因為，所以，所以，故其虛部為．故選：D【正確答案】B【試題解析】分析:對A，由平均數求法直接判斷即可；由極差概念可判斷B，結合眾數概念可求C；將甲乙兩組數據排序，可判斷D.詳解:甲組數據的平均數為，乙組數據的平均數為，故A錯誤；甲種麥苗樣本株高的極差為11，乙種麥苗樣本株高的極差為13，故B正確；甲種麥苗樣本株高的眾數為10，故C錯誤；甲種麥苗樣本株高的中位數為，乙種麥苗樣本株高的中位數為，故D錯誤.故選：B【正確答案】C【試題解析】分析:根據直方圖的意義直接計算相應范圍內的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應的頻率，然后求和即得到樣本的平均數的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.詳解:因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶的比率估計值為,故A正確；該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計值為,故B正確；該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結論中不正確的是C.故選：C.點睛:本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計值，樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計值.注意各組的頻率等于.【正確答案】D【試題解析】分析:根據平均數、中位數以及方差的含義分析數據變化趨勢即可判斷.詳解:不妨設該組數據從小到大依次為，即，則，，，設加上2018年8月份的收入x101(約100萬元)后的中位數為，所以，而，所以，當時，中位數不變；設加上2018年8月份的收入x101(約100萬元)后的平均數為，則，所以，所以平均數變大；設加上2018年8月份的收入x101(約100萬元)后的方差為，則，數據的集中程度受到比較大的影響，變得更加離散，所以方差變大．故選：D.【正確答案】C【試題解析】分析:根據圖象計算平均數,讀數進行比較即可得到結果.詳解:根據圖象所給數據可得2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”確診人數為20，單日新增最大值為28；2月7日到2月13日乙省的平均新增“新冠肺炎”確診人數約為22，單日新增最大值為29，故可得A、B正確；從圖中可觀察出甲省人數在之間變化，乙省人數在之間變化，很明顯甲省的波動大，故C錯誤；由圖可知，后四日乙人數均比甲人數多，故D正確.故選：C．點睛:本題主要考查了統計的相關知識，考查用樣本的數字特征估計總體，屬于基礎題．【正確答案】B【試題解析】分析:根據題意，結合平均數，中位數，方差的定義，即可判斷出結果.詳解:因為數據,,，是上海普通職(，)個人的年收入，而是世界首富的年收入，則會遠大于,,，，故這個數據的平均值大大增加，但中位數可能不變，有可能稍微變大，但由于數據的集中程度也受到比較大的影響，數據更加離散，則方差變大.故選B點睛:本題主要考查平均數、中位數、以及方差，熟記概念及其意義即可，屬于?？碱}型.【正確答案】C【試題解析】分析:根據莖葉圖計算極差，中位數，眾數，平均數，即可得結果.詳解:甲的極差是98－43＝55，乙的極差是94－37＝57，兩者不相等，A錯誤；甲的中位數是＝74，乙的中位數是68，甲的中位數較大，B錯誤；乙的眾數為68，與中位數相同，C正確；甲的平均數是(43＋63＋65＋72＋73＋75＋78＋81＋86＋98)×＝73.4乙的平均數是(37＋58＋61＋65＋68＋68＋71＋77＋82＋94)×＝68.1，可知D錯誤.故選：C點睛:本題考查莖葉圖，樣本的數字特征，屬于基礎題.【正確答案】B【試題解析】詳解:試題分析：由統計知識①甲地：個數據的中位數為，眾數為可知①符合題意；而②乙地：個數據的中位數為，總體均值為中有可能某一天的氣溫低于，故不符合題意，③丙地：個數據中有一個數據是，總體均值為，總體方差為．若由有某一天的氣溫低于則總體方差就大于，故滿足題意，選C考點：統計初步【正確答案】C【試題解析】分析:根據折線圖看甲最后三次的成績變化可判斷A;看甲的數學成績在130分以上的次數以及乙的數學成績在130分以上的次數，判斷B;看甲成績比乙高的次數可判斷C;觀察甲乙兩人的最高成績和最低成績即可判斷D.