2021-2022學年北京市一零一中礦大分校高二下學期期中考試數學試題一、單選題1．已知等差數列中，，公差，則（

）A．29 B．32 C．26 D．35【答案】A【分析】直接根據等差數列的通項公式進行基本量的求解.【詳解】依題意，對于等差數列，，故.故選：A2．已知等比數列的公比為q，前n項和為，若q=2，，則（

）A．8 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】由等比數列的基本量運算求得后求得，從而易得．【詳解】由題意，，所以，．故選：D．3．函數的導函數（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據除法求導法則以及基本初等函數的求導公式即可求解.【詳解】由得，故選：B4．函數的單調遞增區間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函數的定義域，再利用導數即可求出函數的單調增區間.【詳解】函數的定義域為，∵，令，則，解得，∴函數的單調遞增區間是.故選：C.5．已知某物體運動的位移s關于t的函數為，則當時的瞬時速度為（

）A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s【答案】D【分析】直接對求導，代入即可得到答案.【詳解】因為，所以，所以當時，（m/s）.故選：D.6．已知函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是圖中的（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數的圖象的增減變化趨勢，判斷函數取值的正、負，由此判斷可得選項.【詳解】解：由函數的圖象的增減變化趨勢，判斷函數取值的正、負情況如下表：x遞減遞增遞減所以當時，函數的圖象在x軸下方；當時，函數的圖象在x軸上方；當時，函數的圖象在x軸下方．故選：C.7．若函數有唯一零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】由導數求得函數的極大值和極小值，三次函數有唯一零點，則極大值小于0或極小值大于0．【詳解】，或時，，時，，因此在和上都遞增，在上遞減，所以極大值，極小值，有唯一零點，則或，解得或．故選：D8．函數在區間內存在最小值，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由導數法求得函數最小值點，根據區間列不等式求解即可.【詳解】由得，則當或，，單調遞增；，，單調遞減.在區間內存在最小值，故最小值為，又，故有，解得.故實數a的取值范圍是.故選：C.9．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的極小值為 B．的極大值為C．在區間上單調遞增 D．在區間上單調遞減【答案】B【分析】求導，利用導函數的符號變化得到函數的單調區間，進而求出函數的極值.【詳解】因為，所以，令，得或；令，得；所以在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，所以在處有極大值，極大值為；在處有極小值，極小值為.故選：B.10．已知等比數列滿足，記，則數列（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】A【分析】求出等比數列的通項公式，進而求出，再由數列最大項、最小項的意義判斷作答.【詳解】依題意，等比數列的通項公式，，，由知，時，數列是遞增的，時，數列是遞減的，于是得數列的最大項為，而n為奇數時，，n偶數時，，所以和分別是數列的最大項和最小項.故選：A11．已知成等差數列，成等比數列，則等于（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據等差和等比數列通項公式可求得公差和公比的平方，由此可得，代入即可得到結果.【詳解】設構成的等差數列公差為，構成的等比數列公比為，，，即，，，，.故選：A.12．函數的圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用函數的零點，極值點，單調性即可解決.【詳解】解：由得或，故BD錯；又，所以，當或時，；當時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以，在處取得極大值，在處取得極小值，故A錯.故選：C二、填空題13．過且與曲線相切的直線方程是___________.【答案】【分析】設曲線切點為，對函數求導，點斜式方程，代入即可求出，即可求出答案.【詳解】設切點為，曲線，，則切線斜率為直線經過點，則直線，切點在直線上，則或或則直線為.故答案為：.14．函數，設在區間與的平均變化率為a，b，則a，b的大小關系為_______.【答案】a<b##b>a【分析】根據平均變化率的計算公式分別計算出，，進而得出結果.【詳解】自變量從1變化到2時，函數的平均變化率為，自變量從3變化到5時，函數的平均變化率為，由于，所以函數在區間的平均變化率比在的平均變化率小，也即.故答案為：.15．已知函數，則_______.【答案】##0.5【分析】由導數的定義與導數的運算公式可得結果.【詳解】∵∴∴故答案為：.16．若數列滿足：，在數列的通項公式為___________.【答案】【分析】利用累加法，結合等比數列的求和公式進行求解即可【詳解】由，則，……，于是故答案為：三、解答題17．已知等差數列滿足：，．(1)求數列的通項公式；(2)記為數列的前n項和，求正整數n的范圍，使得．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據已知條件可求出的公差，進而可求得的通項公式；（2）結合（1）可得到，然后解不等式即可求得正整數n的范圍．【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，解得，所以；（2）結合（1）可得，令，即，解得或（舍去），所以存在，使得成立，故正整數n的范圍為．18．已知函數且在處取得極值.(1)求a，b的值；(2)求函數在的最大值與最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用來求得的值.（2）結合（1）求得在區間上的最值，由此確定正確結論.【詳解】（1），依題意，解得.，所以在區間上遞增；在區間上遞減.所以在處取得極大值，在處取得極小值，符合題意.（2），，由（1）知，在區間上的最大值為，最小值為.19．已知函數.(1)當時，求在處的切線方程；(2)求的單調區間.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用導數求出在處的切線的斜率，再由原函數求出在處的切點，利用直線點斜式直接得出答案；（2）分類討論，當時，由二次函數性質得出；當時，分為與，由導數得出，最后綜合得出答案.【詳解】（1）當時，，則，在處的切線的斜率，且，在處的切線方程為，即；（2）當時，，此時在上單調遞減，在上單調遞增；當時，定義域為，，當時，在定義域上恒成立，此時在上單調遞增，無遞減區間；當時，由解得，，解得，解得，此時在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；當，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.20．已知函數.（1）當時，判斷函數的單調性；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）.【解析】（1）將代入函數的解析式，求出該函數的定義域，并求出導數，分別解不等式和，可得出函數的單調遞增區間和單調遞減區間；（2）由得出，構造函數，利用導數求出函數的最大值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，，定義域為，且，若，則；若，則，所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）若恒成立，則恒成立，，所以分離變量得恒成立，設，其中，則，所以，當時，