詳解:對于A，由折線圖可知最后三次數學成績逐漸升高，故A說法正確；對于B，甲的數學成績在130分以上的次數為6次，乙的數學成績在130分以上的次數為5次，故B說法正確；對于C,甲有7次考試成績比乙高,故C的說法錯誤；對于D，由折線圖可知，甲乙兩人的數學成績的最高成績相同，甲的最低成績為120分，乙的最低成績為110分，因此甲數學成績的極差小于乙數學成績的極差，D說法正確，故選：C【正確答案】B【試題解析】分析:對莖葉圖進行數據分析，分別計算極差、平均數、中位數、及平均增長率，依次判斷四個選項.詳解:對于A，甲的極差為，乙的極差為，所以“甲”的極差小于“乙”的極差，A正確；對于B，甲的平均數是，乙的平均數為，所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B錯誤；對于C，甲的中位數是，乙的中位數是，所以，“甲”的中位數小于“乙”的中位數，C正確；對于D，設過去6年甲的平均增長率為x，則，解得：，即過去6年甲的平均增長率為；同理可求乙的平均增長率為：.因為，所以“甲”的平均增長率小于“乙”的平均增長率，D正確.故選：B.【正確答案】C【試題解析】分析:根據兩組數據的關系，結合平均值、中位數、方差、標準差的定義判斷．詳解:設，，……的平均數是，，，……的平均數是，由題意，如果，則，否則；同理如果，，……的中位數是，則兩者中位數相同，否則不相同；設，，……的方差，，，……的方差是，則，又，，所以，，所以，從而，所以方差相同，標準差也相同．故選：C．【正確答案】A【試題解析】分析:利用排除法，由中位數、眾數的定義判斷甲為優秀，排除；利用特殊值判斷乙不一定優秀，排除.詳解:對于①，中位數為，3次成績不低于127，又眾數為120，兩成績必為120，次成績都不低于120，甲為優秀，排除；對于②，當個數據為時，中位數為，總體均值為，即乙不一定優秀，排除，故選A.點睛:排除法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數學一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準確性，這種方法主要適合下列題型:(1)求值問題（可將選項逐個驗證）；（2）求范圍問題（可在選項中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問題（可以用函數性質及特殊點排除）；（4）解方程、求解析式、求通項、求前項和公式、命題真假問題等等.【正確答案】D【試題解析】分析:根據集合中元素的特征求得集合，再求并集及補集.詳解:由題得：，，，因此，所以，故選：D.【正確答案】A【試題解析】分析:求出函數定義域得集合A，求出函數在上的值域得集合B，再按給定運算計算即得.詳解:依題意，集合，又函數在上單調遞減，當時，，當時，，于是得集合，則，所以.故選：A【正確答案】C【試題解析】分析:利用集合的并集和補集運算求解.詳解:因為集合，，所以，因為全集，所以，故選：C【正確答案】A【試題解析】分析:化簡集合B，由集合的并集、補集運算可求解.詳解:由題意知，所以，所以.故選：A【正確答案】C【試題解析】分析:先化簡求出集合,再求得解.詳解:由題得，或，所以,所以.故選：C點睛:易錯點睛：解不等式時，要考慮函數的定義域，必須滿足，不能只得到，否則容易出錯.函數的問題，要注意定義域優先的原則.【正確答案】C【試題解析】分析:利用對數函數的單調性求得集合A，解一元二次不等式求得B,即可根據集合的補集以及并集運算求得答案.詳解:由題意得，則，而，故，故選：C.【正確答案】B【試題解析】分析:根據求函數的值域求出集合A，然后解一元二次方程求出集合B，進而根據集合的補集與并集的概念即可求解.詳解:因為，由于，所以，故所以，則或，故或，故選：B.【正確答案】C【試題解析】分析:解不等式確定集合，然后由集合的運算法則計算．詳解:或，所以或，所以，，所以．故選：C.【正確答案】C【試題解析】分析:由圖可得，陰影部分表示的集合為.求出集合，即求.詳解:∵集合，，由Venn圖可知陰影部分對應的集合為，又或，.故選：.點睛:本題考查集合的運算，屬于基礎題.【正確答案】B【試題解析】分析:利用對數不等式及分式不等式的解法求出集合，結合集合的補集及交集的定義即可求解.詳解:由，得，所以.由，得，所以，所以，故選：B.【正確答案】C【試題解析】分析:由幾何體的三視圖作出直觀圖，再由棱柱的體積公式即可求解.詳解:由幾何體的三視圖可知幾何體的直觀圖如下：所以.故選：C【正確答案】D【試題解析】分析:根據三視圖得出原幾何體是六棱柱，再由棱柱的體積公式計算體積即可求解.詳解:由三視圖可知：該幾何體是六棱柱，底面積，高，所以幾何體的體積為：，故選：D.【正確答案】D【試題解析】分析:首先根據三視圖還原幾何體，然后結合圓柱和三棱柱的體積公式即可求出結果.詳解:根據三視圖還原幾何體，如圖：所以該幾何體的體積為，故選：D.【正確答案】D【試題解析】分析:首先還原三棱柱，然后結合三視圖求出所有棱長，即可求出體積.詳解:根據幾何體還原三棱柱，如圖：結合三視圖可知：，故,所以體積，故選：D【正確答案】B【試題解析】分析:根據給定三視圖還原幾何體，再利用割補法及體積公式計算作答.詳解:依題意，給定的三視圖所對幾何體是直三棱柱，去掉三棱錐而得，其中M是棱CF中點，如圖，是直角三角形，，，而三棱柱的高為，所以幾何體的體積為：.故選：B【正確答案】C【試題解析】分析:根據給定三視圖畫出原幾何體，再借助幾何體體積公式計算作答.詳解:依題意，三視圖所對幾何體是下部是棱長為1的正方體，上部接上以正方體上底面一對角線分上底面所成的二等腰直角三角形為底面，過直角頂點的側棱垂直于底面且長為1的兩個三棱錐組合而成，如圖，在直觀圖中，是正方體，棱長為1，三棱錐與中，側棱都垂直于平面，且，所以，幾何體的體積是.故選：C【正確答案】B【試題解析】分析:在長方體中作出原幾何體，得出幾何體的結構，結合長方體求出其體積．詳解:把原幾何體補成一個長方體，如圖，幾何體是，其體積為．故選：B．【正確答案】D【試題解析】分析:根據題意，由三視圖還原幾何體是直四棱柱被平面截去一個三棱錐的幾何體，再結合三視圖所給的數據，即可求出幾何體的體積.詳解:由題意中的三視圖可還原的幾何體為底面邊長為2的正方形，高為3的正四棱柱被平面截去一個三棱錐所得，（如圖），其中點為的中點，所以幾何體的體積為：故選：D點睛:本題考查了由三視圖還原幾何體，再根據這個幾何體求出體積，考查了學生的計算能力和空間想象能力，屬于較難題.【正確答案】C【試題解析】分析:幾何體為圓柱體的一部分，底面為扇形，根據柱體的體積公式計算.詳解:俯視圖如圖：過C做AB延長線的垂線，交AB與點D，則，，即，所以由三視圖知道幾何體是一個底面為個圓的扇形的柱體，則其體積為：.故選：C.點睛:本題考查了幾何體的三視圖與體積計算，屬于中檔題.【正確答案】D【試題解析】分析:先在長方體模型中，根據三視圖作出幾何體的原圖，再將幾何體補成三棱柱，分別求得三棱柱與四棱錐的體積，作差即可.詳解:在長方體模型中，根據三視圖作出幾何體的原圖，且，，將幾何體補成三棱柱如圖：則幾何體的體積，且，，，，由對稱性可得，所以幾何體的體積，故選：D【正確答案】D【試題解析】分析:根據函數奇偶性可排除BC，由可排除A，從而得到正確結果.詳解:∵，定義域為R，又，為奇函數，圖象關于原點對稱，可排除BC，又，可排除A.故選：D.【正確答案】B【試題解析】分析:判斷函數為奇函數，排除AC，再計算時，排除D，得到答案.詳解:，，∴為奇函數，排除AC.當，，故，排除D.故選：B．【正確答案】B【試題解析】分析:根據，得到判斷.詳解:因為，所以所以，故選：B【正確答案】A【試題解析】分析:利用函數的奇偶性和特殊區間的函數值確定正確選項.詳解:解：的定義域為，，所以為奇函數，排除CD選項.當時，，，由此排除B選項.故選：A【正確答案】C【試題解析】分析:令，進而求導得，再討論時，的符號得的單調區間與函數值的符號，進而得答案.詳解:解：令，求導得，所以，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；由于，所以，時，，且單調區間變化不具有對稱的性質，所以，只有C選項滿足.故選：C【正確答案】A【試題解析】分析:結合函數的奇偶性和時函數值正負的分布情況，利用排除法可得到結果.詳解:函數定義域關于原點對稱，且由，知函數為奇函數，所以的圖象關于原點對稱，選項BD不符合，當時，，故選項C不符合，故選：A.【正確答案】D【試題解析】分析:分析函數的奇偶性及其在上的函數值符號，結合排除法可得出合適的選項.詳解:令，該函數的定義域為，，所以，函數為偶函數，排除AB選項，當時，，則，排除C選項.故選：D.【正確答案】D【試題解析】分析:分析給定函數的奇偶性可排除兩個選項，再對函數求導并求出在0處的導數值即可判斷作答.詳解:令，則其的定義域為，，則函數是奇函數，其圖象關于原點對稱，于是排除選項A，B；，于是得，即函數圖象在原點處切線斜率大于0，顯然選項C不滿足，D滿足.故選：D【正確答案】D【試題解析】分析:函數“見式識圖”第一步確定定義域，第二步函數奇偶性，第三步極限分析法,即可得到答案.詳解:化簡原函數則函數為奇函數，排除選項A，當，排除選項B，當選項C錯誤.故選：D.【正確答案】D【試題解析】分析:由函數奇偶性排除選項A；由函數單調性排除選項BC即可解決.詳解:，定義域為R，由，可知函數為偶函數，排除選項A；，令，則恒成立故為R上單調遞減函數，又可知當時，，即，函數為遞增函數，當時，，即，函數為遞減函數，故選項BC判斷錯誤；選項D判斷正確.故選：D【正確答案】B【試題解析】分析:對函數求導，由，可求出，從而可得到，進而得出在上的單調性，令最大值等于20，可求出.詳解:由題意，，則，解得，所以，故在上單調遞增，則，解